Gaussova q-distribuce - Gaussian q-distribution
Tento článek je o distribuci zavedené Diazem a Teruelem. Pro Tsallis q-Gaussian viz
q-Gaussian .
v matematická fyzika a pravděpodobnost a statistika , Gaussian q -rozdělení je rodina rozdělení pravděpodobnosti to zahrnuje, jako omezující případy , rovnoměrné rozdělení a normální (Gaussovo) rozdělení . Představili jej Diaz a Teruel,[je zapotřebí objasnění ] je q-analog Gaussova nebo normální distribuce .
Distribuce je symetrická kolem nuly a je omezená, s výjimkou omezujícího případu normálního rozdělení. Omezující rovnoměrné rozdělení je v rozsahu -1 až +1.
Definice Gaussova q-hustota.
Nechat q být reálné číslo v intervalu [0, 1). The funkce hustoty pravděpodobnosti Gaussian q -distribuce je dána
s q ( X ) = { 0 -li X < − ν 1 C ( q ) E q 2 − q 2 X 2 [ 2 ] q -li − ν ≤ X ≤ ν 0 -li X > ν . { displaystyle s_ {q} (x) = { begin {cases} 0 & { text {if}} x <- nu { frac {1} {c (q)}} E_ {q ^ { 2}} ^ { frac {-q ^ {2} x ^ {2}} {[2] _ {q}}} & { text {if}} - nu leq x leq nu 0 & { mbox {if}} x> nu. End {cases}}} kde
ν = ν ( q ) = 1 1 − q , { displaystyle nu = nu (q) = { frac {1} { sqrt {1-q}}},} C ( q ) = 2 ( 1 − q ) 1 / 2 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m q m ( m + 1 ) ( 1 − q 2 m + 1 ) ( 1 − q 2 ) q 2 m . { displaystyle c (q) = 2 (1-q) ^ {1/2} součet _ {m = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {m} q ^ {m ( m + 1)}} {(1-q ^ {2m + 1}) (1-q ^ {2}) _ {q ^ {2}} ^ {m}}}.} The q -analog [t ]q reálného čísla t { displaystyle t} darováno
[ t ] q = q t − 1 q − 1 . { displaystyle [t] _ {q} = { frac {q ^ {t} -1} {q-1}}.} The q -analog z exponenciální funkce je q-exponenciální , E X q , který je dán
E q X = ∑ j = 0 ∞ q j ( j − 1 ) / 2 X j [ j ] ! { displaystyle E_ {q} ^ {x} = součet _ {j = 0} ^ { infty} q ^ {j (j-1) / 2} { frac {x ^ {j}} {[j ]!}}} Kde q -analog z faktoriál je q-faktoriál , [n ]q !, což je zase dáno
[ n ] q ! = [ n ] q [ n − 1 ] q ⋯ [ 2 ] q { displaystyle [n] _ {q}! = [n] _ {q} [n-1] _ {q} cdots [2] _ {q} ,} pro celé číslo n > 2 a [1]q ! = [0]q ! = 1.
Kumulativní Gaussova q-distribuce.
The kumulativní distribuční funkce Gaussian q -distribuce je dána
G q ( X ) = { 0 -li X < − ν 1 C ( q ) ∫ − ν X E q 2 − q 2 t 2 / [ 2 ] d q t -li − ν ≤ X ≤ ν 1 -li X > ν { displaystyle G_ {q} (x) = { begin {cases} 0 & { text {if}} x <- nu [12pt] displaystyle { frac {1} {c (q)}} int _ {- nu} ^ {x} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} t ^ {2} / [2]} , d_ {q} t & { text {pokud }} - nu leq x leq nu [12 bodů] 1 & { text {if}} x> nu end {případy}}} Kde integrace symbol označuje Jacksonův integrál .
Funkce G q je dán výslovně uživatelem
G q ( X ) = { 0 -li X < − ν , 1 2 + 1 − q C ( q ) ∑ n = 0 ∞ q n ( n + 1 ) ( q − 1 ) n ( 1 − q 2 n + 1 ) ( 1 − q 2 ) q 2 n X 2 n + 1 -li − ν ≤ X ≤ ν 1 -li X > ν { displaystyle G_ {q} (x) = { begin {cases} 0 & { text {if}} x <- nu, displaystyle { frac {1} {2}} + { frac { 1-q} {c (q)}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {q ^ {n (n + 1)} (q-1) ^ {n}} {( 1-q ^ {2n + 1}) (1-q ^ {2}) _ {q ^ {2}} ^ {n}}} x ^ {2n + 1} & { text {if}} - nu leq x leq nu 1 & { text {if}} x> nu end {případy}}} kde
( A + b ) q n = ∏ i = 0 n − 1 ( A + q i b ) . { displaystyle (a + b) _ {q} ^ {n} = prod _ {i = 0} ^ {n-1} (a + q ^ {i} b).} Okamžiky The momenty Gaussian q -distribuce jsou dány
1 C ( q ) ∫ − ν ν E q 2 − q 2 X 2 / [ 2 ] X 2 n d q X = [ 2 n − 1 ] ! ! , { displaystyle { frac {1} {c (q)}} int _ {- nu} ^ { nu} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} x ^ {2} / [2]} , x ^ {2n} , d_ {q} x = [2n-1] !!,} 1 C ( q ) ∫ − ν ν E q 2 − q 2 X 2 / [ 2 ] X 2 n + 1 d q X = 0 , { displaystyle { frac {1} {c (q)}} int _ {- nu} ^ { nu} E_ {q ^ {2}} ^ {- q ^ {2} x ^ {2} / [2]} , x ^ {2n + 1} , d_ {q} x = 0,} kde symbol [2n - 1] !! je q -analog z dvojitý faktoriál dána
[ 2 n − 1 ] [ 2 n − 3 ] ⋯ [ 1 ] = [ 2 n − 1 ] ! ! . { displaystyle [2n-1] [2n-3] cdots [1] = [2n-1] !!. ,} Viz také Reference Díaz, R .; Pariguan, E. (2009). „Na Gaussovu q-distribuci“. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 358 : 1. arXiv :0807.1918 . doi :10.1016 / j.jmaa.2009.04.046 . Diaz, R .; Teruel, C. (2005). „q, k-zobecněné funkce gama a beta“ (PDF) . Časopis nelineární matematické fyziky . 12 (1): 118–134. arXiv :matematika / 0405402 . Bibcode :2005JNMP ... 12..118D . doi :10.2991 / jnmp.2005.12.1.10 . van Leeuwen, H .; Maassen, H. (1995). "A q deformace Gaussova rozdělení " (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 36 (9): 4743. Bibcode :1995JMP .... 36,4743V . CiteSeerX 10.1.1.24.6957 . doi :10.1063/1.530917 . Exton, H. (1983), q-Hypergeometrické funkce a aplikace , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
Diskrétní univariate s konečnou podporou Diskrétní univariate s nekonečnou podporou Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší Smíšené spojité diskrétní univariate Vícerozměrný (společný) Směrový Degenerovat a jednotné číslo Rodiny