Zobecněná distribuce chí-kvadrát - Generalized chi-squared distribution

Zobecněná distribuce chí-kvadrát

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle { boldsymbol { lambda}}}$, vektor hmotností chí-kvadrát komponent ${ displaystyle { boldsymbol {m}}}$, vektor stupňů volnosti chí-kvadrát komponent ${ displaystyle { boldsymbol { delta}}}$, vektor parametrů necentrality chí-kvadrát komponent ${ displaystyle sigma}$, stupnice normálního členu
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in mathbb {R}}$
Znamenat	${ displaystyle sum _ {j} lambda _ {j} (m_ {j} + delta _ {j} ^ {2})}$
Rozptyl	${ displaystyle 2 sum _ {j} lambda _ {j} ^ {2} (m_ {j} +2 delta _ {j} ^ {2}) + sigma ^ {2}}$
CF	${ displaystyle { frac { exp left (it sum _ {j} { frac { lambda _ {j} delta _ {j} ^ {2}} {1-2i lambda _ {j} t}} - { frac { sigma ^ {2} t ^ {2}} {2}} vpravo)} { prod _ {j} vlevo (1-2i lambda _ {j} t vpravo ) ^ {m_ {j} / 2}}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, zobecněná distribuce chí-kvadrát (nebo zobecněná distribuce chí-kvadrát) je distribuce lineárního součtu nezávislých necentrální chí-kvadrát proměnné a a normální proměnná nebo ekvivalentně distribuce a kvadratická forma a multinormální proměnná (normální vektor). Existuje několik dalších takových zobecnění, pro které se někdy používá stejný termín; některé z nich jsou speciálními případy zde diskutované rodiny, například gama distribuce.

Definice

Zobecněnou proměnnou chí-kvadrát lze popsat několika způsoby. Jedním z nich je napsat to jako lineární součet nezávislých necentrálních chí-kvadrátových proměnných a normální proměnné:^[1][2]

${ displaystyle xi = součet _ {i} lambda _ {i} y_ {i} + sigma z, quad y_ {i} sim chi '^ {2} (m_ {i}, delta _ {i} ^ {2}), quad z sim N (0,1).}$

Zde jsou parametry váhy ${ displaystyle lambda _ {i}}$ a ${ displaystyle sigma}$a stupně svobody ${ displaystyle m_ {i}}$ a non-centralities ${ displaystyle delta _ {i} ^ {2}}$ složených chí-čtverců. Některé důležité speciální případy mají všechny koeficienty stejného znaménka, vynechávají normální člen nebo mají centrální chí-kvadrát složky.

Dalším rovnocenným způsobem je formulovat jej jako kvadratickou formu normálního vektoru ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$:^[3]

${ displaystyle xi = q ({ boldsymbol {x}}) = { boldsymbol {x}} ' mathbf {Q_ {2}} { boldsymbol {x}} + { boldsymbol {q_ {1}} } '{ boldsymbol {x}} + q_ {0}}$.

Tady ${ displaystyle mathbf {Q_ {2}}}$ je matice, ${ displaystyle { boldsymbol {q_ {1}}}}$ je vektor a ${ displaystyle q_ {0}}$ je skalární. Ty spolu s průměrem ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ a kovarianční matice ${ displaystyle mathbf { Sigma}}$ normálního vektoru ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$, parametrizujte distribuci. Pokud (a pouze pokud) ${ displaystyle mathbf {Q_ {2}}}$ v této formulaci je pozitivní-definitivní, pak vše ${ displaystyle lambda _ {i}}$ v první formulaci bude mít stejné znaménko.

V nejobecnějším případě lze redukci na běžný standardní formulář provést pomocí vyjádření následujícího formuláře:^[4]

${ displaystyle X = (z + a) ^ { mathrm {T}} A (z + a) + c ^ { mathrm {T}} z = (x + b) ^ { mathrm {T}} D (x + b) + d ^ { mathrm {T}} x + e,}$

kde D je diagonální matice a kde X představuje vektor nekorelovaného standardní normální náhodné proměnné.

Výpočet čísel pdf / cdf / inverzní cdf / náhodných čísel

Funkce hustoty pravděpodobnosti, kumulativní distribuce a inverzní kumulativní distribuční funkce zobecněné proměnné chí-kvadrát proměnné nemají jednoduché výrazy uzavřeného tvaru. Numerické algoritmy ^[4][2][5] a počítačový kód (Fortran a C., Matlab, R ) byly publikovány za účelem vyhodnocení některých z nich a ke generování náhodných vzorků.

Aplikace

Zobecněný chí-kvadrát je distribuce statistické odhady v případech, kdy je obvyklé statistická teorie neplatí, jako v příkladech níže.

Při montáži a výběru modelu

Pokud prediktivní model je vybaven nejmenší čtverce, ale zbytky buď autokorelace nebo heteroscedasticita, pak lze srovnávat alternativní modely (v výběr modelu ) souvisejícími změnami v součet čtverců do asymptoticky platné zobecněná distribuce chí-kvadrát.^[3]

Klasifikace normálních vektorů pomocí Gaussovské diskriminační analýzy

Li ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ je normální vektor, jeho logaritmická pravděpodobnost je a kvadratická forma z ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$, a je proto distribuován jako zobecněný chí-kvadrát. Poměr pravděpodobnosti log, že ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ vyplývá z jednoho normálního rozdělení oproti druhému je také a kvadratická forma, tak distribuován jako zobecněný chí-kvadrát.

V Gaussově diskriminační analýze jsou vzorky z multinormálních distribucí optimálně odděleny pomocí a kvadratický klasifikátor, hranice, která je kvadratickou funkcí (např. křivka definovaná nastavením poměru pravděpodobnosti mezi dvěma Gaussiány na 1). Míry chyb klasifikace různých typů (falešně pozitivní a falešně negativní) jsou integrály normálního rozdělení v kvadratických oblastech definovaných tímto klasifikátorem. Jelikož je to matematicky ekvivalentní integraci kvadratické formy normálního vektoru, výsledkem je integrál zobecněné proměnné chí-kvadrát.

Při zpracování signálu

Následující aplikace vyvstává v kontextu Fourierova analýza v zpracování signálu, teorie obnovy v teorie pravděpodobnosti, a víceanténové systémy v bezdrátová komunikace. Společným faktorem těchto oblastí je, že je důležitý součet exponenciálně distribuovaných proměnných (nebo shodně součet čtvercových velikostí kruhově symetrický středový komplex Gaussian proměnné).

Li ${ displaystyle Z_ {i}}$ jsou k nezávislý, kruhově symetrický středový komplex Gaussian náhodné proměnné s znamenat 0 a rozptyl ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$, pak náhodná proměnná

${ displaystyle { tilde {Q}} = součet _ {i = 1} ^ {k} | Z_ {i} | ^ {2}}$

má zobecněnou distribuci chí-kvadrát určité formy. Rozdíl oproti standardní distribuci chí-kvadrát je v tom ${ displaystyle Z_ {i}}$ jsou složité a mohou mít různé odchylky a rozdíl od obecnější zobecněné distribuce chí-kvadrát spočívá v tom, že příslušná škálovací matice A je úhlopříčka. Li ${ displaystyle mu = sigma _ {i} ^ {2}}$ pro všechny i, pak ${ displaystyle { tilde {Q}}}$, zmenšen o ${ displaystyle mu / 2}$ (tj. vynásobeno ${ displaystyle 2 / mu}$), má distribuce chí-kvadrát, ${ displaystyle chi ^ {2} (2k)}$, také známý jako Erlang distribuce. Li ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$ mají odlišné hodnoty pro všechny i, pak ${ displaystyle { tilde {Q}}}$ má pdf^[6]

${ displaystyle f (x; k, sigma _ {1} ^ {2}, ldots, sigma _ {k} ^ {2}) = součet _ {i = 1} ^ {k} { frac {e ^ {- { frac {x} { sigma _ {i} ^ {2}}}}} { sigma _ {i} ^ {2} prod _ {j = 1, j neq i} ^ {k} left (1 - { frac { sigma _ {j} ^ {2}} { sigma _ {i} ^ {2}}} right)}} quad { text {for} } x geq 0.}$

Pokud existují sady opakovaných odchylek mezi ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$, předpokládejme, že jsou rozděleny na M množiny, z nichž každá představuje určitou hodnotu odchylky. Označit ${ displaystyle mathbf {r} = (r_ {1}, r_ {2}, tečky, r_ {M})}$ je počet opakování v každé skupině. Toto je mTato sada obsahuje ${ displaystyle r_ {m}}$ proměnné, které mají rozptyl ${ displaystyle sigma _ {m} ^ {2}.}$ Představuje libovolnou lineární kombinaci nezávislých ${ displaystyle chi ^ {2}}$-distribuované náhodné proměnné s různými stupni volnosti:

${ displaystyle { tilde {Q}} = součet _ {m = 1} ^ {M} sigma _ {m} ^ {2} / 2 * Q_ {m}, quad Q_ {m} sim chi ^ {2} (2r_ {m}) ,.}$

PDF z ${ displaystyle { tilde {Q}}}$ je^[7]

${ displaystyle f (x; mathbf {r}, sigma _ {1} ^ {2}, dots sigma _ {M} ^ {2}) = prod _ {m = 1} ^ {M} { frac {1} { sigma _ {m} ^ {2r_ {m}}}} sum _ {k = 1} ^ {M} sum _ {l = 1} ^ {r_ {k}} { frac { Psi _ {k, l, mathbf {r}}} {(r_ {k} -l)!}} (- x) ^ {r_ {k} -l} e ^ {- { frac {x} { sigma _ {k} ^ {2}}}}, quad { text {pro}} x geq 0,}$

kde

${ displaystyle Psi _ {k, l, mathbf {r}} = (- 1) ^ {r_ {k} -1} součet _ { mathbf {i} in Omega _ {k, l} } prod _ {j neq k} { binom {i_ {j} + r_ {j} -1} {i_ {j}}} left ({ frac {1} { sigma _ {j} ^ {2}}} ! - ! { Frac {1} { sigma _ {k} ^ {2}}} vpravo) ^ {- (r_ {j} + i_ {j})},}$

s ${ displaystyle mathbf {i} = [i_ {1}, ldots, i_ {M}] ^ {T}}$ ze sady ${ displaystyle Omega _ {k, l}}$ všech oddílů ${ displaystyle l-1}$ (s ${ displaystyle i_ {k} = 0}$) definováno jako

${ displaystyle Omega _ {k, l} = left {[i_ {1}, ldots, i_ {m}] in mathbb {Z} ^ {m}; sum _ {j = 1} ^ {M} i_ {j} ! = L-1, i_ {k} = 0, i_ {j} geq 0 { text {pro všechny}} j doprava }.}$

Viz také

• Stupně volnosti (statistika) # Alternativní
• Noncentrální distribuce chí-kvadrát
• Distribuce chí-kvadrát

Reference

externí odkazy

• Davies, R.B .: Fortran a C zdrojový kód pro „Lineární kombinaci chí-kvadrát náhodných proměnných“
• Das, A: MATLAB kód pro výpočet statistik, pdf, cdf, inverzní cdf a náhodných čísel zobecněné distribuce chí-kvadrát.