Provozovatel hybnosti - Momentum operator

v kvantová mechanika, operátor hybnosti je operátor spojené s lineární hybnost. Operátor hybnosti je v reprezentaci polohy příkladem a operátor diferenciálu. Pro případ jedné částice v jedné prostorové dimenzi je definice:

{ displaystyle { hat {p}} = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}}}

kde $ħ$ je Planckova redukovaná konstanta, $i$ the imaginární jednotka a dílčí deriváty (označeny ${ displaystyle částečné}$ ) se používají místo a celková derivace ( $d / dx$ ) protože vlnová funkce je také funkcí času. „Klobouk“ označuje operátora. „Aplikace“ operátora na funkci diferencovatelných vln je následující:

{ displaystyle { hat {p}} psi = -i hbar { frac { částečný psi} { částečný x}}}

Na základě Hilbertova prostoru sestávajícího z hybnosti vlastní státy vyjádřeno v reprezentaci hybnosti, akce operátoru je jednoduše vynásobena $p$ , tj. je to operátor násobení, stejně jako operátor polohy je operátor násobení v reprezentaci polohy. Všimněte si, že výše uvedená definice je kanonická hybnost, což není měřidlo neměnné a ne měřitelné fyzikální množství pro nabité částice v elektromagnetické pole. V takovém případě kanonická hybnost se nerovná kinetická hybnost.

V době, kdy byla kvantová mechanika vyvinuta ve 20. letech 20. století, operátor hybnosti našel mnoho teoretických fyziků, včetně Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin Schrödinger, a Eugene Wigner. Jeho existence a forma se někdy považuje za jeden ze základních postulátů kvantové mechaniky.

Původ pochází z rovinných vln De Broglie

Provozovatelé hybnosti a energie mohou být konstruováni následujícím způsobem.^[1]

Jedna dimenze

Počínaje v jedné dimenzi pomocí rovinná vlna řešení Schrödingerova rovnice jedné volné částice,

{ displaystyle psi (x, t) = e ^ {{ frac {i} { hbar}} (px-Et)},}

kde $p$ je interpretován jako hybnost v $X$ -směr a $E$ je částicová energie. Částečná derivace prvního řádu s ohledem na prostor je

{ displaystyle { frac { částečné psi (x, t)} { částečné x}} = { frac {ip} { hbar}} e ^ {{ frac {i} { hbar}} ( px-Et)} = { frac {ip} { hbar}} psi.}

To naznačuje rovnocennost operátora

{ displaystyle { hat {p}} = - i hbar { frac { částečné} { částečné x}}}

takže hybnost částice a hodnota, která se měří, když je částice ve stavu rovinné vlny, je vlastní číslo výše uvedeného operátora.

Protože parciální derivace je a lineární operátor, operátor hybnosti je také lineární, a protože jakoukoli vlnovou funkci lze vyjádřit jako a superpozice jiných stavů, když tento operátor hybnosti působí na celou superponovanou vlnu, získá vlastní hodnoty hybnosti pro každou složku rovinné vlny. Tyto nové komponenty pak překrývají, aby vytvořily nový stav, obecně ne násobek funkce staré vlny.

Tři rozměry

Odvození ve třech rozměrech je stejné, kromě operátoru přechodu del se používá místo jedné parciální derivace. Ve třech rozměrech je řešení rovinné vlny Schrödingerovy rovnice:

{ displaystyle psi = e ^ {{ frac {i} { hbar}} ( mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et)}}

a gradient je

{ displaystyle { begin {aligned} nabla psi & = mathbf {e} _ {x} { frac { parciální psi} { parciální x}} + mathbf {e} _ {y} { frac { částečné psi} { částečné y}} + mathbf {e} _ {z} { frac { částečné psi} { částečné z}} & = { frac {i} { hbar}} left (p_ {x} mathbf {e} _ {x} + p_ {y} mathbf {e} _ {y} + p_ {z} mathbf {e} _ {z} right ) psi & = { frac {i} { hbar}} mathbf {p} psi end {zarovnáno}}}

kde $E X, E y$ a $E z$ jsou jednotkové vektory tedy pro tři prostorové dimenze

{ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}

Tento hybný operátor je v pozičním prostoru, protože částečné derivace byly vzaty s ohledem na prostorové proměnné.

Definice (poziční prostor)

Pro jedinou částici s ne elektrický náboj a žádná roztočit, operátor hybnosti lze zapsat na základě pozice jako:^[2]

{ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}

kde $\nabla$ je spád operátor, $ħ$ je snížená Planckova konstanta, a $i$ je imaginární jednotka.

V jedné prostorové dimenzi se to stává:

{ displaystyle { hat {p}} = { hat {p}} _ {x} = - i hbar { částečné nad částečné x}.}

Toto je výraz pro kanonická hybnost. Pro nabitou částici $q$ v elektromagnetické pole, během a Transformace měřidla, poziční prostor vlnová funkce podstoupí a místní^{[nutná disambiguation ]} U (1) skupinová transformace^[3], a ${ displaystyle { hat {p}} psi = -i hbar { frac { částečný psi} { částečný x}}}$ změní jeho hodnotu. Kanonická hybnost tedy není měřidlo neměnné, a tedy není měřitelná fyzikální veličina.

The kinetická hybnost, měřicí invariantní fyzikální veličina, může být vyjádřena kanonickou hybností, skalární potenciál $φ$ a vektorový potenciál $A$ :^[4]

{ displaystyle mathbf { hat {P}} = -i hbar nabla -q mathbf {A}}

Výše uvedený výraz se nazývá minimální vazba. U elektricky neutrálních částic se kanonická hybnost rovná kinetické hybnosti.

Vlastnosti

Hermiticita

Provozovatel hybnosti je vždy a Hermitovský operátor (odborněji řečeno, v matematické terminologii „operátor s vlastním nastavením“), když působí na fyzický (zejména normalizovatelný ) kvantové stavy.^[5]

(V určitých umělých situacích, jako jsou kvantové stavy na polo nekonečném intervalu [0, ∞), neexistuje žádný způsob, jak učinit operátor hybnosti Hermitianem.^[6] To úzce souvisí se skutečností, že polo nekonečný interval nemůže mít translační symetrii - konkrétněji nemá unitární překladatelské operátory. Vidět níže.)

Kanonický komutační vztah

Lze snadno ukázat, že vhodným použitím hybnosti a pozice pozice:

{ displaystyle left [{ hat {x}}, { hat {p}} right] = { hat {x}} { hat {p}} - { hat {p}} { hat {x}} = i hbar.}

The Heisenberg princip nejistoty definuje limity toho, jak přesně lze okamžitě zjistit hybnost a polohu jediného pozorovatelného systému. V kvantové mechanice pozice a hybnost jsou sdružovat proměnné.

Fourierova transformace

Lze ukázat, že Fourierova transformace hybnosti v kvantová mechanika je operátor polohy. Fourierova transformace přemění bázi hybnosti na pozici polohy. Následující diskuse používá braketová notace:

Nechat ${ displaystyle psi = psi (x)}$ být vlnovým paketem ${ displaystyle langle psi | psi rangle}$ = 1, ${ displaystyle psi '}$ Fourierova transformace ${ displaystyle psi}$ :

{ displaystyle langle psi | { hat {p}} | psi rangle = h langle psi '| { hat {x}} | psi' rangle}

Takže hybnost = h x prostorová frekvence, což je podobné energii = h x časová frekvence.

{ displaystyle langle x | { hat {p}} | psi rangle = -i hbar { frac {d} {dx}} psi (x)}

Totéž platí pro polohový operátor na základě hybnosti:

{ displaystyle langle p | { hat {x}} | psi rangle = i hbar { frac {d} {dp}} psi (p)}

a další užitečné vztahy:

{ displaystyle langle p | { hat {x}} | p ' rangle = i hbar { frac {d} {dp}} delta (p-p')}

{ displaystyle langle x | { hat {p}} | x ' rangle = -i hbar { frac {d} {dx}} delta (x-x')}

kde $δ$ znamená Diracova delta funkce.

Odvození od nekonečně malých překladů

The překladatel je označen $T (ε)$ , kde $ε$ představuje délku překladu. Splňuje následující identitu:

{ displaystyle T ( varepsilon) | psi rangle = int dxT ( varepsilon) | x rangle langle x | psi rangle}

to se stává

{ displaystyle int dx | x + varepsilon rangle langle x | psi rangle = int dx | x rangle langle x- varepsilon | psi rangle = int dx | x rangle psi ( x- varepsilon)}

Za předpokladu, že funkce $ψ$ být analytický (tj. rozlišitelný v nějaké doméně složité letadlo ), lze rozšířit v a Taylor série o $X$ :

{ displaystyle psi (x- varepsilon) = psi (x) - varepsilon { frac {d psi} {dx}}}

tak pro infinitezimální hodnoty $ε$ :

{ displaystyle T ( varepsilon) = 1- varepsilon {d over dx} = 1- {i over hbar} varepsilon left (-i hbar {d over dx} right)}

Jak je známo z klasická mechanika, hybnost je generátor překlad, takže vztah mezi operátory překladu a hybnosti je:

{ displaystyle T ( varepsilon) = 1- {i over hbar} varepsilon { hat {p}}}

tím pádem

{ displaystyle { hat {p}} = - i hbar {d over dx}.}

4-momentový operátor

Vložení operátoru 3d hybnosti výše a energetický operátor do 4-hybnost (jako 1-forma s $(+ - - -)$ metrický podpis ):

{ displaystyle P _ { mu} = vlevo ({ frac {E} {c}}, - mathbf {p} vpravo)}

získává 4-momentový operátor;

{ displaystyle { hat {P}} _ { mu} = left ({ frac {1} {c}} { hat {E}}, - mathbf { hat {p}} right) = i hbar left ({ frac {1} {c}} { frac { částečný} { částečný t}}, nabla right) = i hbar částečný _ { mu}}

kde $\partial μ$ je 4-gradient a $- iħ$ se stává $+ iħ$ před operátorem 3-hybnosti. Tento operátor se vyskytuje relativisticky kvantová teorie pole, tak jako Diracova rovnice a další relativistické vlnové rovnice, protože energie a hybnost se spojují do výše uvedeného 4-hybného vektoru, hybné síly a energetické operátory odpovídají derivacím prostoru a času a musí být prvního řádu částečné derivace pro Lorentzova kovariance.

The Dirac operátor a Dirac lomítko 4-momentu je dána smlouvou s gama matice:

{ displaystyle gamma ^ { mu} { hat {P}} _ { mu} = i hbar gamma ^ { mu} částečný _ { mu} = { hat {P}} = i hbar částečné ! ! ! /}

Pokud byl podpis $(- + + +)$ , operátor by byl

{ displaystyle { hat {P}} _ { mu} = left (- { frac {1} {c}} { hat {E}}, mathbf { hat {p}} right) = -i hbar left ({ frac {1} {c}} { frac { částečný} { částečný t}}, nabla pravý) = - i hbar částečný _ { mu}}

namísto.

Viz také

Reference

^ Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
^ Demystifikovaná kvantová mechanika, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
^ Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (04.12.2008). „Gauge invariance“. Scholarpedia. 3 (12): 8287. doi:10,4249 / scholarpedia.8287. ISSN 1941-6016.
^ Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
^ Vidět Poznámky k přednášce 1 od Roberta Littlejohna pro konkrétní matematickou diskusi a důkaz pro případ jediné, nenabité, spin-zero částice. Vidět Poznámky k přednášce 4 od Roberta Littlejohna pro obecný případ.
^ Bonneau, G., Faraut, J., Valent, G. (2001). "Self-adjoint rozšíření operátorů a výuka kvantové mechaniky". American Journal of Physics. 69 (3): 322–331. arXiv:quant-ph / 0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1] Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

[2] Demystifikovaná kvantová mechanika, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9

[3] Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (04.12.2008). „Gauge invariance“. Scholarpedia. 3 (12): 8287. doi:10,4249 / scholarpedia.8287. ISSN 1941-6016.

[4] Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

[5] Vidět Poznámky k přednášce 1 od Roberta Littlejohna pro konkrétní matematickou diskusi a důkaz pro případ jediné, nenabité, spin-zero částice. Vidět Poznámky k přednášce 4 od Roberta Littlejohna pro obecný případ.

[6] Bonneau, G., Faraut, J., Valent, G. (2001). "Self-adjoint rozšíření operátorů a výuka kvantové mechaniky". American Journal of Physics. 69 (3): 322–331. arXiv:quant-ph / 0103153. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]