Šikmé normální rozdělení - Skew normal distribution

Šikmý normální

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${displaystyle xi,}$ umístění (nemovitý ) ${displaystyle omega,}$ měřítko (pozitivní, nemovitý ) ${displaystyle alpha,}$ tvar (nemovitý )
Podpěra, podpora	${displaystyle xin (-infty; + infty)!}$
PDF	${displaystyle {frac {2} {omega {sqrt {2pi}}}} e ^ {- {frac {(x-xi) ^ {2}} {2omega ^ {2}}}} int _ {- infty} ^ {alfa left ({frac {x-xi} {omega}} ight)} {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {t ^ {2}} {2}}} dt}$
CDF	${displaystyle Phi left ({frac {x-xi} {omega}} ight) -2Tleft ({frac {x-xi} {omega}}, alpha ight)}$ ${displaystyle T (h, a)}$ je Owenova T funkce
Znamenat	${displaystyle xi + omega delta {sqrt {frac {2} {pi}}}}$ kde ${displaystyle delta = {frac {alpha} {sqrt {1 + alpha ^ {2}}}}}$
Režim	${displaystyle xi + omega m_ {o} (alfa)}$
Rozptyl	${displaystyle omega ^ {2} vlevo (1- {frac {2delta ^ {2}} {pi}} ight)}$
Šikmost	${displaystyle gamma _ {1} = {frac {4-pi} {2}} {frac {left (delta {sqrt {2 / pi}} ight) ^ {3}} {left (1-2delta ^ {2} / pi ight) ^ {3/2}}}}$
Př. špičatost	${displaystyle 2 (pi -3) {frac {left (delta {sqrt {2 / pi}} ight) ^ {4}} {left (1-2delta ^ {2} / pi ight) ^ {2}}}}$
MGF	${displaystyle M_ {X} vlevo (těsně) = 2exp vlevo (xi t + {frac {omega ^ {2} t ^ {2}} {2}} vpravo) Phi vlevo (omega delta těsně)}$
CF	${displaystyle e ^ {itxi -t ^ {2} omega ^ {2} / 2} vlevo (1 + i, {extrm {Erfi}} vlevo ({frac {delta omega t} {sqrt {2}}} vpravo) v noci)}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, zkosit normální rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti který zobecňuje normální distribuce umožnit nenulovou hodnotu šikmost.

Definice

Nechat ${displaystyle phi (x)}$ označit standardní normální funkce hustoty pravděpodobnosti

${displaystyle phi (x) = {frac {1} {sqrt {2pi}}} e ^ {- {frac {x ^ {2}} {2}}}}$

s kumulativní distribuční funkce dána

${displaystyle Phi (x) = int _ {- infty} ^ {x} phi (t) dt = {frac {1} {2}} left [1 + operatorname {erf} left ({frac {x} {sqrt { 2}}} hned) hned]}$,

kde "erf" je chybová funkce. Poté funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) normálního rozdělení zešikmení s parametrem ${displaystyle alpha}$ darováno

${displaystyle f (x) = 2phi (x) Phi (alfa x).,}$

Tuto distribuci poprvé představili O'Hagan a Leonard (1976).^[1] Aproximace této distribuce, které lze snadněji matematicky manipulovat, poskytli Ashour a Abdel-Hamid^[2] a Mudholkar a Hutson.^[3]

Stochastický proces, který je základem distribuce, popsali Andel, Netuka a Zvara (1984).^[4] Jak distribuce, tak její základny stochastických procesů byly důsledky argumentu symetrie vyvinutého v Chan a Tong (1986),^[5] který platí pro vícerozměrné případy nad rámec normality, např. zkosit multivariační distribuci t a další. Distribuce je konkrétním případem obecné třídy distribucí s funkcemi hustoty pravděpodobnosti formy f (x) = 2 φ (x) Φ (x) kde φ () je jakýkoli PDF symetrické kolem nuly a ) () je jakýkoli CDF jehož PDF je symetrický kolem nuly.^[6]

Přidat umístění a měřítko k tomu se provede obvyklá transformace ${displaystyle xightarrow {frac {x-xi} {omega}}}$. Lze ověřit, že normální distribuce je obnovena, když ${displaystyle alpha = 0}$, a že absolutní hodnota šikmost se zvyšuje jako absolutní hodnota ${displaystyle alpha}$ zvyšuje. Distribuce je zkosená, pokud ${displaystyle alpha> 0}$ a je ponechán vychýlený, pokud ${displaystyle alpha <0}$. Funkce hustoty pravděpodobnosti s umístěním ${displaystyle xi}$, měřítko ${displaystyle omega}$a parametr ${displaystyle alpha}$ se stává

${displaystyle f (x) = {frac {2} {omega}} phi left ({frac {x-xi} {omega}} ight) Phi left (alpha left ({frac {x-xi} {omega}} ight) ) hned).,}$

Pamatujte však, že šikmost (${displaystyle gamma _ {1}}$) distribuce je omezen na interval ${displaystyle (-1,1)}$.

Jak bylo ukázáno,^[7] režim (maximum) distribuce je jedinečný. Obecně ${displaystyle alpha}$ neexistuje žádný analytický výraz ${displaystyle m_ {o}}$ , ale docela přesná (numerická) aproximace je:

${displaystyle m_ {o} (alfa) přibližně mu _ {z} - {frac {gamma _ {1} sigma _ {z}} {2}} - {frac {mathrm {sgn} (alfa)} {2}} exp vlevo (- {frac {2pi} {| alfa |}} vpravo)}$

kde ${displaystyle mu _ {z} = {sqrt {frac {2} {pi}}} delta}$ a ${displaystyle sigma _ {z} = {sqrt {1-mu _ {z} ^ {2}}}}$

Odhad

Maximální pravděpodobnost odhady pro ${displaystyle xi}$, ${displaystyle omega}$, a ${displaystyle alpha}$ lze vypočítat numericky, ale pro odhady není k dispozici žádný uzavřený výraz, pokud ${displaystyle alpha = 0}$. Pokud je potřeba výraz v uzavřené formě, metoda momentů lze použít k odhadu ${displaystyle alpha}$ ze vzorkového zkosení převrácením rovnice šikmosti. Tím se získá odhad

${displaystyle | delta | = {sqrt {{frac {pi} {2}} {frac {| {hat {gamma}} _ {1} | ^ {frac {2} {3}}} {| {hat {gamma }} _ {1} | ^ {frac {2} {3}} + ((4-pi) / 2) ^ {frac {2} {3}}}}}}}$

kde ${displaystyle delta = {frac {alpha} {sqrt {1 + alpha ^ {2}}}}}$, a ${displaystyle {hat {gamma}} _ {1}}$ je ukázka zkosení. Znamení ${displaystyle delta}$ je stejné jako znamení ${displaystyle {hat {gamma}} _ {1}}$. Tudíž, ${displaystyle {hat {alpha}} = delta / {sqrt {1-delta ^ {2}}}}$.

Maximální (teoretická) šikmost se získá nastavením ${displaystyle {delta = 1}}$ v rovnici šikmosti, dávat ${displaystyle gamma _ {1} přibližně 0,9952717}$. Je však možné, že vzorová šikmost je větší, a poté ${displaystyle alpha}$ z těchto rovnic nelze určit. Když používáte metodu momentů automatickým způsobem, například k poskytnutí počátečních hodnot pro maximální pravděpodobnost iterace, měli byste tedy nechat (například) ${displaystyle | {hat {gamma}} _ {1} | = min (0,99, | (1 / n) součet {((x_ {i} - {ar {x}}) / s) ^ {3}} | )}$.

Bylo vyjádřeno znepokojení nad dopadem zkosených normálních metod na spolehlivost závěrů na nich založených.^[8]

Související distribuce

The exponenciálně upravené normální rozdělení je další 3-parametrická distribuce, která je zobecněním normálního rozdělení na zkosené případy. Zkosení normální má stále ocas podobný normálu ve směru zkosení, s kratším ocasem v opačném směru; to znamená, že jeho hustota je asymptoticky úměrná ${displaystyle e ^ {- kx ^ {2}}}$ pro některé pozitivní ${displaystyle k}$. Pokud jde o sedm stavů náhodnosti, zobrazuje „správnou mírnou náhodnost“. Naproti tomu exponenciálně upravená normála má exponenciální ocas ve směru zkosení; jeho hustota je asymptoticky úměrná ${displaystyle e ^ {- k | x |}}$. Stejným způsobem ukazuje „hraniční mírnou náhodnost“.

Zkosená normála je tedy užitečná pro modelování zkosených distribucí, které přesto nemají více odlehlých hodnot než normální, zatímco exponenciálně upravená normální je užitečná pro případy se zvýšeným výskytem odlehlých hodnot v (jen) jednom směru.

Viz také

• Zobecněné normální rozdělení
• Normální distribuce protokolu

Reference

externí odkazy

• Vícerozměrné rozložení šikmého normálu s aplikací na tělesnou hmotnost, výšku a index tělesné hmotnosti
• Velmi krátký úvod do zkoseného normálního rozdělení
• Distribuce pravděpodobnosti zkosení - normální (a související distribuce, například zkosení-t)
• OWENS: Owenova funkce T.
• Distribuce s uzavřeným zkosením - simulace, inverze a odhad parametrů