Von Mises – Fisherova distribuce - Von Mises–Fisher distribution

v směrová statistika, von Mises – Fisherova distribuce (pojmenoval podle Ronald Fisher a Richard von Mises ), je rozdělení pravděpodobnosti na ${displaystyle (p-1)}$-koule v ${displaystyle mathbb {R} ^ {p}}$. Li ${displaystyle p = 2}$distribuce se snižuje na von Misesova distribuce na kruh.

The hustota pravděpodobnosti funkce distribuce von Mises – Fisher pro náhodný p-dimenzionální jednotkový vektor ${displaystyle mathbf {x},}$ je dána:

${displaystyle f_ {p} (mathbf {x}; {oldsymbol {mu}}, kappa) = C_ {p} (kappa) exp left ({kappa {oldsymbol {mu}} ^ {T} mathbf {x}} večer ),}$

kde ${displaystyle kappa geq 0, leftVert {oldsymbol {mu}} ightVert = 1,}$ a normalizační konstanta ${displaystyle C_ {p} (kappa),}$ je rovný

${displaystyle C_ {p} (kappa) = {frac {kappa ^ {p / 2-1}} {(2pi) ^ {p / 2} I_ {p / 2-1} (kappa)}},}$

kde ${displaystyle I_ {v}}$ označuje upravené Besselova funkce prvního druhu na objednávku ${displaystyle v}$. Li ${displaystyle p = 3}$normalizační konstanta klesá na

${displaystyle C_ {3} (kappa) = {frac {kappa} {4pi sinh kappa}} = {frac {kappa} {2pi (e ^ {kappa} -e ^ {- kappa})}}}}$

Parametry ${displaystyle {oldsymbol {mu}},}$ a ${displaystyle kappa,}$ se nazývají průměrný směr a parametr koncentrace, resp. Čím větší je hodnota ${displaystyle kappa,}$, čím vyšší je koncentrace distribuce kolem středního směru ${displaystyle {oldsymbol {mu}},}$. Distribuce je unimodální pro ${displaystyle kappa> 0,}$, a je jednotný ve sféře pro ${displaystyle kappa = 0,}$.

Distribuce von Mises – Fisher pro ${displaystyle p = 3}$, nazývaná také Fisherova distribuce, byla poprvé použita k modelování interakce elektrické dipóly v elektrické pole (Mardia & Jupp, 1999). Další aplikace najdete v geologie, bioinformatika, a dolování textu.

Vztah k normálnímu rozdělení

Počínaje a normální distribuce

${displaystyle G_ {p} (mathbf {x}; {oldsymbol {mu}}, kappa) = left ({sqrt {frac {kappa} {2pi}}} ight) ^ {p} exp left (-kappa {frac { (mathbf {x} - {oldsymbol {mu}}) ^ {2}} {2}} ight),}$

distribuce von Mises-Fisher se získá rozšířením

${displaystyle (mathbf {x} - {oldsymbol {mu}}) ^ {2} = mathbf {x} ^ {2} + {oldsymbol {mu}} ^ {2} -2 {oldsymbol {mu}} ^ {T } mathbf {x},}$

díky tomu, že ${displaystyle mathbf {x}}$ a ${displaystyle {oldsymbol {mu}}}$ jsou jednotkové vektory a přepočet normalizační konstanty integrací ${displaystyle mathbf {x}}$ přes jednotkovou sféru.

Odhad parametrů

Série N nezávislý Měření ${displaystyle x_ {i}}$ jsou čerpány z distribuce von Mises – Fisher. Definovat

${displaystyle A_ {p} (kappa) = {frac {I_ {p / 2} (kappa)} {I_ {p / 2-1} (kappa)}}.,}$

Poté (Mardia & Jupp, 1999) maximální pravděpodobnost odhady ${displaystyle mu,}$ a ${displaystyle kappa,}$ jsou dány dostatečná statistika

${displaystyle {ar {x}} = {frac {1} {N}} součet _ {i} ^ {N} x_ {i},}$

tak jako

${displaystyle mu = {ar {x}} / {ar {R}}, {ext {where}} {ar {R}} = | {ar {x}} |,}$

a

${displaystyle kappa = A_ {p} ^ {- 1} ({ar {R}}).}$

Tím pádem ${displaystyle kappa,}$ je řešením

${displaystyle A_ {p} (kappa) = {frac {| sum _ {i} ^ {N} x_ {i} |} {N}} = {ar {R}}.}$

Jednoduchá aproximace na ${displaystyle kappa}$ is (Sra, 2011)

${displaystyle {hat {kappa}} = {frac {{ar {R}} (p- {ar {R}} ^ {2})} {1- {ar {R}} ^ {2}}},}$

ale přesnější měřítko lze získat opakováním Newtonovy metody několikrát

${displaystyle {hat {kappa}} _ {1} = {hat {kappa}} - {frac {A_ {p} ({hat {kappa}}) - {ar {R}}} {1-A_ {p} ({hat {kappa}}) ^ {2} - {frac {p-1} {hat {kappa}}} A_ {p} ({hat {kappa}})}}}}$

${displaystyle {hat {kappa}} _ {2} = {hat {kappa}} _ {1} - {frac {A_ {p} ({hat {kappa}} _ {1}) - {ar {R}} } {1-A_ {p} ({hat {kappa}} _ {1}) ^ {2} - {frac {p-1} {{hat {kappa}} _ {1}}} A_ {p} ( {hat {kappa}} _ {1})}}.}$

Pro N ≥ 25 lze odhadnout sférickou standardní chybu středního směru vzorku vypočítat jako^[1]

${displaystyle {hat {sigma}} = left ({frac {d} {N {ar {R}} ^ {2}}} ight) ^ {1/2}}$

kde

${displaystyle d = 1- {frac {1} {N}} součet _ {i} ^ {N} (mu ^ {T} x_ {i}) ^ {2}}$

Pak je možné aproximovat a ${displaystyle 100 (1-alfa) \%}$ důvěra kužel o ${displaystyle mu}$ s polosvislým úhlem

${displaystyle q = arcsin (e_ {alpha} ^ {1/2} {hat {sigma}}),}$ kde ${displaystyle e_ {alpha} = - ln (alfa).}$

Například pro kužel spolehlivosti 95%, ${displaystyle alpha = 0,05, e_ {alpha} = - ln (0,05) = 2,996,}$ a tudíž ${displaystyle q = arcsin (1.731 {hat {sigma}}).}$

Zobecnění

Matice von Mises-Fisherova distribuce má hustotu

${displaystyle f_ {n, p} (mathbf {X}; mathbf {F}) propto exp (operatorname {tr} (mathbf {F} ^ {T} mathbf {X}))}$

podporováno na Stiefel potrubí z ${displaystyle n imes p}$ ortonormální p-snímky ${displaystyle mathbf {X}}$, kde ${displaystyle mathbf {F}}$ je libovolný ${displaystyle n imes p}$ skutečná matice.^[2][3]

Viz také

• Kentova distribuce, související distribuce na dvourozměrné jednotkové sféře
• von Misesova distribuce, von Mises – Fisherova distribuce kde p = 2, jednorozměrný jednotkový kruh
• Bivariát von Misesova distribuce
• Směrová statistika

Reference

• Dhillon, I., Sra, S. (2003) „Modelování dat pomocí směrových distribucí“. Tech. rep., University of Texas, Austin.
• Banerjee, A., Dhillon, I. S., Ghosh, J., & Sra, S. (2005). "Shlukování na jednotkové hypersféře pomocí distribucí von Mises-Fisher". Journal of Machine Learning Research, 6 (září), 1345-1382.
• Fisher, RA, „Disperze na kouli“. (1953) Proc. Roy. Soc. London Ser. A., 217: 295–305
• Mardia, Kanti; Jupp, P. E. (1999). Směrová statistika. John Wiley & Sons Ltd. ISBN  978-0-471-95333-3.
• Sra, S. (2011). "Krátká poznámka k aproximaci parametrů pro distribuce von Mises-Fisher: A rychlá implementace I s (x)". Výpočetní statistika. 27: 177–190. CiteSeerX  10.1.1.186.1887. doi:10.1007 / s00180-011-0232-x.