Distribuce Lomax - Lomax distribution

Lomax

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle alpha> 0}$ tvar (nemovitý) ${ displaystyle lambda> 0}$ měřítko (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ displaystyle x geq 0}$
PDF	${ displaystyle { alpha over lambda} left [{1+ {x over lambda}} right] ^ {- ( alpha +1)}}$
CDF	${ displaystyle 1- left [{1+ {x over lambda}} right] ^ {- alpha}}$
Znamenat	${ displaystyle { lambda nad { alfa -1}} { text {pro}} alfa> 1}$; jinak nedefinováno
Medián	${ displaystyle lambda left ({ sqrt [{ alpha}] {2}} - 1 right)}$
Režim	0
Rozptyl	${ displaystyle { begin {cases} {{ lambda ^ {2} alpha} over {( alpha -1) ^ {2} ( alpha -2)}} & alpha> 2 infty & 1 < alpha leq 2 { text {Undefined}} & { text {jinak}} end {případy}}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2 (1+ alpha)} { alpha -3}} , { sqrt { frac { alpha -2} { alpha}}} { text {pro}} alfa> 3 ,}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {6 ( alpha ^ {3} + alpha ^ {2} -6 alpha -2)} { alpha ( alpha -3) ( alpha -4)}} { text {for}} alpha> 4 ,}$

The Distribuce Lomax, podmíněně nazývaný také Distribuce Pareto typu II, je těžký ocas rozdělení pravděpodobnosti používá se v podnikání, ekonomii, pojistněmatematické vědě, teorii front a modelování internetového provozu.^[1][2][3] Je pojmenována po K. S. Lomax. Je to v zásadě a Paretova distribuce který byl posunut tak, že jeho podpora začíná na nule.^[4]

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro distribuci Lomax je dán vztahem

${ displaystyle p (x) = { alpha over lambda} left [{1+ {x over lambda}} right] ^ {- ( alpha +1)}, qquad x geq 0 ,}$

s tvarovým parametrem ${ displaystyle alpha> 0}$ a měřítko parametru ${ displaystyle lambda> 0}$. Hustotu lze přepsat tak, aby jasněji ukazovala vztah k Paretova distribuce typu I.. To je:

${ displaystyle p (x) = {{ alfa lambda ^ { alpha}} nad {(x + lambda) ^ { alpha +1}}}}$.

Necentrální momenty

The ${ displaystyle nu}$ten necentrální moment ${ displaystyle E left [X ^ { nu} right]}$ existuje pouze v případě, že parametr tvaru ${ displaystyle alpha}$ přísně překračuje ${ displaystyle nu}$, když má daný moment hodnotu

${ displaystyle E left (X ^ { nu} right) = { frac { lambda ^ { nu} Gamma ( alpha - nu) Gamma (1+ nu)} { Gamma ( alpha)}}}$

Související distribuce

Vztah k Paretově distribuci

Distribuce Lomax je a Paretova distribuce typu I. posunula tak, aby její podpora začínala na nule. Konkrétně:

${ displaystyle { text {If}} Y sim { mbox {Pareto}} (x_ {m} = lambda, alpha), { text {then}} Y-x_ {m} sim { mbox {Lomax}} ( alpha, lambda).}$

Distribuce Lomax je a Distribuce Pareto typu II s X_m= λ a μ = 0:^[5]

${ displaystyle { text {If}} X sim { mbox {Lomax}} ( alpha, lambda) { text {then}} X sim { text {P (II)}} vlevo ( x_ {m} = lambda, alpha, mu = 0 right).}$

Vztah k zobecněné Paretově distribuci

Distribuce Lomax je zvláštním případem zobecněná Paretova distribuce. Konkrétně:

${ displaystyle mu = 0, ~ xi = {1 nad alfa}, ~ sigma = { lambda nad alfa}.}$

Vztah k distribuci beta prime

Distribuce Lomax s parametrem měřítka λ = 1 je zvláštním případem beta prime distribuce. Li X má tedy distribuci Lomax ${ displaystyle { frac {X} { lambda}} sim beta ^ { prime} (1, alpha)}$.

Vztah k distribuci F.

Distribuce Lomax s parametrem tvaru α = 1 a měřítkem λ = 1 má hustotu ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {(1 + x) ^ {2}}}}$, stejná distribuce jako F(2,2) distribuce. Toto je rozdělení poměru dvou nezávislých a identicky distribuovaných náhodných proměnných s exponenciální distribuce.

Vztah k q exponenciálnímu rozdělení

Distribuce Lomax je zvláštním případem q-exponenciální rozdělení. Exponenciál q rozšiřuje toto rozdělení na podporu v omezeném intervalu. Parametry Lomax jsou dány vztahem:

${ displaystyle alpha = {{2-q} nad {q-1}}, ~ lambda = {1 nad lambda _ {q} (q-1)}.}$

Vztah k (log-) logistické distribuci

Logaritmus distribuované proměnné Lomax (tvar = 1,0, měřítko = λ) následuje a logistická distribuce s logem polohy (λ) a měřítkem 1.0. To znamená, že rozdělení Lomax (tvar = 1,0, měřítko = λ) se rovná log-logistická distribuce s tvarem β = 1,0 a stupnicí α = log (λ).

Spojení gama-exponenciální (měřítko) směsi

Distribuce Lomax vzniká jako a směs z exponenciální distribuce kde směšovací distribuce rychlosti je a gama distribuce.Pokud λ | k, θ ~ gama (tvar = k, měřítko = θ) a X| λ ~ Exponenciální (rychlost = λ) pak okrajové rozdělení X| k, θ je Lomax (tvar = k, měřítko = 1 / θ). Protože parametr rychlosti může být ekvivalentně změněno na a parametr měřítka, distribuce Lomax představuje a šupinová směs exponenciálů (s exponenciální parametr měřítka po an inverzní gama distribuce ).

Viz také

• mocenský zákon
• složené rozdělení pravděpodobnosti
• hyperexponenciální distribuce (konečná směs exponenciálů)
• normální-exponenciální-gama rozdělení (směs v normálním měřítku s distribucí míchání Lomax)

Reference