Gompertzova distribuce - Gompertz distribution - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosinec 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Gompertzova distribuce

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	tvar ${ displaystyle eta> 0 , !}$, měřítko ${ displaystyle b> 0 , !}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty) !}$
PDF	${ Displaystyle b eta exp left ( eta + bx- eta e ^ {bx} right)}$
CDF	${ Displaystyle 1- exp left (- eta left (e ^ {bx} -1 right) right)}$
Znamenat	${ displaystyle (1 / b) e ^ { eta} { text {Ei}} levý (- eta pravý)}$ ${ displaystyle { text {kde Ei}} left (z right) = int limity _ {- z} ^ { infty} left (e ^ {- v} / v right) dv}$
Medián	${ Displaystyle left (1 / b right) ln left [ left (-1 / eta right) ln left (1/2 right) +1 right]}$
Režim	${ displaystyle = left (1 / b right) ln left (1 / eta right) }$ ${ displaystyle { text {with}} 0 <{ text {F}} vlevo (x ^ {*} vpravo) <1-e ^ {- 1} = 0,632121,0 < eta <1}$ ${ displaystyle = 0, quad eta geq 1}$
Rozptyl	${ displaystyle left (1 / b right) ^ {2} e ^ { eta} {- 2 eta {} _ {3} { text {F}} _ {3} left (1 , 1,1; 2,2,2; - eta vpravo) + gamma ^ {2}}$${ displaystyle + left ( pi ^ {2} / 6 right) +2 gamma ln left ( eta right) + [ ln left ( eta right)] ^ {2} - e ^ { eta} [{ text {Ei}} vlevo (- eta vpravo)] ^ {2} }}$ ${ displaystyle { begin {aligned} { text {where}} & gamma { text {je Eulerova konstanta:}} , ! & gamma = - psi left (1 right) = { text {0,577215 ...}} end {zarovnáno}}}$${ displaystyle { begin {aligned} { text {and}} {} _ {3} { text {F}} _ {3} & left (1,1,1; 2,2,2; - z right) = & sum _ {k = 0} ^ { infty} left [1 / left (k + 1 right) ^ {3} right] left (-1 right) ^ {k} vlevo (z ^ {k} / k! vpravo) end {zarovnáno}}}$
MGF	${ displaystyle { text {E}} vlevo (e ^ {- tx} vpravo) = eta e ^ { eta} { text {E}} _ {t / b} vlevo ( eta že jo)}$ ${ displaystyle { text {s E}} _ {t / b} left ( eta right) = int _ {1} ^ { infty} e ^ {- eta v} v ^ {- t / b} dv, t> 0}$

v pravděpodobnost a statistika, Gompertzova distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti, pojmenoval podle Benjamin Gompertz. Gompertzova distribuce se často používá k popisu distribuce délky života dospělých podle demografové^[1][2] a pojistní matematici.^[3][4] Související obory vědy, jako je biologie^[5] a gerontologie^[6] také zvažoval Gompertzovo rozdělení pro analýzu přežití. V poslední době také počítačoví vědci začali modelovat poruchovost počítačového kódu podle Gompertzovy distribuce.^[7] V marketingové vědě se používá jako simulace na individuální úrovni pro celoživotní hodnota zákazníka modelování.^[8] v teorie sítí, zejména Erdős – Rényiho model, délka chůze náhodného samoobslužná chůze (SAW) je distribuován podle distribuce Gompertz.^[9]

Specifikace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti distribuce Gompertz je:

${ displaystyle f left (x; eta, b right) = b eta exp left ( eta + bx- eta e ^ {bx} right) { text {for}} x geq 0, ,}$

kde ${ displaystyle b> 0 , !}$ je parametr měřítka a ${ displaystyle eta> 0 , !}$ je parametr tvaru Gompertzovy distribuce. V pojistněmatematických a biologických vědách a v demografii je Gompertzovo rozdělení parametrizováno mírně odlišně (Gompertz – Makehamův zákon smrtelnosti ).

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce distribuce Gompertz je:

${ displaystyle F left (x; eta, b right) = 1- exp left (- eta left (e ^ {bx} -1 right) right),}$

kde ${ displaystyle eta, b> 0,}$ a ${ displaystyle x geq 0 ,.}$

Funkce generování momentů

Funkce generující moment je:

${ displaystyle { text {E}} vlevo (e ^ {- tX} vpravo) = eta e ^ { eta} { text {E}} _ {t / b} vlevo ( eta že jo)}$

kde

${ displaystyle { text {E}} _ {t / b} left ( eta right) = int _ {1} ^ { infty} e ^ {- eta v} v ^ {- t / b} dv, t> 0.}$

Vlastnosti

Distribuce Gompertz je flexibilní distribuce, kterou lze zkosit doprava a doleva. Své nebezpečná funkce ${ displaystyle h (x) = eta být ^ {bx}}$ je konvexní funkce ${ displaystyle F left (x; eta, b right)}$. Tento model lze zařadit do paradigmatu imitace inovace pomocí ${ displaystyle p = eta b}$ jako koeficient inovace a ${ displaystyle b}$ jako koeficient imitace. Když ${ displaystyle t}$ se zvětší, ${ displaystyle z (t)}$ přístupy ${ displaystyle infty}$. Model může také patřit k paradigmatu sklonu k adopci s ${ displaystyle eta}$ jako sklon k adopci a ${ displaystyle b}$ jako celková přitažlivost nové nabídky.

Tvary

Funkce hustoty Gompertz může nabývat různých tvarů v závislosti na hodnotách parametru tvaru ${ displaystyle eta , !}$:

• Když ${ displaystyle eta geq 1, ,}$ funkce hustoty pravděpodobnosti má svůj režim na 0.
• Když ${ displaystyle 0 < eta <1, ,}$ funkce hustoty pravděpodobnosti má svůj režim na

${ displaystyle x ^ {*} = left (1 / b right) ln left (1 / eta right) { text {with}} 0$

Kullback-Leiblerova divergence

Li ${ displaystyle f_ {1}}$ a ${ displaystyle f_ {2}}$ jsou funkce hustoty pravděpodobnosti dvou Gompertzových distribucí, pak jejich Kullback-Leiblerova divergence darováno

${ displaystyle { begin {aligned} D_ {KL} (f_ {1} paralelní f_ {2}) & = int _ {0} ^ { infty} f_ {1} (x; b_ {1}, eta _ {1}) , ln { frac {f_ {1} (x; b_ {1}, eta _ {1})} {f_ {2} (x; b_ {2}, eta _ {2})}} dx & = ln { frac {e ^ { eta _ {1}} , b_ {1} , eta _ {1}} {e ^ { eta _ {2}} , b_ {2} , eta _ {2}}} + e ^ { eta _ {1}} left [ left ({ frac {b_ {2}} {b_ {1 }}} - 1 vpravo) , operatorname {Ei} (- eta _ {1}) + { frac { eta _ {2}} { eta _ {1} ^ { frac {b_ { 2}} {b_ {1}}}}}} , Gamma vlevo ({ frac {b_ {2}} {b_ {1}}} + 1, eta _ {1} vpravo) vpravo] - ( eta _ {1} +1) end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle operatorname {Ei} ( cdot)}$ označuje exponenciální integrál a ${ displaystyle Gamma ( cdot, cdot)}$ je horní neúplná funkce gama.^[10]

Související distribuce

• Li X je definován jako výsledek odběru vzorků z a Gumbelova distribuce do záporné hodnoty Y je vyrobeno a nastavení X=−Y, pak X má distribuci Gompertz.
• The gama distribuce je přirozený před konjugátem na Gompertzovu pravděpodobnost se známým parametrem měřítka ${ displaystyle b , !.}$^[8]
• Když ${ displaystyle eta , !}$ se liší podle a gama distribuce s tvarovým parametrem ${ displaystyle alpha , !}$ a měřítko parametru ${ displaystyle beta , !}$ (průměr = ${ displaystyle alpha / beta , !}$), distribuce ${ displaystyle x}$ je Gamma / Gompertz.^[8]

Distribuce Gompertz přizpůsobená maximálním měsíčním 1denním srážkám ^[11]

Aplikace

• v hydrologie distribuce Gompertz se aplikuje na extrémní události, jako jsou roční maximální jednodenní srážky a vypouštění řek. Modrý obrázek ilustruje příklad přizpůsobení distribuce Gompertz ročně maximálním jednodenním srážkám, přičemž ukazuje také 90% pás spolehlivosti založeno na binomická distribuce. Údaje o srážkách jsou reprezentovány vykreslování pozic jako součást kumulativní frekvenční analýza.

Viz také

• Gompertz-Makehamův zákon úmrtnosti
• Funkce Gompertz
• Celoživotní hodnota zákazníka
• Distribuce Gamma Gompertz

Poznámky

Reference

• Bemmaor, Albert C .; Glady, Nicolas (2011). „Implementace modelu Gamma / Gompertz / NBD v MATLABu“ (PDF). Cergy-Pontoise: ESSEC Business School.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Gompertz, B. (1825). „O povaze funkce, která vyjadřuje zákon lidské úmrtnosti, a o novém způsobu určování hodnoty životních událostí“. Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 115: 513–583. doi:10.1098 / rstl.1825.0026. JSTOR  107756.
• Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Kontinuální jednorozměrné distribuce. 2 (2. vyd.). New York: John Wiley & Sons. s. 25–26. ISBN  0-471-58494-0.
• Sheikh, A. K .; Boah, J. K .; Younas, M. (1989). "Zkrácený model extrémní hodnoty pro spolehlivost potrubí". Spolehlivost a bezpečnost systému. 25 (1): 1–14. doi:10.1016/0951-8320(89)90020-3.