Téměř všude - Almost everywhere

Jednoduchý příklad opatření se přiřadí do podoblasti obdélník zlomek geometrického plocha zabírá. Potom obdélník hranice má míru 0, zatímco její vnitřek má míru 1. Téměř každý bod obdélníku je vnitřní bod, přesto je interiér prázdný doplněk.

v teorie míry (pobočka matematická analýza ), majetek drží téměř všude pokud v technickém smyslu sada, pro kterou nemovitost drží, zabírá téměř všechny možnosti. Pojem „téměř všude“ je doprovodným pojmem pojmu změřit nulu, a je analogický pojmu téměř jistě v teorie pravděpodobnosti.

Přesněji řečeno, vlastnost platí téměř všude, pokud platí pro všechny prvky v sadě kromě podmnožiny míry nula,^[1]^[2]^[3] nebo ekvivalentně, pokud je sada prvků, pro které je vlastnost držena conull. V případech, kdy opatření není kompletní, stačí, aby byl soubor obsažen v sadě nulové míry. Když diskutujeme o sadách reálná čísla, Lebesgueovo opatření se obvykle předpokládá, pokud není uvedeno jinak.

Termín téměř všude je zkrácen a.e.;^[4] ve starší literatuře p.p. se používá k označení ekvivalentu Francouzský jazyk fráze předtisková část.^[5]

Sada s plná míra je ten, jehož doplněk má míru nula. V teorii pravděpodobnosti pojmy téměř jistě, skoro jistý a Skoro pořád odkazují na Události s pravděpodobnost 1 nemusí nutně zahrnovat všechny výsledky.^[1] Jedná se přesně o množiny plné míry v prostoru pravděpodobnosti.

Místo toho, aby se říkalo, že nemovitost platí téměř všude, se občas říká, že nemovitost platí pro téměř všechny prvky (ačkoli termín téměř všechny může mít i jiné významy).

Definice

Li ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ je změřte prostor vlastnost ${ displaystyle P}$ se říká, že drží téměř všude ${ displaystyle X}$ pokud existuje sada ${ displaystyle N in Sigma}$ s ${ displaystyle mu (N) = 0}$ , a všechno ${ displaystyle x v X setminus N}$ mít majetek ${ displaystyle P}$ .^[6] Dalším běžným způsobem vyjádření stejné věci je říci, že „téměř každý bod uspokojuje ${ displaystyle P ,}$ „nebo tak“ téměř pro každého ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle P (x)}$ drží ".

to je ne požadoval, aby sada ${ displaystyle {x v X: neg P (x) }}$ má míru 0; nemusí patřit ${ displaystyle Sigma}$ . Podle výše uvedené definice to stačí ${ displaystyle {x v X: neg P (x) }}$ být obsažen v nějaké sadě ${ displaystyle N}$ to je měřitelné a má míru 0.

Vlastnosti

Pokud vlastnost ${ displaystyle P}$ drží téměř všude a znamená majetek ${ displaystyle Q}$ , pak vlastnost ${ displaystyle Q}$ drží téměř všude. To vyplývá z monotónnost opatření.
Li ${ displaystyle (P_ {n})}$ je konečná nebo spočetná posloupnost vlastností, z nichž každá platí téměř všude, pak jejich konjunkce ${ displaystyle forall nP_ {n}}$ drží téměř všude. To vyplývá z spočítatelná subaditivita opatření.
Naopak, pokud ${ displaystyle (P_ {x}) _ {x in mathbf {R}}}$ je nespočetná rodina vlastností, z nichž každá platí téměř všude, pak jejich spojení ${ displaystyle forall xP_ {x}}$ nemusí nutně platit téměř všude. Například pokud ${ displaystyle mu}$ je opatření Lebesgue ${ displaystyle X = mathbf {R}}$ a ${ displaystyle P_ {x}}$ je vlastnost, že se nerovná ${ displaystyle x}$ (tj. ${ displaystyle P_ {x} (y)}$ je pravda právě tehdy ${ displaystyle y neq x}$ ), pak každý ${ displaystyle P_ {x}}$ drží téměř všude, ale spojení ${ displaystyle celkem xP_ {x}}$ nikde nedrží.

V důsledku prvních dvou vlastností je často možné uvažovat o „téměř každém bodě“ prostoru míry, jako by to byl spíše obyčejný bod než abstrakce.^{[Citace je zapotřebí ]} To se často provádí implicitně v neformálních matematických argumentech. S tímto způsobem uvažování však musíme být opatrní kvůli třetí odrážce výše: univerzální kvantifikace přes nespočetné rodiny příkazů je platná pro běžné body, ale ne pro „téměř každý bod“.

Příklady

Li F : R → R je Lebesgue integrovatelný funkce a ${ displaystyle f (x) geq 0}$ tedy téměř všude
${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx geq 0}$
pro všechna reálná čísla ${ displaystyle a$ s rovností kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f (x) = 0}$ téměř všude.
Li F : [A, b] → R je monotónní funkce, pak F je rozlišitelný téměř všude.
Li F : R → R je Lebesgue měřitelný a
${ displaystyle int _ {a} ^ {b} | f (x) | , dx < infty}$
pro všechna reálná čísla ${ displaystyle a$ , pak existuje sada E (záleží na F) takové, že pokud X je v Eznamená Lebesgue
${ displaystyle { frac {1} {2 epsilon}} int _ {x- epsilon} ^ {x + epsilon} f (t) , dt}$
konverguje k F(X) tak jako ${ displaystyle epsilon}$ klesá na nulu. Sada E se nazývá Lebesgueova množina F. Lze prokázat, že jeho doplněk má nulu. Jinými slovy, Lebesgue znamená F konverguje k F téměř všude.
Ohraničený funkce F : [A, b] → R je Riemann integrovatelný právě když je kontinuální téměř všude.
Zajímavostí je, že desítkové rozšíření téměř každého reálného čísla v intervalu [0, 1] obsahuje celý text Shakespearovy hry zakódováno ASCII; podobně pro každou další posloupnost konečných číslic viz Normální číslo.

Definice pomocí ultrafiltrů

Mimo kontext skutečné analýzy je pojem vlastnosti platný téměř všude někdy definován jako ultrafiltr. Ultrafiltr na sadě X je maximální kolekce F podskupin X takové, že:

Li U ∈ F a U ⊆ PROTI pak PROTI ∈ F
Průnik dvou libovolných sad F je v F
Prázdná sada není v F

Vlastnost P bodů v X drží téměř všude, relativně k ultrafiltru F, pokud množina bodů, pro které P chyt je v F.

Například jedna konstrukce hyperrealistické číslo systém definuje hyperrealistické číslo jako třídu ekvivalence sekvencí, které jsou téměř všude stejné, jak je definováno ultrafiltrem.

Definice téměř všude pokud jde o ultrafiltry, úzce souvisí s definicí, pokud jde o míry, protože každý ultrafiltr definuje konečně aditivní měřítko, které bere pouze hodnoty 0 a 1, přičemž sada má míru 1 právě tehdy, když je zahrnuta do ultrafiltru.

Viz také

Dirichletova funkce, funkce, která je téměř všude rovna 0.

Reference

^ ^A ^b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - téměř“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-19.
^ Weisstein, Eric W. „Téměř všude“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-19.
^ Halmos, Paul R. (1974). Teorie měření. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.
^ "Definice téměř všude | Dictionary.com". www.dictionary.com. Citováno 2019-11-19.
^ Ursell, H. D. (01.01.1932). „Ke konvergenci téměř všude u Rademacherovy série a u Bochnerfejérových součtů funkce téměř periodické ve smyslu Stepanoffa“. Proceedings of the London Mathematical Society. s2-33 (1): 457–466. doi:10.1112 / plms / s2-33.1.457. ISSN 0024-6115.
^ „Vlastnosti, které drží téměř všude - Mathonline“. mathonline.wikidot.com. Citováno 2019-11-19.

Bibliografie

Billingsley, Patrick (1995). Pravděpodobnost a míra (3. vyd.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.

[:0-1] A ^b „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - téměř“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-19.

[2] Weisstein, Eric W. „Téměř všude“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-19.

[3] Halmos, Paul R. (1974). Teorie měření. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8.

[4] "Definice téměř všude | Dictionary.com". www.dictionary.com. Citováno 2019-11-19.

[5] Ursell, H. D. (01.01.1932). „Ke konvergenci téměř všude u Rademacherovy série a u Bochnerfejérových součtů funkce téměř periodické ve smyslu Stepanoffa“. Proceedings of the London Mathematical Society. s2-33 (1): 457–466. doi:10.1112 / plms / s2-33.1.457. ISSN 0024-6115.

[6] „Vlastnosti, které drží téměř všude - Mathonline“. mathonline.wikidot.com. Citováno 2019-11-19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]