Q-Gaussova distribuce - Q-Gaussian distribution

q-Gaussian

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	${ displaystyle q <3}$ tvar (nemovitý ) ${ displaystyle beta> 0}$ (nemovitý )
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (- infty; + infty) !}$ pro ${ displaystyle 1 leq q <3}$ ${ displaystyle x in left [ pm {1 over { sqrt { beta (1-q)}}} right]}$ pro ${ displaystyle q <1}$
PDF	${ displaystyle {{ sqrt { beta}} přes C_ {q}} e_ {q} ({- beta x ^ {2}})}$
Znamenat	${ displaystyle 0 { text {for}} q <2}$, jinak nedefinováno
Medián	${ displaystyle 0}$
Režim	${ displaystyle 0}$
Rozptyl	${ displaystyle {1 over { beta (5-3q)}} { text {pro}} q <{5 nad 3}}$ ${ displaystyle infty { text {pro}} {5 nad 3} leq q <2}$ ${ displaystyle { text {nedefinováno pro}} 2 leq q <3}$
Šikmost	${ displaystyle 0 { text {for}} q <{3 nad 2}}$
Př. špičatost	${ displaystyle 6 {q-1 nad 7-5q} { text {pro}} q <{7 nad 5}}$

The q-Gaussian je rozdělení pravděpodobnosti vyplývající z maximalizace Tsallisova entropie za vhodných omezení. Je to jeden příklad a Distribuce Tsallis. The q-Gaussian je zobecnění Gaussian stejným způsobem jako Tsallisova entropie je zobecnění standardu Boltzmann – Gibbsova entropie nebo Shannonova entropie.^[1] The normální distribuce je obnoven jako q → 1.

The q-Gaussian byl aplikován na problémy v oblastech statistická mechanika, geologie, anatomie, astronomie, ekonomika, finance, a strojové učení. Distribuce je často upřednostňována těžké ocasy ve srovnání s Gaussianem pro 1 < q <3. Pro ${ displaystyle q <1}$ the q-Gaussova distribuce je PDF ohraničené náhodná proměnná. To dělá v biologii a dalších doménách^[2] the q-Gaussova distribuce vhodnější než Gaussova distribuce pro modelování vlivu vnější stochasticity. Zobecněný q-analogový klasické teorém centrálního limitu^[3] bylo navrženo v roce 2008, v němž bylo omezení nezávislosti EU i.i.d. proměnné je uvolněná do té míry, kterou definuje q parametr, přičemž nezávislost byla obnovena jako q → 1. Stále však chybí důkaz o takové větě.^[4]

V oblastech těžkého ocasu je distribuce ekvivalentní s Studentské t-rozdělení s přímým mapováním mezi q a stupně svobody. Odborník využívající jednu z těchto distribucí může proto parametrizovat stejnou distribuci dvěma různými způsoby. Volba q-Gaussian forma může vzniknout, pokud je systém ne rozsáhlý, nebo pokud chybí připojení k malým velikostem vzorků.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The q-Gaussian má funkci hustoty pravděpodobnosti ^[3]

${ displaystyle f (x) = {{ sqrt { beta}} nad C_ {q}} e_ {q} (- beta x ^ {2})}$

kde

${ displaystyle e_ {q} (x) = [1+ (1-q) x] _ {+} ^ {1 nad 1-q}}$

je q-exponenciální a normalizační faktor ${ displaystyle C_ {q}}$ darováno

${ displaystyle C_ {q} = {{2 { sqrt { pi}} gama vlevo ({1 nad 1-q} doprava)} nad {(3-q) { sqrt {1- q}} Gamma vlevo ({3-q nad 2 (1-q)} vpravo)}} { text {pro}} - infty$

${ displaystyle C_ {q} = { sqrt { pi}} { text {pro}} q = 1 ,}$

${ displaystyle C_ {q} = {{{ sqrt { pi}} Gamma vlevo ({3-q nad 2 (q-1)} vpravo)} nad {{ sqrt {q-1 }} Gamma vlevo ({1 nad q-1} vpravo)}} { text {pro}} 1$

Všimněte si, že pro ${ displaystyle q <1}$ the q-Gaussova distribuce je PDF ohraničené náhodná proměnná.

Entropie

Stejně jako normální distribuce je maximum informační entropie rozdělení pro pevné hodnoty prvního okamžiku ${ displaystyle operatorname {E} (X)}$ a druhý okamžik ${ displaystyle operatorname {E} (X ^ {2})}$ (s pevným nulovým okamžikem ${ displaystyle operatorname {E} (X ^ {0}) = 1}$ odpovídající podmínce normalizace), q-Gaussova distribuce je maximum Tsallisova entropie rozdělení pro pevné hodnoty těchto tří momentů.

Související distribuce

Studentské t-rozdělení

I když to lze ospravedlnit zajímavou alternativní formou entropie, statisticky jde o zmenšenou reparametrizaci Studentské t-rozdělení představil W. Gosset v roce 1908 k popisu statistik s malými vzorky. V původní prezentaci Gossetu jsou parametry stupňů volnosti ν bylo omezeno na kladné celé číslo související s velikostí vzorku, ale lze snadno pozorovat, že funkce hustoty Gossetu je platná pro všechny skutečné hodnoty ν.^{[Citace je zapotřebí ]} Škálovaná reparametrizace zavádí alternativní parametry q a β které souvisejí s ν.

Vzhledem k tomu, student t-distribuce s ν stupně volnosti, ekvivalent q-Gaussian má

${ displaystyle q = { frac { nu +3} { nu +1}} { text {with}} beta = { frac {1} {3-q}}}$

s inverzí

${ displaystyle nu = { frac {3-q} {q-1}}, { text {ale pouze pokud}} beta = { frac {1} {3-q}}.}$

Kdykoli ${ displaystyle beta neq {1 nad {3-q}}}$, funkce je jednoduše zmenšená verze Studentova t-rozdělení.

Někdy se tvrdí, že distribuce je zobecněním Studentova t-distribuce na záporné a neceločíselné stupně volnosti. Nicméně, Studentova teorie t-distribuce se triviálně vztahuje na všechny skutečné stupně svobody, kde je nyní podpora distribuce kompaktní spíše než nekonečný v případě ν < 0.^{[Citace je zapotřebí ]}

Verze se třemi parametry

Stejně jako u mnoha distribucí zaměřených na nulu, q-Gaussian lze triviálně rozšířit tak, aby zahrnoval parametr umístění μ. Hustota je pak definována pomocí

${ displaystyle {{ sqrt { beta}} přes C_ {q}} e_ {q} ({- beta (x- mu) ^ {2}}).}$

Generování náhodných odchylek

The Box – Mullerova transformace byl zobecněn, aby umožnil náhodný výběr vzorků z q-Gausové.^[5] Standardní technika Box – Muller generuje dvojice nezávislých normálně distribuovaných proměnných z rovnic následujícího tvaru.

${ displaystyle Z_ {1} = { sqrt {-2 ln (U_ {1})}} cos (2 pi U_ {2})}$

${ displaystyle Z_ {2} = { sqrt {-2 ln (U_ {1})}} sin (2 pi U_ {2})}$

Zobecněná technika Box – Muller může generovat páry q-Gaussian odchylky, které nejsou nezávislé. V praxi bude z dvojice rovnoměrně rozložených proměnných vygenerována pouze jedna odchylka. Následující vzorec vygeneruje odchylky od a q-Gaussian se zadaným parametrem q a ${ displaystyle beta = {1 nad {3-q}}}$

${ displaystyle Z = { sqrt {-2 { text {ln}} _ {q '} (U_ {1})}} { text {cos}} (2 pi U_ {2})}$

kde ${ displaystyle { text {ln}} _ {q}}$ je q-logaritmus a ${ displaystyle q '= {{1 + q} nad {3-q}}}$

Tyto odchylky lze transformovat a generovat odchylky od libovolného q-Gaussian od

${ displaystyle Z '= mu + {Z nad { sqrt { beta (3-q)}}}}$

Aplikace

Fyzika

Bylo prokázáno, že distribuce hybnosti chladných atomů v disipativních optických mřížkách je a q-Gaussian.^[6]

The q-Gaussova distribuce se také získá jako asymptotická funkce hustoty pravděpodobnosti polohy jednorozměrného pohybu hmoty vystavené dvěma silám: deterministická síla typu ${ displaystyle F_ {1} (x) = - 2x / (1-x ^ {2})}$ (určení nekonečné potenciální jámy) a stochastická síla bílého šumu ${ displaystyle F_ {2} (t) = { sqrt {2 (1-q)}} xi (t)}$, kde ${ displaystyle xi (t)}$ je bílý šum. Všimněte si, že v aproximaci overdamped / small mass výše zmíněná konvergence selže ${ displaystyle q <0}$, jak bylo nedávno ukázáno.^[7]

Finance

Distribuce finanční návratnosti na newyorské burze, NASDAQ a jinde byly interpretovány jako q-Gausové.^[8][9]

Viz také

• Constantino Tsallis
• Statistiky Tsallis
• Tsallisova entropie
• Distribuce Tsallis
• q-exponenciální distribuce
• Q-Gaussův proces

Poznámky

Další čtení

• Juniper, J. (2007) „Distribuce Tsallis a zobecněná entropie: vyhlídky na budoucí výzkum rozhodování za nejistoty“, Centrum plné zaměstnanosti a spravedlnosti, The University of Newcastle, Australia

externí odkazy

• Statistika Tsallis, statistická mechanika pro nerozsáhlé systémy a interakce na velké vzdálenosti