Distribuce Mittag-Leffler - Mittag-Leffler distribution

The Distribuce Mittag-Leffler jsou dvě rodiny rozdělení pravděpodobnosti na poloviční čáře ${ displaystyle [0, infty)}$. Jsou parametrizovány skutečností ${ displaystyle alpha in (0,1]}$ nebo ${ displaystyle alpha v [0,1]}$. Oba jsou definovány pomocí Funkce Mittag-Leffler, pojmenoval podle Gösta Mittag-Leffler.^[1]

Funkce Mittag-Leffler

Pro jakýkoli komplex ${ displaystyle alpha}$ jehož skutečná část je pozitivní, série

${ displaystyle E _ { alpha} (z): = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} { Gamma (1+ alpha n)}}}$

definuje celou funkci. Pro ${ displaystyle alpha = 0}$, řada konverguje pouze na disku o poloměru jedna, ale lze ji analyticky rozšířit na ${ displaystyle mathbb {C} - {1 }}$.

První rodina distribucí Mittag-Leffler

První rodina distribucí Mittag-Leffler je definována vztahem mezi funkcí Mittag-Leffler a jejich kumulativní distribuční funkce.

Pro všechny ${ displaystyle alpha in (0,1]}$, funkce ${ displaystyle E _ { alpha}}$ roste na reálné linii, konverguje k ${ displaystyle 0}$ v ${ displaystyle - infty}$, a ${ displaystyle E _ { alpha} (0) = 1}$. Proto funkce ${ displaystyle x mapsto 1-E _ { alpha} (- x ^ { alpha})}$ je kumulativní distribuční funkce míry pravděpodobnosti na nezáporných reálných číslech. Takto definované rozdělení a jakýkoli z jeho násobků se nazývá Mittag-Lefflerovo rozdělení řádu ${ displaystyle alpha}$.

Všechna tato rozdělení pravděpodobnosti jsou absolutně kontinuální. Od té doby ${ displaystyle E_ {1}}$ je exponenciální funkce, Mittag-Lefflerovo rozdělení řádu ${ displaystyle 1}$ je exponenciální rozdělení. Nicméně pro ${ displaystyle alpha v (0,1)}$, distribuce Mittag-Leffler jsou těžký ocas. Jejich Laplaceova transformace je dána vztahem:

${ displaystyle mathbb {E} (e ^ {- lambda X _ { alpha}}) = { frac {1} {1+ lambda ^ { alpha}}},}$

z čehož vyplývá, že pro ${ displaystyle alpha v (0,1)}$, očekávání je nekonečné. Kromě toho tyto distribuce jsou geometrická stabilní rozdělení. Postupy odhadu parametrů najdete zde.^[2][3]

Druhá rodina distribucí Mittag-Leffler

Druhá rodina distribucí Mittag-Leffler je definována vztahem mezi funkcí Mittag-Leffler a jejich funkce generující momenty.

Pro všechny ${ displaystyle alpha v [0,1]}$, náhodná proměnná ${ displaystyle X _ { alpha}}$ údajně dodržuje distribuci objednávky Mittag-Leffler ${ displaystyle alpha}$ pokud, pro nějakou konstantu ${ displaystyle C> 0}$,

${ displaystyle mathbb {E} (e ^ {zX _ { alpha}}) = E _ { alpha} (Cz),}$

kde konvergence znamená vše ${ displaystyle z}$ v komplexní rovině, pokud ${ displaystyle alpha in (0,1]}$, a všechno ${ displaystyle z}$ na disku o poloměru ${ displaystyle 1 / C}$ -li ${ displaystyle alpha = 0}$.

Distribuce objednávky Mittag-Leffler ${ displaystyle 0}$ je exponenciální rozdělení. Distribuce objednávky Mittag-Leffler ${ displaystyle 1/2}$ je distribuce absolutní hodnoty a normální distribuce náhodná proměnná. Mittag-Lefflerovo rozdělení objednávky ${ displaystyle 1}$ je zdegenerovaná distribuce. Na rozdíl od první rodiny distribuce Mittag-Leffler nejsou tyto distribuce těžké.

Tyto distribuce se běžně vyskytují ve vztahu k místnímu času Markovových procesů.

Reference