Geometrické stabilní rozdělení - Geometric stable distribution

Geometrická stabilita

Parametry	α ∈ (0,2] - parametr stability β ∈ [−1,1] - parametr šikmosti (všimněte si, že šikmost není definováno) λ ∈ (0, ∞) — parametr měřítka μ ∈ (−∞, ∞) — parametr umístění
Podpěra, podpora	X ∈ Rnebo X ∈ [μ, + ∞) pokud α < 1 a β = 1nebo X ∈ (−∞,μ] pokud α < 1 a β = −1
PDF	není analyticky vyjádřitelný, s výjimkou některých hodnot parametrů
CDF	není analyticky exprimovatelný, s výjimkou určitých hodnot parametrů
Medián	μ když β = 0
Režim	μ když β = 0
Rozptyl	2λ2 když α = 2, jinak nekonečný
Šikmost	0 kdy α = 2, jinak nedefinováno
Př. špičatost	3 kdy α = 2, jinak nedefinováno
MGF	nedefinováno
CF	${ displaystyle ! { Big [} 1+ lambda ^ { alpha} | t | ^ { alpha} omega -i mu t] ^ {- 1}}$, kde ${ displaystyle omega = { begin {cases} 1-i tan { tfrac { pi alpha} {2}} beta , operatorname {sign} (t) & { text {if}} alpha neq 1 1 + i { tfrac {2} { pi}} beta log | t | , operatorname {sign} (t) & { text {if}} alpha = 1 end {případy}}}$

A geometrické stabilní rozdělení nebo geostabilní distribuce je typ leptokurtic rozdělení pravděpodobnosti. Geometrická stabilní rozdělení byla zavedena v Klebanov, L. B., Maniya, G. M. a Melamed, I. A. (1985). Problém Zolotareva a analogů nekonečně dělitelných a stabilních distribucí ve schématu pro sčítání náhodného počtu náhodných proměnných.^[1] Tato rozdělení jsou analogy pro stabilní rozdělení v případě, že počet součtů je náhodný, nezávislý na rozdělení součtu a mající geometrické rozdělení. Geometrické stabilní rozdělení může být symetrické nebo asymetrické. Symetrické geometrické stabilní rozdělení se také označuje jako a Linnik distribuce.^[2] The Laplaceova distribuce a asymetrická Laplaceova distribuce jsou speciální případy geometrického stabilního rozdělení. Laplaceova distribuce je také zvláštním případem lineární distribuce. The Distribuce Mittag-Leffler je také speciální případ geometrického stabilního rozdělení.^[3]

Geometrické stabilní rozdělení má aplikace ve finanční teorii.^[4][5][6][7]

Vlastnosti

U většiny geometricky stabilních rozdělení platí funkce hustoty pravděpodobnosti a kumulativní distribuční funkce nemají uzavřenou formu. Ale geometrické stabilní rozdělení lze definovat jeho charakteristická funkce, který má podobu:^[8]

${ displaystyle varphi (t; alfa, beta, lambda, mu) = [1+ lambda ^ { alpha} | t | ^ { alpha} omega -i mu t] ^ {- 1}}$

kde ${ displaystyle omega = { begin {cases} 1-i tan { tfrac { pi alpha} {2}} beta , operatorname {sign} (t) & { text {if}} alpha neq 1 1 + i { tfrac {2} { pi}} beta log | t | operatorname {sign} (t) & { text {if}} alpha = 1 end {případy}}}$

${ displaystyle alpha}$, který musí být větší než 0 a menší nebo rovný 2, je tvarový parametr nebo index stability, který určuje, jak těžké jsou ocasy.^[8] Dolní ${ displaystyle alpha}$ odpovídá těžší ocasy.

${ displaystyle beta}$, který musí být větší nebo roven −1 a menší nebo roven 1, je parametr šikmosti.^[8] Když ${ displaystyle beta}$ je záporné, rozdělení je zkosené doleva a kdy ${ displaystyle beta}$ je kladné, distribuce je zkosená doprava. Když ${ displaystyle beta}$ je nula, distribuce je symetrická a charakteristická funkce se redukuje na:^[8]

${ displaystyle varphi (t; alfa, 0, lambda, mu) = [1+ lambda ^ { alpha} | t | ^ { alpha} -i mu t] ^ {- 1}}$

Symetrické geometrické stabilní rozdělení s ${ displaystyle mu = 0}$ je také označována jako linnická distribuce.^[9] Zcela zkosené geometrické stabilní rozdělení, tedy s ${ displaystyle beta = 1}$, ${ displaystyle alpha <1}$, s ${ displaystyle 0 < mu <1}$ je také označována jako distribuce Mittag-Leffler.^[10] Ačkoli ${ displaystyle beta}$ určuje šikmost distribuce, neměla by být zaměňována s typickou koeficient šikmosti nebo třetí standardizovaný moment, který ve většině případů není definován pro geometrické stabilní rozdělení.

${ displaystyle lambda> 0}$ je parametr měřítka a ${ displaystyle mu}$ je parametr umístění.^[8]

Když ${ displaystyle alpha}$ = 2, ${ displaystyle beta}$ = 0 a ${ displaystyle mu}$ = 0 (tj. Symetrické geometrické stabilní rozdělení nebo Linnikovo rozdělení s ${ displaystyle alpha}$= 2), rozdělení se stane symetrickým Laplaceova distribuce s průměrem 0,^[9] který má funkce hustoty pravděpodobnosti z:

${ displaystyle f (x mid 0, lambda) = { frac {1} {2 lambda}} exp left (- { frac {| x |} { lambda}} right) , !}$

Distribuce Laplace má a rozptyl rovná ${ displaystyle 2 lambda ^ {2}}$. Nicméně pro ${ displaystyle alpha <2}$ rozptyl geometrického stabilního rozdělení je nekonečný.

Vztah ke stabilním distribucím

A stabilní distribuce má vlastnost, že pokud ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky, X_ {n}}$ jsou nezávislé, identicky distribuované náhodné proměnné převzaté ze stabilního rozdělení, součet ${ displaystyle Y = a_ {n} (X_ {1} + X_ {2} + cdots + X_ {n}) + b_ {n}}$ má stejnou distribuci jako ${ displaystyle X_ {i}}$s pro některé ${ displaystyle a_ {n}}$ a ${ displaystyle b_ {n}}$.

Geometrická stabilní rozdělení mají podobnou vlastnost, ale kde počet prvků v součtu je a geometricky rozloženo náhodná proměnná. Li ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, tečky}$ jsou nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné převzato z geometrického stabilního rozdělení, omezit částky ${ displaystyle Y = a_ {N_ {p}} (X_ {1} + X_ {2} + cdots + X_ {N_ {p}}) + b_ {N_ {p}}}$ přistupuje k distribuci ${ displaystyle X_ {i}}$s pro některé koeficienty ${ displaystyle a_ {N_ {p}}}$ a ${ displaystyle b_ {N_ {p}}}$ jako p se blíží 0, kde ${ displaystyle N_ {p}}$ je náhodná proměnná nezávislá na ${ displaystyle X_ {i}}$s převzato z geometrického rozdělení s parametrem p.^[5] Jinými slovy:

${ displaystyle Pr (N_ {p} = n) = (1-p) ^ {n-1} , p ,.}$

Distribuce je přísně geometricky stabilní, pouze pokud je součet ${ displaystyle Y = a (X_ {1} + X_ {2} + cdots + X_ {N_ {p}})}$ se rovná distribuci ${ displaystyle X_ {i}}$s pro některéA.^[4]

Existuje také vztah mezi charakteristikou stabilní distribuční charakteristiky a charakteristickou funkcí geometrického stabilního rozdělení. Stabilní distribuce má charakteristickou funkci formy:

${ Displaystyle Phi (t; alpha, beta, lambda, mu) = exp left [~ it mu ! - ! | lambda t | ^ { alpha} , (1 ! - ! i beta operatorname {sign} (t) Omega) ~ right],}$

kde

${ displaystyle Omega = { begin {cases} tan { tfrac { pi alpha} {2}} & { text {if}} alpha neq 1, - { tfrac {2} { pi}} log | t | & { text {if}} alpha = 1. end {cases}}}$

Geometricky stabilní charakteristickou funkci lze vyjádřit jako stabilní charakteristickou funkci jako:^[11]

${ displaystyle varphi (t; alfa, beta, lambda, mu) = [1- log ( Phi (t; alfa, beta, lambda, mu))]] {1 }.}$

Viz také

• Distribuce Mittag-Leffler

Reference