Fejér jádro - Fejér kernel

v matematika, Fejér jádro je summability kernel slouží k vyjádření účinku Cesàro součet na Fourierova řada. Jedná se o nezáporné jádro, které vede k přibližná identita. Je pojmenována po maďarský matematik Lipót Fejér (1880–1959).

Děj několika jader Fejér

Definice

The Fejér jádro je definován jako

${ displaystyle F_ {n} (x) = { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} D_ {k} (x),}$

kde

${ displaystyle D_ {k} (x) = součet _ {s = -k} ^ {k} { rm {e}} ^ {isx}}$

je kth pořadí Dirichletovo jádro. Může být také napsán v uzavřené formě jako

${ displaystyle F_ {n} (x) = { frac {1} {n}} vlevo ({ frac { sin { frac {nx} {2}}} { sin { frac {x} {2}}}} right) ^ {2} = { frac {1} {n}} left ({ frac {1- cos (nx)} {1- cos x}} right) }$,

kde je tento výraz definován.^[1]

Jádro Fejér lze také vyjádřit jako

${ displaystyle F_ {n} (x) = součet _ {| j | leq n-1} vlevo (1 - { frac {| j |} {n}} vpravo) e ^ {ijx}}$.

Vlastnosti

Jádro Fejér je jádro pozitivní sumarizace. Důležitou vlastností jádra Fejér je ${ displaystyle F_ {n} (x) geq 0}$ s průměrnou hodnotou ${ displaystyle 1}$.

Konvoluce

The konvoluce F_n je pozitivní: pro ${ displaystyle f geq 0}$ období ${ displaystyle 2 pi}$ to uspokojuje

${ displaystyle 0 leq (f * F_ {n}) (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f (y) F_ {n } (xy) , dy.}$

Od té doby ${ displaystyle f * D_ {n} = S_ {n} (f) = součet _ {| j | leq n} { widehat {f}} _ {j} e ^ {ijx}}$, my máme ${ displaystyle f * F_ {n} = { frac {1} {n}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} S_ {k} (f)}$, který je Cesàro součet Fourierovy řady.

Podle Youngova konvoluční nerovnost,

${ displaystyle | F_ {n} * f | _ {L ^ {p} ([- pi, pi])} leq | f | _ {L ^ {p} ([- pi , pi])}}$ pro každého ${ displaystyle 1 leq p leq infty}$

pro ${ displaystyle f v L ^ {p}}$.

Navíc, pokud ${ displaystyle f v L ^ {1} ([- pi, pi])}$, pak

${ displaystyle f * F_ {n} rightarrow f}$ a.e.

Od té doby ${ displaystyle [- pi, pi]}$ je konečný, ${ displaystyle L ^ {1} ([- pi, pi]) supset L ^ {2} ([- pi, pi]) supset cdots supset L ^ { infty} ([- pi, pi])}$, takže výsledek platí pro ostatní ${ displaystyle L ^ {p}}$ mezery, ${ displaystyle p geq 1}$ také.

Li ${ displaystyle f}$ je spojitá, pak je konvergence jednotná a poskytuje důkaz o Weierstrassova věta.

• Jedním z důsledků bodového a.e. konvergence je jedinečnost Fourierových koeficientů: If ${ displaystyle f, g v L ^ {1}}$ s ${ displaystyle { hat {f}} = { hat {g}}}$, pak ${ displaystyle f = g}$ a.e. To vyplývá z psaní ${ displaystyle f * F_ {n} = součet _ {| j | leq n} left (1 - { frac {| j |} {n}} right) { hat {f}} _ { j} e ^ {ijt}}$, což závisí pouze na Fourierových koeficientech.
• Druhým důsledkem je, že pokud ${ displaystyle lim _ {n to infty} S_ {n} (f)}$ tedy existuje ${ displaystyle lim _ {n to infty} F_ {n} (f) = f}$ a.e., protože Cesàro znamená ${ displaystyle F_ {n} * f}$ konvergovat k původnímu limitu sekvence, pokud existuje.

Viz také

• Fejérova věta
• Dirichletovo jádro
• Gibbsův fenomén
• Charles Jean de la Vallée-Poussin

Reference