Parabolická parciální diferenciální rovnice - Parabolic partial differential equation

A parabolická parciální diferenciální rovnice je typ parciální diferenciální rovnice (PDE). Parabolické PDE se používají k popisu široké škály časově závislých jevů, včetně vedení tepla, difúze částic, a oceňování derivátových investičních nástrojů.

Definice

Chcete-li definovat nejjednodušší druh parabolického PDE, zvažte funkci se skutečnou hodnotou ${displaystyle u (x, y)}$ dvou nezávislých reálných proměnných, ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$. A lineární konstantní koeficient PDE druhého řádu pro ${displaystyle u}$ má formu

${displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + F = 0,}$

a toto PDE je klasifikováno jako parabolický pokud koeficienty splňují podmínku

${displaystyle B ^ {2} -AC = 0.}$

Obvykle ${displaystyle x}$ představuje jednorozměrnou pozici a ${displaystyle y}$ představuje čas a PDE je řešen za předepsaných počátečních a okrajových podmínek.

Název „parabolický“ se používá, protože předpoklad o koeficientech je stejný jako podmínka pro rovnici analytické geometrie ${displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$definovat rovinné parabola.

Základní příklad parabolického PDE je jednorozměrný rovnice tepla,

${displaystyle u_ {t} = alfa, u_ {xx},}$

kde ${displaystyle u (x, t)}$ je teplota v čase ${displaystyle t}$ a na pozici ${displaystyle x}$ podél tenké tyče a ${displaystyle alpha}$ je kladná konstanta ( tepelná difuzivita). Symbol ${displaystyle u_ {t}}$ znamená parciální derivace z ${displaystyle u}$ vzhledem k časové proměnné ${displaystyle t}$a podobně ${displaystyle u_ {xx}}$ je druhá parciální derivace vzhledem k ${displaystyle x}$. V tomto příkladu ${displaystyle t}$ hraje roli ${displaystyle y}$ v obecném lineárním PDE druhého řádu:${displaystyle A = alfa}$, ${displaystyle E = -1}$a ostatní koeficienty jsou nulové.

Tepelná rovnice zhruba říká, že teplota v daném čase a bodě stoupá nebo klesá rychlostí úměrnou rozdílu mezi teplotou v daném bodě a průměrnou teplotou v blízkosti tohoto bodu. Množství ${displaystyle u_ {xx}}$ měří, jak daleko je teplota od splnění vlastnosti střední hodnoty harmonické funkce.

Koncept parabolického PDE lze zobecnit několika způsoby. Například tok tepla hmotným tělesem je řízen trojrozměrným rovnice tepla,

${displaystyle u_ {t} = alfa, Delta u,}$

kde

${displaystyle Delta u: = {frac {částečné ^ {2} u} {částečné x ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} u} {částečné y ^ {2}}} + {frac {částečné ^ {2} u} {částečné z ^ {2}}}}$

označuje Operátor Laplace jednající na ${displaystyle u}$. Tato rovnice je prototypem a vícerozměrný parabolický PDE.

Všímat si toho ${displaystyle -Delta}$ je eliptický operátor navrhuje širší definici parabolického PDE:

${displaystyle u_ {t} = - Lu,}$

kde ${displaystyle L}$ je druhého řádu eliptický operátor (z čehož vyplývá, že ${displaystyle L}$ musí být pozitivní; případ, kdy ${displaystyle u_ {t} = + Lu}$ níže).

Systém parciálních diferenciálních rovnic pro vektor ${displaystyle u}$ může být také parabolický. Například takový systém je skryt v rovnici tvaru

${displaystyle abla cdot (a (x) abla u (x)) + b (x) ^ {ext {T}} abla u (x) + cu (x) = f (x)}$

pokud je funkce s hodnotou matice ${displaystyle a (x)}$ má jádro dimenze 1.

Parabolické PDE mohou být také nelineární. Například, Fisherova rovnice je nelineární PDE, který zahrnuje stejný difúzní člen jako rovnice tepla, ale zahrnuje člen lineárního růstu a člen nelineárního rozpadu.

Řešení

Podle širokých předpokladů má problém počáteční / hraniční hodnoty pro lineární parabolický PDE řešení pro celou dobu. Řešení ${displaystyle u (x, t)}$, jako funkce ${displaystyle x}$ na pevnou dobu ${displaystyle t> 0}$, je obecně hladší než počáteční data ${displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x)}$.

Pro nelineární parabolické PDE může řešení problému počáteční / hraniční hodnoty explodovat v a jedinečnost v konečném čase. Může být obtížné určit, zda řešení existuje po celou dobu, nebo pochopit vznikající singularity. Takové zajímavé otázky vyvstávají v řešení Poincarého domněnky přes Ricciho tok.^{[Citace je zapotřebí ]}

Zpětná parabolická rovnice

Jeden se občas setká s tzv zpětně parabolické PDE, který má podobu ${displaystyle u_ {t} = Lu}$ (všimněte si absence znaménka mínus).

Problém počáteční hodnoty pro rovnici zpětného tepla,

${displaystyle {egin {cases} u_ {t} = - Delta u & {extrm {on}} Omega imes (0, T), u = 0 & {extrm {on}} částečné Omega imes (0, T), u = f & {extrm {on}} Omega imes left {0ight} .end {cases}},}$

je ekvivalentní problému konečné hodnoty pro běžnou rovnici tepla,

${displaystyle {egin {cases} u_ {t} = Delta u & {extrm {on}} Omega imes (0, T), u = 0 & {extrm {on}} částečné Omega imes (0, T), u = f & {extrm {on}} Omega imes left {Tight} .end {cases}}}$

Problém počáteční / hraniční hodnoty pro zpětně parabolické PDE obvykle není dobře pózoval (řešení často rostou neomezeně v konečném čase nebo dokonce neexistují). Tyto problémy jsou nicméně důležité pro studium reflexe singularit řešení různých různých PDE.^[1] Navíc jistě vznikají v cenovém problému finanční nástroje.

Příklady

• Tepelná rovnice
• Střední tok zakřivení
• Ricciho tok

Viz také

• Hyperbolická parciální diferenciální rovnice
• Eliptická parciální diferenciální rovnice
• Autowave

Reference

• Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Parciální diferenciální rovnice, Postgraduální studium matematiky, 19 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, doi:10,1090 / gsm / 019, ISBN  978-0-8218-4974-3, PAN  2597943
• "Parabolická parciální diferenciální rovnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• "Parabolická parciální diferenciální rovnice, numerické metody", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]