Noncentrální t-distribuce - Noncentral t-distribution

Noncentral Student's t

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	ν> 0 stupňů volnosti ${ displaystyle mu in Re , !}$ parametr necentrality
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in (- infty; + infty) , !}$
PDF	viz text
CDF	viz text
Znamenat	viz text
Režim	viz text
Rozptyl	viz text
Šikmost	viz text
Př. špičatost	viz text

The necentrální t-rozdělení zevšeobecňuje Studentské t-rozdělení používat parametr necentrality. Zatímco centrální rozdělení pravděpodobnosti popisuje, jak je statistika testu t je distribuováno, když je testovaný rozdíl nulový, necentrální distribuce popisuje jak t je distribuován, když je null false. To vede k jeho použití ve statistikách, zejména při výpočtu statistická síla. Necentrální t-distribuce je také známá jako jednotlivě necentrální t-distribuce a kromě svého primárního použití v statistická inference, se také používá v robustní modelování pro data.

Charakterizace

Li Z je normálně distribuováno náhodná proměnná s jednotkovou odchylkou a nulovým průměrem a PROTI je Chi-kvadrát distribuován náhodná proměnná s ν stupně svobody to je nezávislé na Z, pak

${ displaystyle T = { frac {Z + mu} { sqrt {V / nu}}}}$

je necentrální t-distribuovaná náhodná proměnná s ν stupni volnosti a parametr necentrality μ ≠ 0. Pamatujte, že parametr necentrality může být záporný.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce necentrálního t-distribuce s ν stupni volnosti a parametrem necentrality μ lze vyjádřit jako^[1]

${ displaystyle F _ { nu, mu} (x) = { begin {cases} { tilde {F}} _ { nu, mu} (x), & { mbox {if}} x geq 0; 1 - { tilde {F}} _ { nu, - mu} (x), & { mbox {if}} x <0, end {cases}}}$

kde

${ displaystyle { tilde {F}} _ { nu, mu} (x) = Phi (- mu) + { frac {1} {2}} součet _ {j = 0} ^ { infty} left [p_ {j} I_ {y} left (j + { frac {1} {2}}, { frac { nu} {2}} right) + q_ {j} I_ { y} left (j + 1, { frac { nu} {2}} right) right],}$

${ displaystyle I_ {y} , ! (a, b)}$ je legalizovaná neúplná beta funkce,

${ displaystyle y = { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + nu}},}$

${ displaystyle p_ {j} = { frac {1} {j!}} exp left {- { frac { mu ^ {2}} {2}} right } left ({ frac { mu ^ {2}} {2}} vpravo) ^ {j},}$

${ displaystyle q_ {j} = { frac { mu} {{ sqrt {2}} Gamma (j + 3/2)}} exp left {- { frac { mu ^ {2 }} {2}} doprava } doleva ({ frac { mu ^ {2}} {2}} doprava) ^ {j},}$

a Φ je kumulativní distribuční funkce standardní normální rozdělení.

Alternativně necentrální t-distribuce CDF může být vyjádřena jako^{[Citace je zapotřebí ]}:

${ displaystyle F_ {v, mu} (x) = { begin {cases} { frac {1} {2}} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {1} { j!}} (- mu { sqrt {2}}) ^ {j} e ^ { frac {- mu ^ {2}} {2}} { frac { Gamma ({ frac {j +1} {2}})} { sqrt { pi}}} I doleva ({ frac {v} {v + x ^ {2}}}; { frac {v} {2}}, { frac {j + 1} {2}} right), & x geq 0 1 - { frac {1} {2}} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {1} {j!}} (- mu { sqrt {2}}) ^ {j} e ^ { frac {- mu ^ {2}} {2}} { frac { Gamma ({ frac {j + 1} {2}})} { sqrt { pi}}} I left ({ frac {v} {v + x ^ {2}}}; { frac {v} { 2}}, { frac {j + 1} {2}} right), & x <0 end {cases}}}$

kde Γ je funkce gama a Já je legalizovaná neúplná beta funkce.

I když existují další formy funkce kumulativní distribuce, první formu uvedenou výše lze velmi snadno vyhodnotit rekurzivní výpočty.^[1] Ve statistickém softwaru R, funkce kumulativní distribuce je implementována jako pt.

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro necentrální t-distribuce s ν> 0 stupni volnosti a parametrem necentrality μ lze vyjádřit v několika formách.

The konfluentní hypergeometrická funkce forma funkce hustoty je

${ displaystyle f (x) = podprsenka {{ frac { Gamma ({ frac { nu +1} {2}})} {{ sqrt { nu pi}} Gamma ({ frac { nu} {2}})}} vlevo (1 + { frac {x ^ {2}} { nu}} vpravo) ^ {- { tfrac { nu +1} {2}} }} _ {{ text {StudentT}} (x ,; , mu = 0)} exp { big (} - { tfrac { mu ^ {2}} {2}} { big )} { Big {} A _ { nu} (x ,; , mu) + B _ { nu} (x ,; , mu) { Big }},}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} A _ { nu} (x ,; , mu) & = {_ {1} F} _ {1} left ({ frac { nu +1} { 2}} ,; , { frac {1} {2}} ,; , { frac { mu ^ {2} x ^ {2}} {2 (x ^ {2} + nu )}} vpravo), B _ { nu} (x ,; , mu) & = { frac {{ sqrt {2}} mu x} { sqrt {x ^ {2} + nu}}} { frac { Gamma ({ frac { nu} {2}} + 1)} { Gamma ({ frac { nu +1} {2}})}}} _ {1} F} _ {1} left ({ frac { nu} {2}} + 1 ,; , { frac {3} {2}} ,; , { frac { mu ^ {2} x ^ {2}} {2 (x ^ {2} + nu)}} vpravo), end {zarovnáno}}}$

a kde ₁F₁ je konfluentní hypergeometrická funkce.

Alternativní integrální forma je^[2]

${ displaystyle f (x) = { frac { nu ^ { frac { nu} {2}} exp left (- { frac { nu mu ^ {2}} {2 (x ^ {2} + nu)}} right)} {{ sqrt { pi}} Gamma ({ frac { nu} {2}}) 2 ^ { frac { nu -1} {2 }} (x ^ {2} + nu) ^ { frac { nu +1} {2}}}} int _ {0} ^ { infty} y ^ { nu} exp left ( - { frac {1} {2}} vlevo (y - { frac { mu x} { sqrt {x ^ {2} + nu}}} vpravo) ^ {2} vpravo) dy .}$

Třetí forma hustoty se získá pomocí jejích kumulativních distribučních funkcí následovně.

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac { nu} {x}} left {F _ { nu +2, mu} left (x { sqrt {1+ { frac {2} { nu}}}} right) -F _ { nu, mu} (x) right }, & { mbox {if}} x neq 0; { frac { Gamma ({ frac { nu +1} {2}})} {{ sqrt { pi nu}} Gamma ({ frac { nu} {2}})}} exp left (- { frac { mu ^ {2}} {2}} right), & { mbox {if}} x = 0. end {cases}}}$

Toto je přístup prováděný dt funkce v R.

Vlastnosti

Okamžiky noncentral t-rozdělení

Obecně platí, že ksurový okamžik noncentral t-distribuce je^[3]

${ displaystyle { mbox {E}} left [T ^ {k} right] = { begin {cases} left ({ frac { nu} {2}} right) ^ { frac { k} {2}} { frac { Gamma vlevo ({ frac { nu -k} {2}} vpravo)} { Gamma vlevo ({ frac { nu} {2}} vpravo)}} { mbox {exp}} vlevo (- { frac { mu ^ {2}} {2}} vpravo) { frac {d ^ {k}} {d mu ^ {k }}} { mbox {exp}} vlevo ({ frac { mu ^ {2}} {2}} vpravo), & { mbox {if}} nu> k; { mbox {Neexistuje}}, { mbox {if}} nu leq k. end {případy}}}$

Zejména průměr a rozptyl noncentral t-distribuce jsou

${ displaystyle { begin {aligned} { mbox {E}} left [T right] & = { begin {cases} mu { sqrt { frac { nu} {2}}} { frac { Gamma (( nu -1) / 2)} { Gamma ( nu / 2)}}, & { mbox {if}} nu> 1; { mbox {neexistuje} }, & { mbox {if}} nu leq 1, end {cases}} { mbox {Var}} left [T right] & = { begin {cases} { frac { nu (1+ mu ^ {2})} { nu -2}} - { frac { mu ^ {2} nu} {2}} vlevo ({ frac { Gamma ( ( nu -1) / 2)} { Gamma ( nu / 2)}} vpravo) ^ {2}, & { mbox {if}} nu> 2; { mbox {Ne existovat}}, & { mbox {if}} nu leq 2. end {cases}} end {aligned}}}$

Vynikající přiblížení k ${ displaystyle { sqrt { frac { nu} {2}}} { frac { Gamma (( nu -1) / 2)} { Gamma ( nu / 2)}}}$ je ${ displaystyle left (1 - { frac {3} {4 nu -1}} right) ^ {- 1}}$, které lze použít v obou vzorcích.

Asymetrie

Necentrální t-distribuce je asymetrická, pokud μ není nula, tj. střed t-rozdělení. Kromě toho se asymetrie zmenšuje, čím větší je t. Pravý ocas bude těžší než levý, když μ> 0, a naopak. Obvyklá šikmost však obecně není dobrým měřítkem asymetrie pro toto rozdělení, protože pokud stupně volnosti nejsou větší než 3, třetí okamžik vůbec neexistuje. I když jsou stupně volnosti větší než 3, je odhad vzorku šikmosti stále velmi nestabilní, pokud není velikost vzorku velmi velká.

Režim

Necentrální t-distribuce je vždy unimodální a ve tvaru zvonu, ale režim není analyticky dostupný, i když pro μ ≠ 0 máme^[4]

${ displaystyle { sqrt { frac { nu} { nu + (5/2)}}} <{ frac { mathrm {mode}} { mu}} <{ sqrt { frac { nu} { nu +1}}}}$

Zejména má režim vždy stejné znaménko jako parametr necentrality μ. Navíc zápor režimu je přesně režim pro necentral t-distribuce se stejným počtem stupňů volnosti ν, ale parametr noncentrality −μ.

Režim se přísně zvyšuje s μ (pohybuje se vždy ve stejném směru, v jakém je μ upraven). V limitu, když μ → 0, je režim aproximován o

${ displaystyle { sqrt { frac { nu} {2}}} { frac { Gamma vlevo ({ frac { nu +2} {2}} vpravo)} { Gamma vlevo ( { frac { nu +3} {2}} vpravo)}} mu; ,}$

a když μ → ∞, režim se přiblíží o

${ displaystyle { sqrt { frac { nu} { nu +1}}} mu.}$

Události

Použití při analýze výkonu

Předpokládejme, že máme nezávislý a identicky distribuovaný vzorek X₁, ..., X_n z nichž každý je normálně distribuován s průměrem θ a rozptylem σ², a máme zájem o testování nulová hypotéza θ = 0 vs. alternativní hypotéza θ ≠ 0. Můžeme provést a jeden vzorek t-test za použití statistika testu

${ displaystyle T = { frac { bar {X}} {{ hat { sigma}} / { sqrt {n}}}} = { frac {{ frac {{ bar {X}} - theta} {( sigma / { sqrt {n}})}} + { frac { theta} {( sigma / { sqrt {n}})}}} { sqrt { vlevo. left ({ frac {{ hat { sigma}} ^ {2}} { sigma ^ {2} / (n-1)}} right) right / (n-1)}}}}$

kde ${ displaystyle { bar {X}}}$ je průměr vzorku a ${ displaystyle { hat { sigma}} ^ {2} , !}$ je nezaujatý rozptyl vzorku. Vzhledem k tomu, že pravá strana druhé rovnosti přesně odpovídá charakteristice noncentral t-distribuce, jak je popsáno výše, T má noncentral t-distribuce s n−1 parametr volnosti a necentrality ${ displaystyle { sqrt {n}} theta / sigma , !}$.

Pokud zkušební postup kdykoli odmítne nulovou hypotézu ${ displaystyle | T |> t_ {1- alpha / 2} , !}$, kde ${ displaystyle t_ {1- alpha / 2} , !}$ je horní kvantil α / 2 z (centrální) Student t-rozdělení pro předem specifikované α ∈ (0, 1) je síla této zkoušky dána vztahem

${ displaystyle 1-F_ {n-1, { sqrt {n}} theta / sigma} (t_ {1- alpha / 2}) + F_ {n-1, { sqrt {n}} theta / sigma} (- t_ {1- alpha / 2}).}$

Podobné aplikace noncentral t-distribuci najdete v analýza výkonu obecné normální teorie lineární modely, který zahrnuje výše uvedené jeden vzorek t-test jako zvláštní případ.

Použití v tolerančních intervalech

Jednostranný normální toleranční intervaly mít přesné řešení, pokud jde o průměr vzorku a rozptyl vzorku založený na noncentral t-rozdělení.^[5] To umožňuje výpočet statistického intervalu, ve kterém s určitou úrovní spolehlivosti spadá specifikovaný podíl populace ve vzorku.

Související distribuce

• Centrální t-distribuce: centrální t-distribuci lze převést na a umístění /měřítko rodina. Tato rodina distribucí se používá při modelování dat k zachycení různých chování ocasu. Zobecnění umístění / měřítka ústředny t-distribuce je jiná distribuce než necentrální t-distribuce popsaná v tomto článku. Zejména tato aproximace nerespektuje asymetrii noncentral t-rozdělení. Nicméně, centrální t-distribuce může být použita jako aproximace k necentrálnímu t-rozdělení.^[6]
• Li T je necentrální t-distribuováno s ν stupni volnosti a parametry necentrality μ a F = T², pak F má necentrální F-rozdělení s 1 čitatelem stupně volnosti, ν jmenovatelem stupně volnosti a parametrem necentrality μ².
• Li T je necentrální t-distribuováno s ν stupni volnosti a parametry necentrality μ a ${ displaystyle Z = lim _ { nu rightarrow infty} T}$, pak Z má normální rozdělení se střední μ a jednotkovou odchylkou.
• Když jmenovatel parametr necentrality a dvojnásobně necentrální t-rozdělení je nula, pak se stane necentrálním t-rozdělení.

Speciální případy

• Když μ = 0, necentrální t-distribuce se stává centrální (studentský) t-rozdělení se stejnými stupni volnosti.

Viz také

• Noncentrální F-rozdělení

Reference

externí odkazy

• Eric W. Weisstein. „Noncentrální student t-Rozdělení." From MathWorld — A Wolfram Web Resource
• Vysoce přesný výpočet pro život nebo vědu .: Noncentral t-rozdělení Od společnosti Casio.