Mollifier - Mollifier

Mollifier (nahoře) dovnitř dimenze jeden. V dolní části je červeně funkce s rohem (vlevo) a ostrým skokem (vpravo) a modře je její zklidněná verze.

v matematika, změkčovače (také známý jako aproximace identity) jsou plynulé funkce se speciálními vlastnostmi, které se používají například v teorie distribuce vytvořit sekvence plynulých funkcí přibližujících se nehladko (zobecněné) funkce, přes konvoluce. Intuitivně, vzhledem k funkci, která je dosti nepravidelná, jejím konvolucí s mollifikátorem se funkce „mollifikuje“, to znamená, že její ostré rysy jsou vyhlazeny, přičemž stále zůstávají blízko původní nehladké (zobecněné) funkci.^[1]

Oni jsou také známí jako Friedrichsovy změkčovače po Kurt Otto Friedrichs, který je představil.^[2]

Historické poznámky

Změkčovače byly zavedeny Kurt Otto Friedrichs ve svém příspěvku (Friedrichs 1944, s. 136–139), což je v moderní teorii o parciální diferenciální rovnice.^[3] Název tohoto matematického objektu měl zvláštní genezi a Peter Lax vypráví celý příběh ve svém komentáři k článku publikovanému ve Friedrichově “Vybrat".^[4] Podle něj v té době matematik Donald Alexander Flanders byl kolegou Friedrichse: protože rád konzultoval používání angličtiny s kolegy, požádal Flanderse o radu, jak pojmenovat operátora vyhlazování, který používal.^[3] Flanders byl puritán, přezdívaný svými přáteli Moll po Moll Flanders jako uznání jeho morálních kvalit: navrhl nazvat nový matematický koncept „změkčovač„jako slovní hříčka zahrnující jak Flanderskou přezdívku, tak sloveso“uklidnit „, což znamená„ uhladit “v přeneseném smyslu.^[5]

Dříve, Sergej Sobolev použil ve své epochě změkčovače papír z roku 1938,^[6] který obsahuje důkaz o Sobolevova veta: Friedrichs sám uznal Sobolevovu práci na změkčovačích tím, že: - "Tyto změkčovače představil Sobolev a autor ...".^[7]

Je třeba zdůraznit, že pojem „mollifier“ prošel jazykový drift od doby těchto základních prací: Friedrichs definován jako „změkčovač„ integrální operátor jehož jádro je jednou z funkcí, která se dnes nazývá zvlhčovače. Protože však vlastnosti lineárního integrálního operátoru jsou zcela určeny jeho jádrem, název mollfier zdědilo samotné jádro v důsledku běžného používání.

Definice

Funkce procházející postupnou molifikací.

Moderní definice (založená na distribuci)

Definice 1. Li ${ displaystyle varphi}$ je plynulá funkce na ℝⁿ, n ≥ 1, splňující následující tři požadavky

(1)   to je kompaktně podporováno^[8]

(2)  ${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} ! varphi (x) mathrm {d} x = 1}$

(3)  ${ displaystyle lim _ { epsilon až 0} varphi _ { epsilon} (x) = lim _ { epsilon až 0} epsilon ^ {- n} varphi (x / epsilon) = delta (x)}$

kde ${ displaystyle delta (x)}$ je Diracova delta funkce a limit je třeba chápat v prostoru Schwartze distribuce, pak ${ displaystyle varphi}$ je změkčovač. Funkce ${ displaystyle varphi}$ může také splnit další podmínky:^[9] například pokud to vyhovuje

(4)  ${ displaystyle varphi}$${ displaystyle (x)}$ ≥ 0 pro všechny X ∈ ℝⁿ, pak se nazývá a pozitivní změkčovač

(5)  ${ displaystyle varphi}$${ displaystyle (x)}$=${ displaystyle mu}$${ displaystyle (| x |)}$ pro některé nekonečně diferencovatelná funkce ${ displaystyle mu}$ : ℝ⁺ → ℝ, pak se nazývá a symetrický mollifier

Poznámky k Friedrichsově definici

Poznámka 1. Když teorie distribuce stále nebyl široce známý ani používán,^[10] vlastnictví (3) výše byl formulován tím, že konvoluce funkce ${ displaystyle scriptstyle varphi _ { epsilon}}$ s danou funkcí patřící k vlastnímu Hilbert nebo Banachův prostor konverguje tak jako ε → 0 k této funkci:^[11] to je přesně to, co Friedrichs dělal.^[12] To také objasňuje, proč se týkají mollifikátorů přibližné identity.^[13]

Poznámka 2. Jak stručně zdůraznil „Historické poznámky „část této položky, původně pojem„ mollifier “identifikoval následující operátor konvoluce:^[13][14]

${ displaystyle Phi _ { epsilon} (f) (x) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} varphi _ { epsilon} (xy) f (y) mathrm {d} y}$

kde ${ displaystyle varphi _ { epsilon} (x) = epsilon ^ {- n} varphi (x / epsilon)}$ a ${ displaystyle varphi}$ je plynulá funkce splnění prvních tří podmínek uvedených výše a jedné nebo více doplňkových podmínek jako pozitivita a symetrie.

Konkrétní příklad

Zvažte funkce ${ displaystyle varphi}$${ displaystyle (x)}$ a proměnná v ℝⁿ definován

${ displaystyle varphi (x) = { begin {cases} e ^ {- 1 / (1- | x | ^ {2})} / I_ {n} & { text {if}} | x | < 1 0 & { text {if}} | x | geq 1 end {cases}}}$

kde numerická konstanta ${ displaystyle I_ {n}}$ zajišťuje normalizaci. Je snadno vidět, že tato funkce je nekonečně diferencovatelné, neanalytické s mizením derivát pro |X| = 1. ${ displaystyle varphi}$ lze tedy použít jako změkčovač, jak je popsáno výše: je to také snadno vidět ${ displaystyle varphi}$${ displaystyle (x)}$ definuje a pozitivní a symetrický mollifier.^[15]

Funkce ${ displaystyle varphi}$${ displaystyle (x)}$ v dimenze jeden

Vlastnosti

Všechny vlastnosti mollifieru souvisí s jeho chováním při provozu konvoluce: uvádíme seznam následujících, jejichž důkazy najdete v každém textu teorie distribuce.^[16]

Vyhlazovací vlastnost

Pro jakoukoli distribuci ${ displaystyle T}$, následující skupina konvolucí indexovaných indexem reálné číslo ${ displaystyle epsilon}$

${ displaystyle T _ { epsilon} = T ast varphi _ { epsilon}}$

kde ${ displaystyle ast}$ označuje konvoluce, je rodina plynulé funkce.

Aproximace identity

Pro jakoukoli distribuci ${ displaystyle T}$, následující skupina konvolucí indexovaných indexem reálné číslo ${ displaystyle epsilon}$ konverguje k ${ displaystyle T}$

${ displaystyle lim _ { epsilon až 0} T _ { epsilon} = lim _ { epsilon až 0} T ast varphi _ { epsilon} = T v D ^ { prime} ( mathbb {R} ^ {n})}$

Podpora konvoluce

Pro jakoukoli distribuci ${ displaystyle T}$,

${ displaystyle mathrm {supp} T _ { epsilon} = mathrm {supp} (T ast varphi _ { epsilon}) podmnožina mathrm {supp} T + mathrm {supp} varphi _ { epsilon }}$

kde ${ displaystyle mathrm {podpora}}$ označuje Podpěra, podpora ve smyslu distribucí a ${ displaystyle +}$ označuje jejich Minkowského doplnění.

Aplikace

Základní aplikací změkčovačů je prokázat vlastnosti platné pro plynulé funkce také v nehladkých situacích:

Produkt distribucí

V některých teoriích zobecněné funkce, k definování násobení distribucí: přesně, vzhledem ke dvěma distribucím ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle T}$, limit produkt a plynulá funkce a a rozdělení

${ displaystyle lim _ { epsilon až 0} S _ { epsilon} cdot T = lim _ { epsilon až 0} S cdot T _ { epsilon} { overset { mathrm {def}} {=}} S cdot T}$

definuje (pokud existuje) jejich produkt v různých teoriích zobecněné funkce.

Věty „Slabé = Silné“

Velmi neformálně se mollifikátory používají k prokázání identity dvou různých druhů rozšíření diferenciálních operátorů: silné rozšíření a slabé prodloužení. Papír (Friedrichs 1944 ) ilustruje tento koncept docela dobře: vysoký počet technických detailů potřebných k prokázání toho, co to ve skutečnosti znamená, jim však brání v tom, aby byly formálně podrobně popsány v tomto krátkém popisu.

Hladké mezní funkce

Konvolucí charakteristická funkce z jednotková koule ${ displaystyle B_ {1} = {x: | x | <1 }}$ s plynulá funkce ${ displaystyle varphi _ {1/2}}$ (definováno jako v (3) s ${ displaystyle epsilon = 1/2}$), jeden získá funkci

${ displaystyle chi _ {B_ {1}, 1/2} (x) = chi _ {B_ {1}} ast varphi _ {1/2} (x) = int _ { mathbb { R} ^ {n}} ! ! ! Chi _ {B_ {1}} (xy) varphi _ {1/2} (y) mathrm {d} y = int _ {B_ {1 / 2}} ! ! ! Chi _ {B_ {1}} (xy) varphi _ {1/2} (y) mathrm {d} y ( protože mathrm {supp } ( varphi _ {1/2}) = B_ {1/2})}$

což je plynulá funkce rovná ${ displaystyle 1}$ na ${ displaystyle B_ {1/2} = {x: | x | <1/2 }}$, s podporou obsaženou v ${ displaystyle B_ {3/2} = {x: | x | <3/2 }}$. To lze snadno zjistit pozorováním, že pokud ${ displaystyle | x |}$ ≤ ${ displaystyle 1/2}$ a ${ displaystyle | y |}$ ≤ ${ displaystyle 1/2}$ pak ${ displaystyle | x-y |}$ ≤ ${ displaystyle 1}$. Proto pro ${ displaystyle | x |}$ ≤ ${ displaystyle 1/2}$,

${ displaystyle int _ {B_ {1/2}} ! ! ! chi _ {B_ {1}} (xy) varphi _ {1/2} (y) mathrm {d} y = int _ {B_ {1/2}} ! ! ! varphi _ {1/2} (y) mathrm {d} y = 1}$.

Je snadné vidět, jak lze tuto konstrukci zobecnit, aby se získala hladká funkce identická s funkcí na a sousedství daného kompaktní sada, a rovna nule v každém bodě, jehož vzdálenost z této množiny je větší než daná ${ displaystyle epsilon}$.^[17] Taková funkce se nazývá (hladká) funkce cut-off: ty funkce se používají k eliminaci singularit daného (zobecněný ) funkce podle násobení. Ponechají nezměněnou hodnotu (zobecněný ) funkce množí se pouze na daném místě soubor, čímž upravuje svůj Podpěra, podpora: také základní funkce jsou mezní funkce hladké rozdělení jednoty.

Viz také

• Přibližná identita
• Neanalytická plynulá funkce
• Funkce nárazu
• Konvoluce
• Weierstrassova transformace
• Distribuce (matematika)
• Kurt Otto Friedrichs
• Zobecněná funkce
• Sergej Sobolev

Poznámky

Reference

• Friedrichs, Kurt Otto (Leden 1944), „Identita slabých a silných rozšíření operátorů diferenciálu“, Transakce Americké matematické společnosti, 55 (1): 132–151, doi:10.1090 / S0002-9947-1944-0009701-0, JSTOR  1990143, PAN  0009701, Zbl  0061.26201. První papír, kde byly zavedeny změkčovače.
• Friedrichs, Kurt Otto (1953), „O diferencovatelnosti řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic“, Sdělení o čisté a aplikované matematice, VI (3): 299–326, doi:10,1002 / cpa.3160060301, PAN  0058828, Zbl  0051.32703, archivovány z originál dne 05.01.2013. Papír, kde rozlišitelnost z řešení eliptických parciálních diferenciálních rovnic se zkoumá pomocí změkčovačů.
• Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S. (vyd.), Vybrat, Současní matematici, Boston-Basilej -Stuttgart: Birkhäuser Verlag 427 (svazek 1), str. 608 (svazek 2), ISBN  0-8176-3270-0, Zbl  0613.01020. Výběr z Friedrichových prací s biografií a komentáři David Isaacson, Fritz John, Tosio Kato, Peter Lax, Louis Nirenberg, Wolfgag Wasow, Harold Weitzner.
• Giusti, Enrico (1984), Minimální plochy a funkce omezených variací Monografie z matematiky, 80, Basilej -Boston -Stuttgart: Birkhäuser Verlag, str. Xii + 240, ISBN  0-8176-3153-4, PAN  0775682, Zbl  0545.49018.
• Hörmander, Larsi (1990), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IGrundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2. vyd.), Berlín -Heidelberg -New York: Springer-Verlag, ISBN  0-387-52343-X, PAN  1065136, Zbl  0712.35001.
• Sobolev, Sergej L. (1938), „Sur un théorème d'analyse fonctionnelle“, Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (v ruštině a francouzštině), 4 (46) (3): 471–497, Zbl  0022.14803. Papír, kde se Sergej Sobolev osvědčil věta o vložení, představení a použití integrální operátory velmi podobné změkčovačům, aniž by je pojmenovávali.