Cesàro součet - Cesàro summation

v matematická analýza, Cesàro součet (také známý jako Cesàro znamená^[1]^[2]) některým přiřadí hodnoty nekonečné částky to jsou není konvergentní v obvyklém smyslu. Součet Cesàro je definován jako limit, as n má tendenci k nekonečnu, posloupnosti aritmetických průměrů prvního n dílčí součty řady.

Tento speciální případ a metoda sčítatelnosti matice je pojmenován pro italského analytika Ernesto Cesàro (1859–1906).

Termín součet může být zavádějící, protože lze říci, že některá tvrzení a důkazy týkající se součtu Cesàro implikují Podvod Eilenberg – Mazur. Například se běžně používá na Grandiho série se závěrem, že součet této řady je 1/2.

Definice

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ být sekvence a nechte

{ displaystyle s_ {k} = a_ {1} + cdots + a_ {k} = součet _ {n = 1} ^ {k} a_ {n}}

být jeho $k$ th částečný součet.

Sekvence $(A n)$ je nazýván Cesàro lze shrnout, s Cesàro součtem $A \in ℝ$ , pokud, jako $n$ má sklon k nekonečnu aritmetický průměr jeho první n částečné částky $s 1, s 2, ..., s n$ má sklony k $A$ :

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {1} {n}} sum _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} = A.}

Hodnota výsledného limitu se nazývá Cesàro součet řady ${ displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$ Pokud je tato řada konvergentní, pak je Cesàro sumarizovatelná a její Cesàro součet je obvyklý součet.

Příklady

První příklad

Nechat $A n = (-1) n$ pro $n \geq 0$ . To znamená, ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ { infty}}$ je sekvence

{ displaystyle (1, -1,1, -1, ldots).}

Nechat $G$ označit sérii

{ displaystyle G = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} = 1-1 + 1-1 + 1- cdots}

Série $G$ je známý jako Grandiho série.

Nechat ${ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 0} ^ { infty}}$ označují posloupnost dílčích součtů $G$ :

{ displaystyle { begin {aligned} s_ {k} & = sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} (s_ {k}) & = (1,0,1,0, ldots). end {zarovnáno}}}

Tato posloupnost dílčích součtů se nesbližuje, takže řada $G$ se liší. Nicméně, $G$ je Cesàro lze shrnout. Nechat ${ displaystyle (t_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ být posloupností aritmetických průměrů prvního $n$ dílčí částky:

{ displaystyle { begin {aligned} t_ {n} & = { frac {1} {n}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} (t_ {n} ) & = left ({ frac {1} {1}}, { frac {1} {2}}, { frac {2} {3}}, { frac {2} {4}}, { frac {3} {5}}, { frac {3} {6}}, { frac {4} {7}}, { frac {4} {8}}, ldots right). end {zarovnáno}}}

Pak

{ displaystyle lim _ {n to infty} t_ {n} = 1/2,}

a tedy součet Cesàro série $G$ je $1/2$ .

Druhý příklad

Jako další příklad pojďme $A n = n$ pro $n \geq 1$ . To znamená, ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ je sekvence

{ displaystyle (1,2,3,4, ldots).}

Nechat $G$ nyní označte sérii

{ displaystyle G = sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4 + cdots}

Pak posloupnost dílčích součtů ${ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 1} ^ { infty}}$ je

{ displaystyle (1,3,6,10, ldots).}

Vzhledem k tomu, že posloupnost dílčích součtů roste bez vazby, série $G$ rozchází se do nekonečna. Sekvence $(t n)$ prostředků částečných součtů G je

{ displaystyle left ({ frac {1} {1}}, { frac {4} {2}}, { frac {10} {3}}, { frac {20} {4}}, ldots right).}

Tato sekvence se také rozchází s nekonečnem, takže $G$ je ne Cesàro lze shrnout. Ve skutečnosti pro jakoukoli posloupnost, která se odchyluje od (kladného nebo záporného) nekonečna, vede metoda Cesàro také k posloupnosti, která se odchyluje podobně, a proto taková řada není Cesàro sčítatelná.

$(C, α)$ součet

V roce 1890 uvedl Ernesto Cesàro širší rodinu metod sčítání, které se od té doby nazývají $(C, α)$ pro nezáporná celá čísla $α$ . The $(C, 0)$ metoda je jen obyčejný součet, a $(C, 1)$ je Cesàro součet, jak je popsáno výše.

Metody vyššího řádu lze popsat takto: vzhledem k řadě $\sum A n$ , definujte množství

{ displaystyle { begin {aligned} A_ {n} ^ {- 1} & = a_ {n} A_ {n} ^ { alpha} & = sum _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} ^ { alpha -1} end {zarovnáno}}}

(kde horní indexy neznamenají exponenty) a definujte $E α n$ být $A α n$ pro sérii 1 + 0 + 0 + 0 + …. Pak $(C, α)$ součet $\sum A n$ je označen $(C, α)-\sum A n$ a má hodnotu

{ displaystyle ( mathrm {C}, alpha) { text {-}} součet _ {j = 0} ^ { infty} a_ {j} = lim _ {n to infty} { frac {A_ {n} ^ { alpha}} {E_ {n} ^ { alpha}}}}

pokud existuje (Shawyer & Watson 1994 16-17). Tento popis představuje $α$ -krát opakovaná aplikace metody počátečního sčítání a může být přepracována jako

{ displaystyle ( mathrm {C}, alpha) { text {-}} součet _ {j = 0} ^ { infty} a_ {j} = lim _ {n to infty} součet _ {j = 0} ^ {n} { frac { binom {n} {j}} { binom {n + alpha} {j}}} a_ {j}.}

Ještě obecněji pro $α \in ℝ ℤ -$ , nechť $A α n$ být implicitně dán koeficienty řady

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} A_ {n} ^ { alpha} x ^ {n} = { frac { displaystyle { sum _ {n = 0} ^ { infty } a_ {n} x ^ {n}}} {(1-x) ^ {1+ alpha}}},}

a $E α n$ jak je uvedeno výše. Zejména, $E α n$ jsou binomické koeficienty síly $-1 - α$ . Pak $(C, α)$ součet $\sum A n$ je definována výše.

Li $\sum A n$ má $(C, α)$ součet, pak má také a $(C, β)$ součet za každého $β > α$ a částky souhlasí; navíc máme $A n = Ó (n α)$ -li $α > -1$ (vidět málo- $Ó$ notace ).

Cesàro summabilita integrálu

Nechat $α \geq 0$ . The integrální ${ displaystyle textstyle int _ {0} ^ { infty} f (x) , dx}$ je $(C, α)$ summable if

{ displaystyle lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { lambda} left (1 - { frac {x} { lambda}} right) ^ { alpha} f (x) , dx}

existuje a je konečný (Titchmarsh 1948, §1.15). Hodnota tohoto limitu, pokud existuje, je $(C, α)$ součet integrálu. Analogicky k případu součtu sérií, pokud $α = 0$ , výsledkem je konvergence nesprávný integrál. V případě $α = 1$ , $(C, 1)$ konvergence je ekvivalentní existenci limitu

{ displaystyle lim _ { lambda až infty} { frac {1} { lambda}} int _ {0} ^ { lambda} int _ {0} ^ {x} f (y) , dy , dx}

což je limit prostředků částečných integrálů.

Stejně jako u řady, pokud je integrál $(C, α)$ sumarizovatelný pro určitou hodnotu $α \geq 0$ , pak je také $(C, β)$ sčítatelné pro všechny $β > α$ a hodnota výsledného limitu je stejná.

Viz také

Reference

^ Hardy, G. H. (1992). Divergentní série. Providence: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-2649-2.
^ Katznelson, Yitzhak (1976). Úvod do harmonické analýzy. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.

Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
Titchmarsh, E. C. (1986) [1948], Úvod do teorie Fourierových integrálů (2. vyd.), New York, NY: Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0324-5
Volkov, I. I. (2001) [1994], „Cesàro sumační metody“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Zygmund, Antoni (1988) [1968], Trigonometrická řada (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9

[Hardy-1] Hardy, G. H. (1992). Divergentní série. Providence: Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-2649-2.

[Katznelson-2] Katznelson, Yitzhak (1976). Úvod do harmonické analýzy. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.

[1]

[2]