Funkce Sinc - Sinc function
v matematika, fyzika a inženýrství, funkce sinc, označeno sinc (X), má dvě mírně odlišné definice.[1]

V matematice historické nenormalizovaná funkce sinc je definováno pro X ≠ 0 podle
Alternativně se nenormalizovaná funkce sinc často nazývá funkce vzorkování, označeno jako Sa (x).[2]
v zpracování digitálních signálů a teorie informace, normalizovaná funkce sinc je běžně definováno pro X ≠ 0 podle
V obou případech hodnota na X = 0 je definována jako mezní hodnota
- pro všechny skutečné A ≠ 0.
The normalizace způsobuje určitý integrál funkce nad reálnými čísly rovna 1 (zatímco stejný integrál nenormalizované funkce sinc má hodnotu π ). Jako další užitečnou vlastnost jsou nuly normalizované funkce sinc nenulové celočíselné hodnoty X.
Normalizovaná funkce sinc je Fourierova transformace z obdélníková funkce bez škálování. Používá se v pojmu rekonstruovat nepřetržitý pásmo omezený signál z rovnoměrně rozmístěných Vzorky tohoto signálu.
Jediný rozdíl mezi těmito dvěma definicemi je ve změně měřítka nezávislé proměnné (dále jen X osa ) faktorem π. V obou případech je hodnota funkce na odnímatelná singularita při nule se rozumí mezní hodnota 1. Funkce sinc je tedy analytický všude a tudíž celá funkce.
Termín upřímně /ˈsɪŋk/ byl představen Philip M. Woodward ve svém článku z roku 1952 „Informační teorie a inverzní pravděpodobnost v telekomunikacích“, ve kterém uvedl, že funkce „se vyskytuje tak často ve Fourierově analýze a jejích aplikacích, že si zaslouží nějakou vlastní notaci“,[3] a jeho kniha z roku 1953 Pravděpodobnost a teorie informací s aplikacemi na radar.[4][5] Samotná funkce byla nejprve matematicky odvozena v této podobě pomocí Lord Rayleigh v jeho výrazu (Rayleighův vzorec ) pro sférický řád nultého řádu Besselova funkce prvního druhu.
Vlastnosti




The nulové přechody z nenormalizovaného sinc jsou na nenulových celočíselných násobcích π, zatímco nulové přechody normalizovaného sinu se vyskytují na nenulových celých číslech.
Místní maxima a minima nenormalizovaného sinc odpovídají jeho průsečíkům s kosinus funkce. To znamená, hřích(ξ)/ξ = cos (ξ) pro všechny body ξ kde derivát hřích(X)/X je nula a tím je dosaženo lokálního extrému. To vyplývá z derivace funkce sinc:
Prvních několik termínů nekonečné řady pro X souřadnice n-té extremum s pozitivem X souřadnice jsou
kde
a kde zvláštní n vést k místnímu minimu a dokonce n na místní maximum. Kvůli symetrii kolem y osa, existují extrémy s X souřadnice −Xn. Kromě toho existuje absolutní maximum na ξ0 = (0, 1).
Normalizovaná funkce sinc má jednoduchou reprezentaci jako nekonečný produkt:
a souvisí s funkce gama Γ (X) přes Eulerův odrazový vzorec:
a kvůli identitě součtu produktu[7]
produkt Euler lze přepracovat jako součet
The spojitá Fourierova transformace normalizovaného sinu (na běžnou frekvenci) je přímý (F):
Kde obdélníková funkce je 1 pro argument mezi -1/2 a 1/2a jinak nula. To odpovídá skutečnosti, že filtr sinc je ideální (cihlová zeď, což znamená obdélníkový kmitočtový rozsah) dolní propust.
Tento Fourierův integrál, včetně zvláštního případu
je nesprávný integrál (vidět Dirichletův integrál ) a nikoli konvergentní Lebesgueův integrál, tak jako
Funkce normalizovaného sinc má vlastnosti, díky nimž je ideální ve vztahu k interpolace z odebrány vzorky pásmo omezeno funkce:
- Jedná se o interpolační funkci, tj. sinc (0) = 1, a sinc (k) = 0 pro nenulovou hodnotu celé číslo k.
- Funkce Xk(t) = sinc (t − k) (k integer) tvoří an ortonormální základ pro pásmo omezeno funkce v funkční prostor L2(R), s nejvyšší úhlovou frekvencí ωH = π (tj. nejvyšší frekvence cyklu FH = 1/2).
Mezi další vlastnosti těchto dvou funkcí sinc patří:
- Nenormalizovaný sin je sférický nultého řádu Besselova funkce prvního druhu, j0(X). Normalizovaný sin je j0(πX).
- kde Si (X) je sinusový integrál.
- λ sinc (λx) (není normalizováno) je jedním ze dvou lineárně nezávislých řešení lineárního obyčejná diferenciální rovnice
- Druhý je cos (λx)/X, který není ohraničen na X = 0, na rozdíl od jeho protějšku funkce sinc.
- kde je míněn normalizovaný sin.
- Následující nesprávný integrál zahrnuje (ne normalizovanou) funkci sinc:
Vztah k distribuci delty Dirac
Normalizovanou funkci sinc lze použít jako a rodící se delta funkce, což znamená, že následující slabý limit drží:
Nejedná se o běžný limit, protože levá strana nekonverguje. Spíše to znamená
pro každého Schwartzova funkce, jak je patrné z Fourierova věta o inverzi Ve výše uvedeném výrazu, as A → 0, počet oscilací na jednotku délky funkce sinc se blíží nekonečnu. Nicméně výraz vždy osciluje uvnitř obálky ±1/πX, bez ohledu na hodnotu A.
To komplikuje neformální obraz δ(X) jako nula pro všechny X kromě bodu X = 0, a ilustruje problém myšlení delta funkce jako funkce spíše než jako distribuce. Podobná situace se nachází v EU Gibbsův fenomén.
Shrnutí
Všechny součty v této části odkazují na nenormalizovanou funkci sinc.
Součet sinc (n) přes celé číslo n od 1 do ∞ rovná se π − 1/2:
Součet čtverců se také rovná π − 1/2:[8]
Když se objeví příznaky doplňuje střídat a začít s +, součet se rovná 1/2:
Střídavé součty čtverců a kostek se rovnají 1/2:[9]
Rozšíření série
The Taylor série z (nenormalizovaného) upřímně funkci lze získat okamžitě z funkce sinu:
který konverguje pro všechny X.
Vyšší rozměry
Produkt funkcí 1-D sinc snadno poskytuje a vícerozměrný funkce sinc pro čtvercovou kartézskou mřížku (mříž ): upřímněC(X, y) = sinc (X) sinc (y), jehož Fourierova transformace je funkce indikátoru čtverce ve frekvenčním prostoru (tj. cihlová zeď definovaná ve 2-D prostoru). Funkce sinc pro nekartézské mříž (např., šestihranná mříž ) je funkce, jejíž Fourierova transformace je funkce indikátoru z Brillouinova zóna té mřížky. Například sinc funkce pro hexagonální mřížku je funkce, jejíž Fourierova transformace je funkce indikátoru jednotky šestiúhelníku ve frekvenčním prostoru. Pro nekartézskou mřížku nelze tuto funkci získat jednoduchým tenzorovým součinem. Explicitní vzorec pro funkci sinc pro šestihranný, centrovaný na tělo, kubický střed a další mřížky vyšších dimenzí lze explicitně odvodit[10] pomocí geometrických vlastností zón Brillouin a jejich spojení s zonotopy.
Například a šestihranná mříž lze generovat (celé číslo) lineární rozpětí vektorů
Označující
lze odvodit[10] funkce sinc pro tuto šestihrannou mřížku jako
Tuto konstrukci lze použít k návrhu Lanczos okno pro obecné vícerozměrné mřížky.[10]
Viz také
- Filtr vyhlazování
- Sinc filtr
- Lanczos převzorkování
- Whittaker-Shannonův interpolační vzorec
- Shannonova vlnka
- Winkel tripel projekce (kartografie)
- Trigonometrický integrál
- Trigonometrické funkce matic
- Borweinův integrál
- Dirichletův integrál
Reference
- ^ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W., eds. (2010), "Numerické metody", NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248.
- ^ Singh, R. P .; Sapre, S. D. (2008). Komunikační systémy, 2E (ilustrované vydání). Tata McGraw-Hill Education. str. 15. ISBN 978-0-07-063454-1. Výňatek ze strany 15
- ^ Woodward, P. M .; Davies, I.L. (březen 1952). „Informační teorie a inverzní pravděpodobnost v telekomunikacích“ (PDF). Sborník IEE - Část III: Rádiové a komunikační inženýrství. 99 (58): 37–44. doi:10.1049 / pi-3.1952.0011.
- ^ Poynton, Charles A. (2003). Digitální video a HDTV. Nakladatelé Morgan Kaufmann. str.147. ISBN 978-1-55860-792-7.
- ^ Woodward, Phillip M. (1953). Pravděpodobnost a teorie informací, s aplikacemi na radar. London: Pergamon Press. str.29. ISBN 978-0-89006-103-9. OCLC 488749777.
- ^ Euler, Leonhard (1735). Msgstr "Na součty řad reciprocity". arXiv:matematika / 0506415.
- ^ Luis Ortiz-Gracia; Cornelis W. Oosterlee (2016). „Vysoce účinná Shannonova vlnková inverzní Fourierova technika pro oceňování evropských opcí“. SIAM J. Sci. Comput. 38 (1): B118 – B143. doi:10.1137 / 15M1014164.
- ^ Robert Baillie; David Borwein; Jonathan M. Borwein (Prosinec 2008). "Překvapivé náhodné částky a integrály". Americký matematický měsíčník. 115 (10): 888–901. doi:10.1080/00029890.2008.11920606. JSTOR 27642636.
- ^ Baillie, Robert (2008). "Fun with Fourier series". arXiv:0806.0150v2 [matematika ].
- ^ A b C Ye, W .; Entezari, A. (červen 2012). "Geometrická konstrukce vícerozměrných funkcí Sinc". Transakce IEEE na zpracování obrazu. 21 (6): 2969–2979. Bibcode:2012ITIP ... 21.2969Y. doi:10.1109 / TIP.2011.2162421. PMID 21775264.