LP prostor - Lp space

v matematika, L^str mezery jsou funkční prostory definováno pomocí přirozeného zobecnění str-norma pro konečný rozměr vektorové prostory. Někdy se jim říká Lebesgueovy prostory, pojmenoval podle Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), i když podle Bourbaki skupina (Bourbaki 1987 ) byly poprvé představeny Frigyes Riesz (Riesz 1910 ). L^str mezery tvoří důležitou třídu Banachovy prostory v funkční analýza a topologické vektorové prostory. Vzhledem ke své klíčové roli v matematické analýze prostorů míry a pravděpodobnosti se Lebesgueovy prostory používají také v teoretické diskusi o problémech ve fyzice, statistice, financích, strojírenství a dalších oborech.

Aplikace

Statistika

v statistika, opatření z centrální tendence a statistická disperze, tak jako znamenat, medián, a standardní odchylka, jsou definovány v pojmech L^str metriky a míry centrální tendence lze charakterizovat jako řešení variačních problémů.

V penalizované regresi se „trest L1“ a „trest L2“ vztahuje k penalizaci buď L¹ norma vektoru řešení s hodnotami parametrů (tj. součtu jeho absolutních hodnot) nebo jeho L² norma (její Euklidovská délka ). Techniky, které používají trest L1, jako LASO, podporovat řešení, kde je mnoho parametrů nulových. Techniky, které používají trest L2, jako hřebenová regrese, podporovat řešení, kde je většina hodnot parametrů malá. Elastická regularizace sítě používá trestný termín, který je kombinací L¹ norma a L² norma vektoru parametrů.

Hausdorff – Mladá nerovnost

The Fourierova transformace pro skutečnou linii (nebo pro periodické funkce viz Fourierova řada ), mapy L^str(R) na L^q(R) (nebo L^str(T) na ℓ^q) v uvedeném pořadí 1 ≤ str ≤ 2 a 1/str + 1/q = 1. To je důsledek Věta o interpolaci Riesz – Thorin a je upřesněn pomocí Hausdorff – Mladá nerovnost.

Naopak, pokud str > 2Fourierova transformace se nezmapuje L^q.

Hilbertovy prostory

Hilbertovy prostory jsou ústředním bodem mnoha aplikací od kvantová mechanika na stochastický počet. Mezery L² a ℓ² jsou oba Hilbertovy prostory. Ve skutečnosti výběrem Hilbertovy báze (tj. Maximální ortonormální podmnožina L² nebo jakýkoli Hilbertův prostor), je vidět, že všechny Hilbertovy prostory jsou izometrické ℓ²(E), kde E je množina s odpovídající mohutností.

The str- normální v konečných rozměrech

Ilustrace jednotkové kruhy (viz také superellipse ) v různých str-normy (každý vektor od počátku k jednotkové kružnici má délku jednoho, přičemž délka se počítá s délkovým vzorcem odpovídající str).

Délka vektoru X = (X₁, X₂, ..., X_n) v n-dimenzionální nemovitý vektorový prostor Rⁿ je obvykle dána Euklidovská norma:

${ displaystyle left | x right | _ {2} = left ({x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2} + dotsb + {x_ {n} } ^ {2} vpravo) ^ {1/2}.}$

Euklidovská vzdálenost mezi dvěma body X a y je délka ||X − y||₂ přímky mezi dvěma body. V mnoha situacích je euklidovská vzdálenost nedostatečná pro zachycení skutečných vzdáleností v daném prostoru. Analogii k tomu navrhují řidiči taxislužby v mřížovém plánu ulice, kteří by měli měřit vzdálenost nikoli z hlediska délky přímky k cíli, ale z hlediska přímá vzdálenost, který bere v úvahu, že ulice jsou buď kolmé nebo rovnoběžné. Třída str-norms zobecňuje tyto dva příklady a má v mnoha částech hojnost aplikací matematika, fyzika, a počítačová věda.

Definice

Pro reálné číslo str ≥ 1, str-norma nebo L^str-norma z X je definováno

${ displaystyle left | x right | _ {p} = left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + dotsb + | x_ {n} | ^ {p} vpravo) ^ {1 / p}.}$

Pruhy absolutní hodnoty nejsou nutné, když str je racionální číslo a ve zmenšené podobě má sudý čitatel.

Euklidovská norma shora spadá do této třídy a je 2-norm, a 1-norm je norma, která odpovídá přímá vzdálenost.

The L^∞-norma nebo maximální norma (nebo jednotná norma) je limit L^str-normy pro str → ∞. Ukazuje se, že tento limit je ekvivalentní následující definici:

${ displaystyle left | x right | _ { infty} = max left {| x_ {1} |, | x_ {2} |, dotsc, | x_ {n} | right }}$

Vidět L-nekonečno.

Pro všechny str ≥ 1, str-normy a maximální norma, jak jsou definovány výše, skutečně splňují vlastnosti "délkové funkce" (nebo norma ), kterými jsou:

• pouze nulový vektor má nulovou délku,
• délka vektoru je pozitivní homogenní vzhledem k násobení skalárem (pozitivní homogenita ), a
• délka součtu dvou vektorů není větší než součet délek vektorů (nerovnost trojúhelníku ).

Z abstraktního hlediska to znamená Rⁿ společně s str-norm je Banachův prostor. Tento Banachův prostor je L^str-prostor přes Rⁿ.

Vztahy mezi str-normy

Vzdálenost mřížky nebo přímá vzdálenost (někdy nazývaná „Vzdálenost na Manhattanu „) mezi dvěma body nikdy není kratší než délka úsečky mezi nimi (vzdálenost euklidovská nebo„ vzdušnou čarou “). Formálně to znamená, že euklidovská norma libovolného vektoru je omezena jeho 1 normou:

${ displaystyle left | x right | _ {2} leq left | x right | _ {1}.}$

Tato skutečnost se zobecňuje na str-normy v tom str-norma ||X||_str libovolného daného vektoru X neroste s str:

||X||_str+A ≤ ||X||_str pro libovolný vektor X a reálná čísla str ≥ 1 a A ≥ 0. (Ve skutečnosti to platí pro 0 < str < 1 a A ≥ 0.)

Pro opačný směr platí následující vztah mezi 1-norm a 2-norm je znám:

${ displaystyle left | x right | _ {1} leq { sqrt {n}} left | x right | _ {2}.}$

Tato nerovnost závisí na dimenzi n podkladového vektorového prostoru a vyplývá přímo z Cauchy – Schwarzova nerovnost.

Obecně platí, že pro vektory v Cⁿ kde 0 < r < str:

${ displaystyle left | x right | _ {p} leq left | x right | _ {r} leq n ^ {(1 / r-1 / p)} left | x right | _ {p}.}$

To je důsledek Hölderova nerovnost.

Když 0 < str < 1

Astroid, jednotkový kruh v str = 2/3 metrický

v Rⁿ pro n > 1, vzorec

${ displaystyle | x | _ {p} = left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + cdots + | x_ {n} | ^ {p } vpravo) ^ {1 / p}}$

definuje absolutně homogenní funkce pro 0 < str < 1; výsledná funkce však nedefinuje normu, protože není subadditivní. Na druhou stranu vzorec

${ displaystyle | x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + dotsb + | x_ {n} | ^ {p}}$

definuje subaditivní funkci za cenu ztráty absolutní homogenity. Definuje F-norma, který je však homogenní str.

Proto funkce

${ displaystyle d_ {p} (x, y) = součet _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -y_ {i} | ^ {p}}$

definuje a metrický. Metrický prostor (Rⁿ, d_str) je označen ℓ_n^str.

Ačkoliv str-jednotkový míč B_n^str původ kolem této metriky je „konkávní“, topologie je definována na Rⁿ podle metriky d_str je obvyklá topologie vektorového prostoru Rⁿ, proto ℓ_n^str je lokálně konvexní topologický vektorový prostor. Kromě tohoto kvalitativního tvrzení jde o kvantitativní způsob měření nedostatku konvexnosti ℓ_n^str je označovat C_str(n) nejmenší konstanta C takové, že násobek C B_n^str z str-jednotkový míč obsahuje konvexní trup B_n^str, rovná B_n¹. Skutečnost, že pro pevné str < 1 my máme

${ displaystyle C_ {p} (n) = n ^ {1 / p-1} až infty, qquad { text {as}} n až infty}$

ukazuje, že nekonečno-dimenzionální sekvenční prostor ℓ^str definovaný níže, již není lokálně konvexní.^{[Citace je zapotřebí ]}

Když str = 0

Jeden je ℓ₀ norma a další funkce zvaná ℓ₀ „norma“ (s uvozovkami).

Matematická definice ℓ₀ normu stanovil Banach je Teorie lineárních operací. The prostor sekvencí má úplnou metrickou topologii poskytnutou F-norma

${ displaystyle (x_ {n}) mapsto sum _ {n} 2 ^ {- n} { frac {| x_ {n} |} {1+ | x_ {n} |}},}$

o kterém hovoří Stefan Rolewicz v Metrické lineární prostory.^[1] The ℓ₀-normovaný prostor je studován ve funkční analýze, teorii pravděpodobnosti a harmonické analýze.

Další funkce se nazývala ℓ₀ „normou“ od David Donoho —Které uvozovky varují, že tato funkce není správnou normou - je počet nenulových položek vektoru X. Mnoho autorů terminologie zneužívání vynecháním uvozovek. Definování 0⁰ = 0, nulová „norma“ z X je rovný

${ displaystyle | x_ {1} | ^ {0} + | x_ {2} | ^ {0} + cdots + | x_ {n} | ^ {0}.}$

Animovaný gif p-norem 0,1 až 2 s krokem 0,05.

To není norma protože není homogenní. Například změna měřítka vektoru X kladnou konstantou nemění „normu“. Přes tyto defekty jako matematická norma má „norma“ s nenulovým počítáním použití v vědecké výpočty, teorie informace, a statistika - zejména v komprimované snímání v zpracování signálu a výpočetní harmonická analýza. Přidružená vadná „metrika“ je známá jako Hammingova vzdálenost.

The str-norm v nekonečných rozměrech a ℓ^str mezery

Sekvenční prostor ℓ^str

The str-norm lze rozšířit na vektory, které mají nekonečné množství komponent (sekvence ), čímž se získá prostor ℓ^str. Toto obsahuje jako zvláštní případy:

• ℓ¹, prostor sekvencí, jejichž série je absolutně konvergentní,
• ℓ², prostor čtvercový součet sekvence, což je a Hilbertův prostor, a
• ℓ^∞, prostor ohraničené sekvence.

Prostor sekvencí má přirozenou strukturu vektorového prostoru aplikací souřadnic sčítání a skalárního násobení souřadnicemi. Výslovně vektorový součet a skalární akce pro nekonečno sekvence skutečné (nebo komplex ) čísla jsou dána:

${ displaystyle { begin {aligned} & (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, ldots) + (y_ {1}, y_ {2} , ldots, y_ {n}, y_ {n + 1}, ldots) = {} & (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, ldots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n + 1} + y_ {n + 1}, ldots), [6pt] & lambda cdot left (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}, ldots right) = {} & ( lambda x_ {1}, lambda x_ {2}, ldots, lambda x_ {n} , lambda x_ {n + 1}, ldots). end {zarovnáno}}}$

Definujte str-norma:

${ displaystyle left | x right | _ {p} = left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + cdots + | x_ {n} | ^ {p} + | x_ {n + 1} | ^ {p} + cdots right) ^ {1 / p}}$

Zde nastává komplikace, a to, že série napravo není vždy konvergentní, takže například posloupnost složená pouze z těch, (1, 1, 1, ...), bude mít nekonečno str-norm pro 1 ≤ str < ∞. Prostor ℓ ^str je pak definována jako množina všech nekonečných posloupností reálných (nebo komplexních) čísel tak, že str-norm je konečný.

Lze to zkontrolovat jako str zvyšuje, sada ℓ ^str roste větší. Například sekvence

${ displaystyle left (1, { frac {1} {2}}, ldots, { frac {1} {n}}, { frac {1} {n + 1}}, ldots right )}$

není v ℓ¹, ale je v ℓ ^str pro str > 1jako série

${ displaystyle 1 ^ {p} + { frac {1} {2 ^ {p}}} + cdots + { frac {1} {n ^ {p}}} + { frac {1} {( n + 1) ^ {p}}} + cdots,}$

rozchází se pro str = 1 (dále jen harmonická řada ), ale je konvergentní pro str > 1.

Jeden také definuje ∞- normální používání supremum:

${ displaystyle left | x right | _ { infty} = sup (| x_ {1} |, | x_ {2} |, dotsc, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, ldots)}$

a odpovídající prostor ℓ^∞ všech ohraničených sekvencí. Ukázalo se, že^[2]

${ displaystyle left | x right | _ { infty} = lim _ {p to infty} left | x right | _ {p}}$

pokud je pravá strana konečná nebo levá strana nekonečná. Budeme tedy uvažovat ℓ^str prostory pro 1 ≤ str ≤ ∞.

The str-norm takto definováno dne ℓ ^str je skutečně normou a ℓ^str společně s touto normou je a Banachův prostor. Plně obecný L^str prostor je získán - jak je vidět níže - uvažováním vektorů, a to nejen s konečně nebo spočetně - nekonečně mnoha složkami, ale s "libovolně mnoho komponent"; jinými slovy, funkce. An integrální místo součtu se používá k definování str-norma.

Obecně ℓ^str-prostor

V úplné analogii k předchozí definici lze definovat prostor ${ displaystyle ell ^ {p} (I)}$ přes obecnou sadu indexů ${ displaystyle I}$ (a ${ Displaystyle 1 leq p < infty}$) tak jako

${ displaystyle ell ^ {p} (I) = left {(x_ {i}) _ {i in I} in mathbb {K} ^ {I}; , sum _ {i v I} | x_ {i} | ^ {p} < infty right } ,}$,

kde konvergence vpravo znamená, že pouze spočetně mnoho sčítání je nenulových (viz také Bezpodmínečná konvergence ). S normou

${ displaystyle left | x right | _ {p} = left ( sum _ {i in I} | x_ {i} | ^ {p} right) ^ {1 / p}}$

prostor ${ displaystyle ell ^ {p} (I)}$ se stane Banachovým prostorem ${ displaystyle I}$ je konečný s ${ displaystyle n}$ prvků, tato konstrukce přináší Rⁿ s ${ displaystyle p}$-norm definovaný výše ${ displaystyle I}$ je spočetně nekonečný, toto je přesně ten posloupný prostor ${ displaystyle ell ^ {p}}$ definováno výše. Pro nespočetné sady ${ displaystyle I}$ toto je non-oddělitelný Banachův prostor, který lze považovat za lokálně konvexní přímý limit z ${ displaystyle ell ^ {p}}$- sekvenční mezery.^[3]

Sada indexů ${ displaystyle I}$ lze proměnit v změřte prostor tím, že mu diskrétní σ-algebra a počítání opatření. Pak ${ displaystyle ell ^ {p} (I)}$ je jen speciální případ obecnější ${ displaystyle L ^ {p}}$-prostor (viz níže).

L^str mezery

An L^str prostor lze definovat jako prostor měřitelných funkcí, pro které ${ displaystyle p}$-tá síla absolutní hodnota je Lebesgue integrovatelný, kde jsou identifikovány funkce, které se shodují téměř všude. Obecněji řečeno 1 ≤ str < ∞ a (S, Σ, μ) být změřte prostor. Zvažte soubor všech měřitelné funkce z S na C nebo R jehož absolutní hodnota zvedl k str-tá síla má konečný integrál nebo ekvivalentně to

${ displaystyle | f | _ {p} equiv left ( int _ {S} | f | ^ {p} ; mathrm {d} mu right) ^ {1 / p} < infty}$

Sada takových funkcí tvoří a vektorový prostor, s následujícími přirozenými operacemi:

${ displaystyle { začátek {zarovnáno} (f + g) (x) & = f (x) + g (x), ( lambda f) (x) & = lambda f (x) konec { zarovnaný}}}$

pro každý skalární λ.

To je součet dvou str-tá moc integrovatelná funkce je opět str-tá integrovatelná síla vyplývá z nerovnosti

${ displaystyle | f + g | _ {p} ^ {p} leq 2 ^ {p-1} left ( | f | _ {p} ^ {p} + | g | _ {p} ^ {p} right).}$

(Vychází to z konvexnosti ${ displaystyle t mapsto t ^ {p}}$ pro ${ displaystyle p geq 1}$.)

Ve skutečnosti platí více. Minkowského nerovnost říká nerovnost trojúhelníku platí pro || · ||_str. Tedy soubor str-th moc integrovatelné funkce, spolu s funkcí || · ||_str, je seminář vektorový prostor, který je označen ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ {p} (S, , mu)}$.

Pro str = ∞, prostor ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { infty} (S, mu)}$ je prostor měřitelných funkcí ohraničený téměř všude s základní supremum jeho absolutní hodnoty jako normy:

${ displaystyle | f | _ { infty} equiv inf {C geq 0: | f (x) | leq C { text {pro téměř všechny}} x }.}$

Stejně jako v samostatném případě, pokud existuje q < ∞ takhle  F  ∈ L^∞(S, μ) ∩ L^q(S, μ), pak

${ displaystyle | f | _ { infty} = lim _ {p to infty} | f | _ {p}.}$

${ displaystyle { mathcal {L}} ^ {p} (S, , mu)}$ lze udělat z normovaný vektorový prostor standardním způsobem; jeden prostě vezme kvocientový prostor s respektem k jádro z || · ||_str. Protože pro jakoukoli měřitelnou funkci  F , máme to || F ||_str = 0 kdyby a jen kdyby  F  = 0 téměř všude, jádro || · ||_str na tom nezávisí str,

${ displaystyle { mathcal {N}} equiv {f: f = 0 mu { text {- téměř všude}} } = ker ( | cdot | _ {p}) qquad forall 1 leq p < infty}$

V kvocientovém prostoru dvě funkce  F  a G jsou identifikovány, pokud  F  = G téměř všude. Výsledný normovaný vektorový prostor je podle definice

${ displaystyle L ^ {p} (S, mu) equiv { mathcal {L}} ^ {p} (S, mu) / { mathcal {N}}}$

Obecně nelze tento proces zvrátit: neexistuje žádný konzistentní způsob, jak obnovit soubor ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ z ${ displaystyle L ^ {p}}$. Pro ${ displaystyle L ^ { infty}}$, nicméně, tam je teorie výtahů umožňující takové zotavení.

Když podkladový měrný prostor S rozumí se, L^str(S, μ) je často zkráceno L^str(μ), nebo prostě L^str.

Pro 1 ≤ str ≤ ∞, L^str(S, μ) je Banachův prostor. Skutečnost, že L^str je kompletní se často označuje jako Riesz-Fischerova věta, a lze je dokázat pomocí vět o konvergenci pro Lebesgueovy integrály.

Výše uvedené definice zobecňují na Bochnerovy prostory.

Speciální případy

Podobně jako u ℓ^str mezery, L² je jediný Hilbertův prostor mezi L^str mezery. V komplexním případě je vnitřní produkt zapnutý L² je definováno

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {S} f (x) { overline {g (x)}} , mathrm {d} mu (x)}$

Dodatečná vnitřní struktura produktu umožňuje bohatší teorii s aplikacemi například pro Fourierova řada a kvantová mechanika. Funkce v L² jsou někdy nazývány kvadraticky integrovatelné funkce, čtvercově integrovatelné funkce nebo čtvercové funkce, ale někdy jsou tyto termíny vyhrazeny pro funkce, které jsou čtvercově integrovatelné v nějakém jiném smyslu, například ve smyslu a Riemannův integrál (Titchmarsh 1976 ).

Pokud použijeme funkce s komplexní hodnotou, prostor L^∞ je komutativní C * -algebra s bodovým násobením a konjugací. Pro mnoho měrných prostorů, včetně všech sigma-konečných, je to ve skutečnosti komutativní von Neumannova algebra. Prvek L^∞ definuje a ohraničený operátor Na každém L^str prostor od násobení.

Pro 1 ≤ str ≤ ∞ the ℓ^str mezery jsou zvláštním případem L^str mezery, když S = N, a μ je počítání opatření na N. Obecněji, pokud vezmeme v úvahu jakoukoli sadu S s mírou počítání, výsledná L^str prostor je označen ℓ^str(S). Například prostor ℓ^str(Z) je prostor všech sekvencí indexovaných celými čísly a při definování str-norm na takovém prostoru, jeden sečte přes všechna celá čísla. Prostor ℓ^str(n), kde n je sada s n prvků, je Rⁿ s jeho str-norm, jak je definováno výše. Jako každý Hilbertův prostor, každý prostor L² je lineárně izometrický k vhodnému ℓ²(Já), kde mohutnost množiny Já je mohutnost libovolného hilbertovského základu pro tento konkrétní případ L².

Vlastnosti L^str mezery

Duální mezery

The dvojí prostor (Banachův prostor všech spojitých lineárních funkcionálů) L^str(μ) pro 1 < str < ∞ má přirozený izomorfismus s L^q(μ), kde q je takový  1/str + 1/q = 1 (tj. q = str/str − 1). Tento izomorfismus se sdružuje G ∈ L^q(μ) s funkční κ_str(G) ∈ L^str(μ)^∗ definován

${ Displaystyle f mapsto kappa _ {p} (g) (f) = int fg , mathrm {d} mu }$ pro každého ${ displaystyle f v L ^ {p} ( mu)}$

Skutečnost, že κ_str(G) je dobře definované a plynulé vyplývá z Hölderova nerovnost. κ_str : L^q(μ) → L^str(μ)^∗ je lineární mapování, které je izometrie podle extrémní případ Hölderovy nerovnosti. Je také možné ukázat (například pomocí Věta Radon – Nikodym viz^[4]) že jakýkoli G ∈ L^str(μ)^∗ lze vyjádřit takto: tj. že κ_str je na. Od té doby κ_str je do a izometrické, to je izomorfismus z Banachovy prostory. S ohledem na tento (izometrický) izomorfismus se obvykle říká jednoduše to L^q je dvojí Banachův prostor L^str.

Pro 1 < str < ∞, prostor L^str(μ) je reflexní. Nechat κ_str být jako výše a nechat κ_q : L^str(μ) → L^q(μ)^∗ být odpovídající lineární izometrie. Zvažte mapu z L^str(μ) na L^str(μ)^∗∗, získané složením κ_q s přemístit (nebo adjoint) inverzní k κ_str:

${ displaystyle j_ {p}: L ^ {p} ( mu) { overset { kappa _ {q}} { longrightarrow}} L ^ {q} ( mu) ^ {*} { overset { left ( kappa _ {p} ^ {- 1} right) ^ {*}} { longrightarrow}} L ^ {p} ( mu) ^ {**}}$

Tato mapa se shoduje s kanonické vkládání J z L^str(μ) do svého bidualu. Navíc mapa j_str je na, jako složení dvou na izometrie, a to dokazuje reflexivitu.

Pokud opatření μ na S je sigma-konečný, pak dvojí L¹(μ) je izometricky izomorfní s L^∞(μ) (přesněji mapa κ₁ souhlasí s str = 1 je izometrie z L^∞(μ) na L¹(μ)^∗).

Dvojí L^∞ je jemnější. Prvky L^∞(μ)^∗ lze identifikovat ohraničeným znaménkem konečně doplňková opatření na S to jsou absolutně kontinuální s ohledem na μ. Vidět ba prostor Více podrobností. Pokud předpokládáme axiom výběru, je tento prostor mnohem větší než L¹(μ) s výjimkou některých triviálních případů. Nicméně, Saharon Shelah prokázal, že existují relativně konzistentní rozšíření Teorie množin Zermelo – Fraenkel (ZF + DC + "Každá podmnožina reálných čísel má Vlastnost Baire "), ve kterém duální z ℓ^∞ je ℓ¹.^[5]

Vkládání

Hovorově, pokud 1 ≤ str < q ≤ ∞, pak L^str(S, μ) obsahuje funkce, které jsou více lokálně singulární, zatímco prvky L^q(S, μ) lze rozšířit. Zvažte Lebesgueovo opatření na půlčísli (0, ∞). Kontinuální funkce v L¹ může vybuchnout blízko 0 ale musí se dostatečně rychle rozpadat směrem k nekonečnu. Na druhou stranu kontinuální funkce v L^∞ nemusí se rozpadat vůbec, ale není povoleno žádné nafouknutí. Přesný technický výsledek je následující.^[6] Předpokládejme to 0 < str < q ≤ ∞. Pak:

1. L^q(S, μ) ⊂ L^str(S, μ) iff S neobsahuje sady konečných, ale libovolně velkých měr, a
2. L^str(S, μ) ⊂ L^q(S, μ) iff S neobsahuje sady nenulové, ale libovolně malé míry.

Ani jedna podmínka neplatí pro skutečnou linii s Lebesgueovým měřítkem. V obou případech je vkládání spojité, protože operátor identity je ohraničená lineární mapa zL^q na L^str v prvním případě a L^str na L^q ve druhém. (Je to důsledek věta o uzavřeném grafu a vlastnosti L^str mezery.) Ve skutečnosti, pokud je doména S má konečnou míru, lze provést následující explicitní výpočet pomocí Hölderova nerovnost

${ displaystyle | mathbf {1} f ^ {p} | _ {1} leq | mathbf {1} | _ {q / (qp)} | f ^ {p} | _ {q / p}}$

vedoucí k

${ displaystyle | f | _ {p} leq mu (S) ^ {1 / p-1 / q} | f | _ {q}}$.

Konstanta objevující se ve výše uvedené nerovnosti je optimální v tom smyslu, že norma operátora identity Já : L^q(S, μ) → L^str(S, μ) je přesně

${ displaystyle | I | _ {q, p} = mu (S) ^ {1 / p-1 / q}}$

v případě dosažení rovnosti přesně tehdy  F  = 1 μ-a.e.

Husté podprostory

V této části předpokládáme, že: 1 ≤ str < ∞.

Nechat (S, Σ, μ) být měřítkem prostoru. An integrovatelná jednoduchá funkce  F  na S je jednou z forem

${ displaystyle f = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} mathbf {1} _ {A_ {j}}}$

kde A_j je skalární, A_j ∈ Σ má konečnou míru a ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {A_ {j}}}$ je funkce indikátoru sady ${ displaystyle A_ {j}}$, pro j = 1, ..., n. Stavbou integrální, je vektorový prostor integrovatelných jednoduchých funkcí hustý L^str(S, Σ, μ).

Více lze říci kdy S je normální topologický prostor a Σ své Borel σ-algebra, tj. nejmenší σ–Algebra podmnožin S obsahující otevřené sady.

Předpokládat PROTI ⊂ S je otevřená sada s μ(PROTI) < ∞. Je dokázáno, že pro každou sadu Borel A ∈ Σ obsaženo v PROTIa pro každého ε > 0, existuje uzavřená množina F a otevřená sada U takhle

${ Displaystyle F podmnožina A podmnožina U podmnožina V quad { text {a}} quad mu (U) - mu (F) = mu (U setminus F) < varepsilon}$

Z toho vyplývá, že existuje kontinuita Urysohn funkce 0 ≤ φ ≤ 1 na S to je 1 na F a 0 na S ∖ U, s

${ displaystyle int _ {S} | mathbf {1} _ {A} - varphi | , mathrm {d} mu < varepsilon .}$

Li S může být pokryta rostoucí sekvencí (PROTI_n) otevřených množin, které mají konečnou míru, pak prostor o str–Integrovatelné spojité funkce jsou husté L^str(S, Σ, μ). Přesněji lze použít omezené spojité funkce, které zmizí mimo jednu z otevřených množin PROTI_n.

To platí zejména, když S = R^d a kdy μ je Lebesgueovým opatřením. Prostor nepřetržitých a kompaktně podporovaných funkcí je hustý L^str(R^d). Podobně prostor integrovatelný krokové funkce je hustá v L^str(R^d); tento prostor je lineární rozpětí indikátorových funkcí ohraničených intervalů, když d = 1, ohraničených obdélníků, když d = 2 a obecněji produktů omezených intervalů.

Několik vlastností obecných funkcí v L^str(R^d) jsou nejprve ověřeny pro spojité a kompaktně podporované funkce (někdy pro krokové funkce), poté jsou rozšířeny hustotou na všechny funkce. Například je prokázáno, že překlady jsou průběžné L^str(R^d), v následujícím smyslu:

${ displaystyle forall f in L ^ {p} ( mathbf {R} ^ {d}): qquad left | tau _ {t} ff right | _ {p} na 0, quad { text {as}} mathbf {R} ^ {d} ni t na 0,}$

kde

${ displaystyle ( tau _ {t} f) (x) = f (x-t).}$

L^str (0 < str < 1)

Nechat (S, Σ, μ) být měřítkem prostoru. Li 0 < str < 1, pak L^str(μ) lze definovat jak je uvedeno výše: je to vektorový prostor těchto měřitelných funkcí  F  takhle

${ displaystyle N_ {p} (f) = int _ {S} | f | ^ {p} , d mu < infty.}$

Stejně jako dříve můžeme představit str-norma || F ||_str = N_str( F )^1/str, ale || · ||_str nesplňuje v tomto případě nerovnost trojúhelníku a definuje pouze a kvazi-norma. Nerovnost (A + b)^str ≤ A ^str + b ^str, platný pro A, b ≥ 0 znamená, že (Rudin 1991, §1.47)

${ displaystyle N_ {p} (f + g) leq N_ {p} (f) + N_ {p} (g)}$

a tak funkce

${ displaystyle d_ {p} (f, g) = N_ {p} (f-g) = | f-g | _ {p} ^ {p}}$

je metrika L^str(μ). Výsledný metrický prostor je kompletní; ověření je podobné známému případu, kdy str ≥ 1.

V tomto nastavení L^str uspokojuje a zvrátit Minkowského nerovnost, to je pro u, proti v L^str

${ displaystyle || u | + | v | | _ {p} geq | u | _ {p} + | v | _ {p}}$

Tento výsledek lze použít k prokázání Clarksonovy nerovnosti, které se zase používají k založení jednotná konvexnost mezer L^str pro 1 < str < ∞ (Adams & Fournier 2003 ).

Prostor L^str pro 0 < str < 1 je F-prostor: připouští úplnou metodu invariantního překladu, vzhledem k níž jsou operace ve vektorovém prostoru spojité. Je to také místně ohraničený, podobně jako případ str ≥ 1. Jedná se o prototypický příklad F-prostor to pro nejrozumnější měřicí prostory není lokálně konvexní: v ℓ ^str nebo L^str([0, 1]), každá otevřená konvexní sada obsahující 0 funkce je neomezená pro str-kvazi-norma; proto 0 vektor nemá základní systém konvexních čtvrtí. Konkrétně to platí, pokud se měří prostor S obsahuje nekonečnou rodinu disjunktních měřitelných sad konečné pozitivní míry.

Jediný neprázdný konvexní otevřený set L^str([0, 1]) je celý prostor (Rudin 1991, §1.47). Ve zvláštním důsledku nejsou zapnuty žádné nenulové lineární funkcionály L^str([0, 1]): duální prostor je nulový prostor. V případě počítání opatření na přirozených číslech (vytváření prostoru sekvence L^str(μ) = ℓ ^str), ohraničené lineární funkcionály na ℓ ^str jsou přesně ty, na které jsou vázány ℓ¹, jmenovitě ty, které jsou dány sekvencemi v ℓ^∞. Ačkoli ℓ ^str obsahuje netriviální konvexní otevřené množiny, nedokáže je mít dostatek, aby poskytl základ pro topologii.

Situace bez lineárních funkcionálů je pro účely analýzy velmi nežádoucí. V případě opatření Lebesgue dne Rⁿ, spíše než pracovat s L^str pro 0 < str < 1, je běžné pracovat s Hardy prostor H ^str kdykoli je to možné, protože má několik lineárních funkcionálů: dost na to, aby se body od sebe odlišily. Nicméně Hahnova – Banachova věta stále selže H ^str pro str < 1 (Duren 1970, §7.5).

L⁰, prostor měřitelných funkcí

Vektorový prostor (tříd ekvivalence) měřitelných funkcí (S, Σ, μ) je označen L⁰(S, Σ, μ) (Kalton, Peck & Roberts 1984 ). Podle definice obsahuje všechny L^stra je vybaven topologií konvergence v míře. Když μ je míra pravděpodobnosti (tj. μ(S) = 1), je tento režim konvergence pojmenován konvergence v pravděpodobnosti.

Popis je snazší, když μ je konečný. Li μ je konečné opatření na (S, Σ), 0 funkce připouští pro konvergenci v měření následující základní systém sousedství

${ displaystyle V _ { varepsilon} = { Bigl {} f: mu { bigl (} {x: | f (x) |> varepsilon } { bigr)} < varepsilon { Bigr }}, qquad varepsilon> 0}$

Topologii lze definovat jakoukoli metrikou d formuláře

${ displaystyle d (f, g) = int _ {S} varphi { bigl (} | f (x) -g (x) | { bigr)} , mathrm {d} mu (x )}$

kde φ je ohraničená spojitá konkávní a neklesající dále [0, ∞), s φ(0) = 0 a φ(t) > 0 když t > 0 (například, φ(t) = min (t, 1)). Taková metrika se nazývá Lévy -metrické pro L⁰. Pod touto metrikou prostor L⁰ je kompletní (je to opět F-prostor). Prostor L⁰ obecně není místně ohraničený a není místně konvexní.

Pro nekonečnou Lebesgueovu míru λ na Rⁿ, definici základního systému čtvrtí lze upravit následovně

${ displaystyle W _ { varepsilon} = left {f: lambda left ( left {x: | f (x) |> varepsilon { text {and}} | x | <{ frac { 1} { varepsilon}} doprava } doprava) < varepsilon doprava }}$

Výsledný prostor L⁰(Rⁿ, λ) se shoduje jako topologický vektorový prostor s L⁰(Rⁿ, G(X) dλ(X)), pro všechny pozitivní λ–Integrovatelná hustota G.

Zobecnění a rozšíření

Slabý L^str

Nechat (S, Σ, μ) být měřítkem prostoru a F A měřitelná funkce se skutečnými nebo komplexními hodnotami S. The distribuční funkce z F je definováno pro t > 0 podle

${ displaystyle lambda _ {f} (t) = mu vlevo {x v S: | f (x) |> t vpravo }}$

Li F je v L^str(S, μ) pro některé str s 1 ≤ str < ∞, poté Markovova nerovnost,

${ displaystyle lambda _ {f} (t) leq { frac { | f | _ {p} ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

Funkce F se říká, že je v prostoru slabý L^str(S, μ)nebo L^str,w(S, μ), pokud existuje konstanta C > 0 takové, že pro všechny t > 0,

${ displaystyle lambda _ {f} (t) leq { frac {C ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

Nejlepší konstanta C protože tato nerovnost je L^str,w-norm F, a je označen

${ displaystyle | f | _ {p, w} = sup _ {t> 0} ~ t lambda _ {f} ^ {1 / p} (t).}$

Slabí L^str shodovat s Lorentzovy prostory L^str,∞, takže tato notace se také používá k jejich označení.

The L^str,w-norm není skutečná norma, protože nerovnost trojúhelníku nedokáže držet. Nicméně pro F v L^str(S, μ),

${ displaystyle | f | _ {p, w} leq | f | _ {p}}$

a zejména L^str(S, μ) ⊂ L^str,w(S, μ).

Ve skutečnosti jeden má

${ displaystyle | f | _ {L ^ {p}} ^ {p} = int | f (x) | ^ {p} d mu (x) geq int _ { {| f ( x) |> t }} t ^ {p} + int _ { {| f (x) | leq t }} | f | ^ {p} geq t ^ {p} mu ( {| f |> t })}$,

a pozvednutí k moci 1/str a převzít nadvládu t jeden má

${ displaystyle | f | _ {L ^ {p}} geq sup _ {t> 0} t ; mu ( {| f |> t }) ​​^ {1 / p} = | f | _ {L ^ {p, w}}.}$

Podle konvence jsou dvě funkce stejné, pokud jsou stejné μ téměř všude, pak mezery L^str,w jsou kompletní (Grafakos 2004 ).

Pro všechny 0 < r < str výraz

${ displaystyle ||| f ||| _ {L ^ {p, infty}} = sup _ {0 < mu (E) < infty} mu (E) ^ {- 1 / r + 1 / p} left ( int _ {E} | f | ^ {r} , d mu right) ^ {1 / r}}$

je srovnatelná s L^str,w-norma. Dále v případě str > 1, tento výraz definuje normu, pokud r = 1. Proto pro str > 1 slabé L^str mezery jsou Banachovy prostory (Grafakos 2004 ).

Hlavní výsledek, který využívá L^str,w-spaces je Marcinkiewiczova interpolační věta, který má široké použití pro harmonická analýza a studium singulární integrály.

Vážený L^str mezery

Stejně jako dříve zvažte a změřte prostor (S, Σ, μ). Nechat w : S → [0, ∞) být měřitelná funkce. The w-vážený L^str prostor je definován jako L^str(S, w dμ), kde w dμ znamená opatření ν definován

${ displaystyle nu (A) equiv int _ {A} w (x) , mathrm {d} mu (x), qquad A v Sigma,}$

nebo, pokud jde o Derivát Radon – Nikodym, w = dν/dμ  the norma pro L^str(S, w dμ) je výslovně

${ displaystyle | u | _ {L ^ {p} (S, w , mathrm {d} mu)} equiv left ( int _ {S} w (x) | u (x) | ^ {p} , mathrm {d} mu (x) vpravo) ^ {1 / p}}$

Tak jako L^str-prostory, vážené prostory nemají nic zvláštního, protože L^str(S, w dμ) je rovný L^str(S, dν). Jsou však přirozeným rámcem pro několik výsledků harmonické analýzy (Grafakos 2004 ); objevují se například v Muckenhouptova věta: pro 1 < str < ∞, klasický Hilbertova transformace je definováno na L^str(T, λ) kde T označuje jednotkový kruh a λ Lebesgueovo opatření; (nelineární) Hardy – Littlewood maximální operátor je omezen na L^str(Rⁿ, λ). Muckenhouptova věta popisuje váhy w tak, aby Hilbertova transformace zůstala vázána L^str(T, w dλ) a maximální operátor zapnutý L^str(Rⁿ, w dλ).

L^str mezery na potrubích

Lze také definovat mezery L^str(M) na potrubí, nazývaném vnitřní L^str mezery potrubí, pomocí hustoty.

S vektorovou hodnotou L^str mezery

Vzhledem k míře prostoru (X, Σ, μ) a lokálně konvexní prostor E, jeden může také definovat mezery str- integrovatelné funkce s hodnotou E mnoha způsoby. Nejběžnější z nich jsou prostory Bochner integrovatelný a Pettis integrovatelný funkce. Za použití tenzorový produkt z lokálně konvexních prostorů je lze definovat jako ${ Displaystyle L _ { mu} ^ {p} vlevo (X, Sigma, mu vpravo) krát _ { pi} E}$ a ${ displaystyle L _ { mu} ^ {p} left (X, Sigma, mu right) otimes _ { epsilon} E}$; kde ${ displaystyle otimes _ { pi}}$ a ${ displaystyle otimes _ { epsilon}}$respektive označují projektivní a injektivní tenzorové produkty lokálně konvexních prostorů. Když E je jaderný prostor, Grothendieck ukázal, že tyto dvě konstrukce jsou k nerozeznání.

Viz také

Poznámky

Reference

• Adams, Robert A .; Fournier, John F. (2003), Sobolevovy prostory (Second ed.), Academic Press, ISBN  978-0-12-044143-3.
• Bourbaki, Nicolasi (1987), Topologické vektorové prostory, Matematické prvky, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13627-9.
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Skutečná analýza, Birkhäuser, ISBN  3-7643-4231-5.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Lineární operátory, svazek I, Wiley-Interscience.
• Duren, P. (1970), Teorie H^str-Prostory, New York: Academic Press
• Grafakos, Loukas (2004), Klasická a moderní Fourierova analýza, Pearson Education, Inc., s. 253–257, ISBN  0-13-035399-X.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reálná a abstraktní analýza, Springer-Verlag.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), Vzorkovač prostoru F, Série přednášek London Mathematical Society, 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017 / CBO9780511662447, ISBN  0-521-27585-7, PAN  0808777
• Riesz, Frigyes (1910), „Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen“, Mathematische Annalen, 69 (4): 449–497, doi:10.1007 / BF01457637, S2CID  120242933
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Rudin, Walter (1987), Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.), New York: McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054234-1, PAN  0924157
• Titchmarsh, EC (1976), Teorie funkcí, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853349-8

externí odkazy

• "Lebesgueův prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Důkaz toho L^str prostory jsou kompletní