Pole Levi-Civita - Levi-Civita field

V matematice je Pole Levi-Civita, pojmenoval podle Tullio Levi-Civita, je nearchimeanské objednané pole; tj. soustava čísel obsahující nekonečné a infinitezimální množství. Každý člen ${displaystyle a}$ může být vytvořen jako formální řada formuláře

${displaystyle a = suma _ {qin mathbb {Q}} a_ {q} varepsilon ^ {q},}$

kde ${displaystyle a_ {q}}$ jsou skutečná čísla, ${displaystyle mathbb {Q}}$ je sada racionální čísla, a ${displaystyle varepsilon}$ má být interpretováno jako kladně nekonečně malé. The Podpěra, podpora z ${displaystyle a}$, tj. sada indexů koeficientů nonvanishing ${displaystyle {qin mathbb {Q}: a_ {q} eq 0},}$ musí být levostranná množina: pro libovolného člena ${displaystyle mathbb {Q}}$, existuje jen konečně mnoho členů množiny méně než to; toto omezení je nezbytné, aby rozmnožování a dělení bylo dobře definované a jedinečné. Řazení je definováno podle slovníku seřazeného v seznamu koeficientů, což odpovídá předpokladu, že ${displaystyle varepsilon}$ je nekonečně malá.

The reálná čísla jsou vloženy do tohoto pole jako série, ve které všechny koeficienty zmizí kromě ${displaystyle a_ {0}}$.

Příklady

• ${displaystyle 7varepsilon}$ je nekonečně malé číslo, které je větší než ${displaystyle varepsilon}$, ale méně než každé kladné reálné číslo.
• ${displaystyle varepsilon ^ {2}}$ je méně než ${displaystyle varepsilon}$, a je také menší než ${displaystyle rvarepsilon}$ pro jakýkoli pozitivní skutečný ${displaystyle r}$.
• ${displaystyle 1 + varepsilon}$ se nekonečně liší od 1.
• ${displaystyle varepsilon ^ {frac {1} {2}}}$ je větší než ${displaystyle varepsilon}$, ale stále méně než každé kladné reálné číslo.
• ${displaystyle 1 / varepsilon}$ je větší než jakékoli skutečné číslo.
• ${displaystyle 1 + varepsilon + {frac {1} {2}} varepsilon ^ {2} + cdots + {frac {1} {n!}} varepsilon ^ {n} + cdots}$ je interpretován jako ${displaystyle e ^ {varepsilon}}$.
• ${displaystyle 1 + varepsilon + 2varepsilon ^ {2} + cdots + n! varepsilon ^ {n} + cdots}$ je platným členem pole, protože řada má být formována formálně, bez ohledu na konvergence.

Definice polních operací a kladného kuželu

Li ${displaystyle f = limity součtu _ {qin mathbb {Q}} f_ {q} varepsilon ^ {q}}$ a ${displaystyle g = limity součtu _ {qin mathbb {Q}} g_ {q} varepsilon ^ {q}}$ jsou tedy dvě série Levi-Civita

• jejich součet ${displaystyle f + g}$ je bodový součet ${displaystyle f + g: = limity součtu _ {qin mathbb {Q}} (f_ {q} + g_ {q}) varepsilon ^ {q}}$.
• jejich produkt ${displaystyle fg}$ je produkt Cauchy ${displaystyle fg: = limity součtu _ {qin mathbb {Q}} limity limitu _ {a + b = q} (f_ {a} g_ {b}) varepsilon ^ {q}}$.

(Lze zkontrolovat, zda je podpora této řady levostranná a že pro každý z jejích prvků ${displaystyle q}$, sada ${displaystyle {(a, b) in mathbb {Q} imes mathbb {Q}: a + b = qwedge f_ {a} eq 0wedge g_ {b} eq 0}}$ je konečný, takže produkt je dobře definovaný.)

• vztah ${displaystyle 0$ platí pokud ${displaystyle feq 0}$ (tj. ${displaystyle f}$ má neprázdnou podporu) a nejnižší nenulový koeficient ${displaystyle f}$ je přísně pozitivní.

Vybaveno těmito operacemi a objednávkou je pole Levi-Civita skutečně objednaným rozšířením pole ${displaystyle mathbb {R}}$ kde série ${displaystyle varepsilon}$ je kladně nekonečně malý.

Vlastnosti a aplikace

Pole Levi-Civita je skutečně zavřeno, což znamená, že to může být algebraicky uzavřeno sousedící s imaginární jednotka (i), nebo ponecháním koeficientů komplex. Je dostatečně bohatý na to, aby umožnil provést značné množství analýz, ale jeho prvky lze v počítači stále reprezentovat ve stejném smyslu, že reálná čísla lze reprezentovat pomocí plovoucí bod. Je to základ automatické rozlišení, způsob provedení diferenciace v případech, které jsou neřešitelné metodami symbolické diferenciace nebo metodou konečných rozdílů.^[1]

Pole Levi-Civita je také Cauchy kompletní, což znamená, že relativizuje ${displaystyle forall existuje forall}$ definice Cauchyovy sekvence a konvergentní sekvence k sekvencím řady Levi-Civita, každá Cauchyova sekvence v poli konverguje. Ekvivalentně nemá žádné správné hustě uspořádané rozšíření pole.

Jako objednané pole má přirozené ocenění daný racionálním exponentem odpovídajícím prvnímu nenulovému koeficientu řady Levi-Civita. Oceňovací prsten je ten ze sérií ohraničených reálnými čísly, pole zbytku je ${displaystyle mathbb {R}}$a skupina hodnot je ${displaystyle (mathbb {Q}, +)}$. Výsledné oceňované pole je Henselian (být skutečně uzavřen konvexním oceňovacím prstencem), ale ne sféricky kompletní. Ve skutečnosti pole Série Hahn se skutečnými koeficienty a hodnotovou skupinou ${displaystyle (mathbb {Q}, +)}$ je správné okamžité rozšíření obsahující řady jako ${displaystyle 1 + varepsilon ^ {1/2} + varepsilon ^ {2/3} + varepsilon ^ {3/4} + varepsilon ^ {4/5} + cdots}$ které nejsou v poli Levi-Civita.

Vztahy k dalším uspořádaným polím

Pole Levi-Civita je Cauchyho dokončení pole ${displaystyle mathbb {P}}$ z Série Puiseux přes pole reálných čísel, to znamená, že se jedná o husté rozšíření ${displaystyle mathbb {P}}$ bez správného hustého prodloužení. Zde je seznam některých jeho pozoruhodných správných podpolí a jeho správných seřazených rozšíření polí:

Pozoruhodné podpole

• Pole ${displaystyle mathbb {R}}$ reálných čísel.
• Pole ${displaystyle mathbb {R} (varepsilon)}$ zlomků skutečných polynomů s nekonečně kladným neurčitým ${displaystyle varepsilon}$.
• Pole ${displaystyle mathbb {R} ((varepsilon))}$ z formální série Laurent přes ${displaystyle mathbb {R}}$.
• Pole ${displaystyle mathbb {P}}$ série Puiseux skončila ${displaystyle mathbb {R}}$.

Pozoruhodné rozšíření

• Pole ${displaystyle mathbb {R} [[varepsilon ^ {mathbb {Q}}]]}}$ řady Hahn se skutečnými koeficienty a racionálními exponenty.
• Pole ${displaystyle mathbb {T} ^ {LE}}$ z logaritmicko-exponenciální transseries.
• Pole ${displaystyle mathbf {No} (varepsilon _ {0})}$ z neskutečná čísla s datem narození pod prvním ${displaystyle varepsilon}$-číslo ${displaystyle varepsilon _ {0}}$.
• Pole hyperrealistických čísel konstruovaná jako ultrapowers of ${displaystyle mathbb {R}}$ modulo zdarma ultrafiltr na ${displaystyle mathbb {N}}$ (i když zde vložení není kanonické).

Reference

externí odkazy

• Webová kalkulačka pro čísla Levi-Civita