Kent distribuce - Kent distribution - Wikipedia

Ze sady Kent byly odebrány vzorky tří bodů. Střední směry jsou zobrazeny šipkami. The ${ displaystyle kappa ,}$ parametr je nejvyšší pro červenou sadu.

v směrová statistika, 5parametrové Fisher – Binghamovo rozdělení nebo Kent distribuce, pojmenoval podle Ronald Fisher, Christopher Bingham, a John T. Kent, je rozdělení pravděpodobnosti na dvourozměrné jednotce koule ${ displaystyle S ^ {2} ,}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ . Je to analogie na dvourozměrné jednotkové sféře bivariátu normální distribuce s neomezeným kovarianční matice. Distribuci Kent navrhl John T. Kent v roce 1982 a používá se v geologie stejně jako bioinformatika.

The funkce hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle f ( mathbf {x}) ,}$ distribuce v Kentu je dána:

${ displaystyle f ( mathbf {x}) = { frac {1} {{ textrm {c}} ( kappa, beta)}} exp { kappa { boldsymbol { gamma}} _ {1} ^ {T} cdot mathbf {x} + beta [({ boldsymbol { gamma}} _ {2} ^ {T} cdot mathbf {x}) ^ {2} - ({ boldsymbol { gamma}} _ {3} ^ {T} cdot mathbf {x}) ^ {2}] }}$

kde ${ displaystyle mathbf {x} ,}$ je trojrozměrný jednotkový vektor, ${ displaystyle (.) ^ {T}}$ označuje transpozici ${ displaystyle (.)}$a normalizační konstanta ${ displaystyle { textrm {c}} ( kappa, beta) ,}$ je:

${ displaystyle c ( kappa, beta) = 2 pi suma _ {j = 0} ^ { infty} { frac { gama (j + { frac {1} {2}})}} { Gamma (j + 1)}} beta ^ {2j} vlevo ({ frac {1} {2}} kappa vpravo) ^ {- 2j - { frac {1} {2}}} I_ { 2j + { frac {1} {2}}} ( kappa)}$

Kde ${ displaystyle I_ {v} ( kappa)}$ je upravená Besselova funkce a ${ displaystyle Gamma (.)}$ je funkce gama. Všimněte si, že ${ displaystyle c (0,0) = 4 pi}$ a ${ displaystyle c ( kappa, 0) = 4 pi ( kappa ^ {- 1}) sinh ( kappa)}$, normalizační konstanta Von Mises – Fisherova distribuce.

Parametr ${ displaystyle kappa ,}$ (s ${ displaystyle kappa> 0 ,}$ ) určuje koncentraci nebo šíření distribuce, zatímco ${ displaystyle beta ,}$ (s ${ displaystyle 0 leq 2 beta < kappa}$ ) určuje eliptičnost obrysů se stejnou pravděpodobností. Čím vyšší je ${ displaystyle kappa ,}$ a ${ displaystyle beta ,}$ parametrů bude distribuce koncentrovanější a eliptičtější. Vektor ${ displaystyle gamma _ {1} ,}$ je střední směr a vektory ${ displaystyle gamma _ {2}, gamma _ {3} ,}$ jsou hlavní a vedlejší osy. Poslední dva vektory určují orientaci obrysů stejné pravděpodobnosti na kouli, zatímco první vektor určuje společný střed obrysů. Matice 3 × 3 ${ displaystyle ( gamma _ {1}, gamma _ {2}, gamma _ {3}) ,}$ musí být kolmé.

Zobecnění na vyšší dimenze

Kentovu distribuci lze snadno zobecnit na sféry ve vyšších dimenzích. Li ${ displaystyle x}$ je bod na sféře jednotek ${ displaystyle S ^ {p-1}}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {p}}$, pak hustota funkce ${ displaystyle p}$-rozměrná Kentova distribuce je úměrná

${ displaystyle exp { kappa { boldsymbol { gamma}} _ {1} ^ {T} cdot mathbf {x} + sum _ {j = 2} ^ {p} beta _ {j } ({ boldsymbol { gamma}} _ {j} ^ {T} cdot mathbf {x}) ^ {2} } ,}$

kde ${ displaystyle sum _ {j = 2} ^ {p} beta _ {j} = 0}$ a ${ displaystyle 0 leq 2 | beta _ {j} | < kappa}$ a vektory ${ displaystyle {{ boldsymbol { gamma}} _ {j} mid j = 1 ldots p }}$ jsou ortonormální. S normalizační konstantou se však velmi obtížně pracuje ${ displaystyle p> 3}$.

Viz také

• Směrová statistika
• Von Mises – Fisherova distribuce
• Bivariát von Misesova distribuce
• Von Misesova distribuce
• Binghamova distribuce

Reference

• Boomsma, W., Kent, J.T., Mardia, K.V., Taylor, C.C. & Hamelryck, T. (2006) Grafické modely a směrové statistiky zachycují proteinovou strukturu. V S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Stěny (ed.), Interdisciplinární statistika a bioinformatika, str. 91–94. Leeds, Leeds University Press.
• Hamelryck T, Kent JT, Krogh A (2006) Vzorkování realistických proteinových konformací pomocí lokálního strukturního zkreslení^{[trvalý mrtvý odkaz ]}. PLoS Comput Biol 2 (9): e131
• Kent, J. T. (1982) Distribuce Fisher – Bingham na kouli., J. Royal. Stat. Soc., 44:71–80.
• Kent, J. T., Hamelryck, T. (2005). Využití Fisher – Binghamovy distribuce ve stochastických modelech pro proteinovou strukturu. V S. Barber, P.D. Baxter, K.V.Mardia, & R.E. Stěny (ed.), Kvantitativní biologie, analýza tvarů a vlnky, str. 57–60. Leeds, Leeds University Press.
• Mardia, K. V. M., Jupp, P. E. (2000) Directional Statistics (2. vydání), John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-471-95333-4
• Peel, D., Whiten, WJ., McLachlan, GJ. (2001) Přizpůsobení směsí Kentových distribucí na pomoc při identifikaci společné sady. J. Am. Stat. Osel., 96:56–63