Brownův pohyb - Brownian motion - Wikipedia
Brownův pohybnebo pedéza (z Starořečtina: πήδησις / pɛ̌ːdɛːsis / "skákající"), je náhodný pohyb částice suspendován na médiu (a kapalný nebo a plyn ).[2]
Tento pohybový vzor se obvykle skládá z náhodný fluktuace polohy částice uvnitř tekuté subdomény, následované přemístěním do jiné subdomény. Po každém přemístění následují další výkyvy v rámci nového uzavřeného svazku. Tento vzor popisuje tekutinu v tepelná rovnováha, definovaný daným teplota. V takové tekutině neexistuje žádný preferenční směr toku (jako v dopravní jevy ). Přesněji řečeno, tekutina je celkově lineární a hranatý momenty zůstávají v průběhu času nulové. The kinetické energie molekulárních Brownových pohybů, společně s pohyby molekulárních rotací a vibrací, je součtem kalorické složky tekutiny vnitřní energie (dále jen Věta o ekvipartici ).
Tento pohyb je pojmenován po botanikovi Robert Brown, který poprvé popsal tento jev v roce 1827 při pohledu mikroskopem na pyl rostliny Clarkia pulchella ponoření do vody. V roce 1905, téměř o osmdesát let později, teoretický fyzik Albert Einstein zveřejněno papír kde modeloval pohyb částic pylu tak, jak se pohybují jednotlivé molekuly vody, čímž učinil jeden ze svých prvních velkých vědeckých příspěvků.[3] Toto vysvětlení Brownova pohybu sloužilo jako přesvědčivý důkaz, že atomy a molekuly existují, a bylo dále experimentálně ověřováno Jean Perrin v roce 1908. Perrin byl vyznamenán Nobelova cena za fyziku v roce 1926 „za práci na diskontinuální struktuře hmoty“.[4] Směr síly atomového bombardování se neustále mění a v různých časech je částice zasažena více na jedné straně než na druhou, což vede ke zdánlivě náhodné povaze pohybu.
The mnohočetné interakce které dávají Brownův vzorec, nelze vyřešit modelem, který zohledňuje každou zapojenou molekulu. V důsledku toho byly použity pouze pravděpodobnostní modely molekulární populace lze použít k jeho popisu. Dva takové modely statistická mechanika, kvůli Einsteinovi a Smoluchowskému jsou uvedeny níže. Další čistě pravděpodobnostní třídou modelů je třída stochastický proces modely. Existují sekvence jednodušších i složitějších stochastických procesů, které se sbíhají (v omezit ) na Brownův pohyb (viz náhodná procházka a Donskerova věta ).[5][6]
Dějiny
Římský filozof Lucretius „vědecká báseň“O povaze věcí „(asi 60 př. n. l.) má pozoruhodný popis pohybu prach částice ve verších 113–140 z knihy II. Používá to jako důkaz existence atomů:
Pozorujte, co se stane, když se do budovy dostanou sluneční paprsky a osvětlí její stinná místa. Uvidíte množství drobných částic, které se mísí mnoha způsoby ... jejich tanec je skutečnou indikací základních pohybů hmoty, které jsou skryty našemu zraku ... Vzniká u atomů, které se samy pohybují [tj. Spontánně ]. Potom se ta malá složená těla, která jsou nejméně odstraněna z popudu atomů, uvedou do pohybu nárazem jejich neviditelných úderů a následně děla proti mírně větším tělům. Pohyb se tedy zvyšuje z atomů a postupně se vynořuje na úroveň našich smyslů, takže ta těla jsou v pohybu, který vidíme ve slunečních paprscích, pohybovaných údery, které zůstávají neviditelné.
Ačkoli mísící pohyb prachových částic je způsoben převážně vzdušnými proudy, třpytivý a převrácený pohyb malých prachových částic je ve skutečnosti způsoben hlavně skutečnou Brownovou dynamikou; Lucretius „dokonale popisuje a vysvětluje Brownovo hnutí špatným příkladem“.[8]
Zatímco Jan Ingenhousz popsal nepravidelný pohyb uhlí prach částice na povrchu alkohol v roce 1785 je objev tohoto jevu často připisován botanikovi Robert Brown v roce 1827. Brown studoval pyl zrna rostliny Clarkia pulchella suspendován ve vodě pod mikroskopem, když pozoroval nepatrné částice vyvržené pylovými zrny a chvějící se pohyb. Opakováním experimentu s částicemi anorganické hmoty dokázal vyloučit, že pohyb byl spojen se životem, ačkoli jeho původ ještě nebyl vysvětlen.
První osoba, která popsala matematiku za Brownovým pohybem, byla Thorvald N. Thiele v příspěvku o metodě nejmenší čtverce publikováno v roce 1880. Toto bylo nezávisle následováno Louis Bachelier v roce 1900 ve své disertační práci „Teorie spekulace“, ve které představil stochastickou analýzu akciových a opčních trhů. Brownův pohybový model akciový trh je často citován, ale Benoit Mandelbrot částečně odmítl jeho použitelnost na pohyby cen akcií, protože jsou diskontinuální.[9]
Albert Einstein (v jednom ze svých 1905 papírů ) a Marian Smoluchowski (1906) upozornili na řešení problému fyzici a představili jej jako způsob nepřímého potvrzení existence atomů a molekul. Jejich rovnice popisující Brownův pohyb byly následně ověřeny experimentální prací Jean Baptiste Perrin v roce 1908.
Teorie statistické mechaniky
Einsteinova teorie
Einsteinova teorie má dvě části: první část spočívá ve formulaci difuzní rovnice pro Brownovy částice, ve které difuzní koeficient souvisí s střední čtvercový posun Brownovy částice, zatímco druhá část spočívá ve vztahu difuzního koeficientu k měřitelným fyzikálním veličinám.[10] Tímto způsobem Einstein dokázal určit velikost atomů a kolik atomů je v molu nebo molekulovou hmotnost v gramech plynu.[11] V souladu s Avogadrův zákon tento objem je stejný pro všechny ideální plyny, což je 22 414 litrů při standardní teplotě a tlaku. Počet atomů obsažených v tomto objemu se označuje jako Číslo Avogadro a určení tohoto čísla se rovná znalosti hmotnosti atomu, protože ta se získá dělením hmotnosti molu plynu číslem Avogadro konstantní.
První částí Einsteinova argumentu bylo zjistit, jak daleko putuje Brownova částice v daném časovém intervalu.[3] Klasická mechanika není schopna určit tuto vzdálenost kvůli enormnímu počtu bombardování, které Brownova částice podstoupí, zhruba řádově 1014 kolize za sekundu.[2] Einstein byl tedy veden k tomu, aby zvážil kolektivní pohyb Brownových částic.[Citace je zapotřebí ]
Zvažoval přírůstek pozic částic v čase v jednorozměrném (X) prostor (se zvolenými souřadnicemi tak, aby počátek ležel v počáteční poloze částice) jako náhodná proměnná () s nějakou funkcí hustoty pravděpodobnosti . Dále, za předpokladu zachování počtu částic, rozšířil hustotu (počet částic na jednotku objemu) v čase v seriálu Taylor,
kde druhá rovnost v prvním řádku je podle definice . Integrál v prvním členu se rovná jednomu podle definice pravděpodobnosti a druhý a další sudé členy (tj. První a další liché momenty) zmizí kvůli prostorové symetrii. To, co zbylo, vede k následujícímu vztahu:
Kde je koeficient po Laplacian, druhý okamžik pravděpodobnosti posunutí , je interpretován jako hmotnostní difuzivita D:
Pak hustota Brownových částic ρ v bodě X v čase t uspokojuje difúzní rovnice:
Za předpokladu, že N částice začínají od počátku v počáteční době t = 0, difúzní rovnice má řešení
Tento výraz (což je a normální distribuce s průměrem a rozptyl obvykle se nazývá Brownův pohyb ) umožnil Einsteinovi vypočítat momenty přímo. Je vidět, že první okamžik mizí, což znamená, že Brownova částice se stejně pravděpodobně bude pohybovat doleva i doprava. Druhý okamžik však nezmizí, je dán
Tato rovnice vyjadřuje střední čtvercový posun z hlediska uplynulého času a difuzivity. Z tohoto výrazu Einstein tvrdil, že posunutí Brownovy částice není úměrné uplynulému času, ale spíše jeho druhé odmocnině.[10] Jeho argument je založen na koncepčním přechodu ze „souboru“ Brownových částic na „jednu“ Brownovu částici: můžeme hovořit o relativním počtu částic v jediném okamžiku, stejně jako o době, kterou Brownovu částici trvá dosáhnout daného bodu.[12]
Druhá část Einsteinovy teorie spojuje difúzní konstantu s fyzicky měřitelnými veličinami, jako je střední kvadratický posun částice v daném časovém intervalu. Tento výsledek umožňuje experimentální stanovení Avogadrova počtu, a tedy i velikosti molekul. Einstein analyzoval dynamickou rovnováhu nastolenou mezi protichůdnými silami. Krása jeho argumentu je, že konečný výsledek nezávisí na tom, které síly se podílejí na nastavení dynamické rovnováhy.
Ve své původní léčbě Einstein považoval za osmotický tlak experiment, ale ke stejnému závěru lze dojít i jinými způsoby.
Vezměme si například částice suspendované ve viskózní tekutině v gravitačním poli. Gravitace má tendenci usazovat částice, zatímco difúze je homogenizuje a vede je do oblastí s menší koncentrací. Působením gravitace získá částice rychlost dolů proti = μmg, kde m je hmotnost částice, G je gravitační zrychlení a μ je částice mobilita v tekutině. George Stokes ukázal, že pohyblivost sférické částice s poloměrem r je , kde η je dynamická viskozita tekutiny. Ve stavu dynamické rovnováhy a za hypotézy izotermické tekutiny jsou částice distribuovány podle barometrická distribuce
kde ρ − ρ0 je rozdíl v hustotě částic oddělených výškovým rozdílem h, kB je Boltzmannova konstanta (poměr univerzální plynová konstanta, R, na konstantu Avogadro, NA), a T je absolutní teplota.
Dynamická rovnováha je založen, protože čím více jsou částice staženy gravitace, tím větší je tendence částic migrovat do oblastí s nižší koncentrací. Tok je dán vztahem Fickův zákon,
kde J = ρv. Představujeme vzorec pro ρ, zjistíme, že
Ve stavu dynamické rovnováhy musí být tato rychlost také rovna proti = μmg. Oba výrazy pro proti jsou úměrné mg, což odráží, že derivace je nezávislá na typu uvažovaných sil. Podobně lze odvodit ekvivalentní vzorec pro identické nabité částice zdarma q v uniformě elektrické pole o velikosti E, kde mg je nahrazen elektrostatická síla qE. Rovnicí těchto dvou výrazů se získá vzorec pro difuzivitu, nezávisle na mg nebo qE nebo jiné takové síly:
Zde první rovnost vyplývá z první části Einsteinovy teorie, třetí rovnost vyplývá z definice Boltzmannova konstanta tak jako kB = R / NAa čtvrtá rovnost vyplývá ze Stokesova vzorce pro mobilitu. Měřením průměrného čtvercového posunutí v časovém intervalu spolu s univerzální konstantou plynu R, teplota Tviskozita ηa poloměr částic r, konstanta Avogadro NA lze určit.
Typ dynamické rovnováhy navrhovaný Einsteinem nebyl nový. Dříve na to poukázal J. J. Thomson[13] ve své sérii přednášek na univerzitě v Yale v květnu 1903, že dynamická rovnováha mezi rychlostí generovanou koncentrační gradient dané Fickovým zákonem a rychlostí způsobenou změnou parciálního tlaku způsobeného pohybem iontů "nám dává metodu stanovení Avogadrovy konstanty, která je nezávislá na jakékoli hypotéze týkající se tvaru nebo velikosti molekul nebo způsobu ve kterém na sebe jednají “.[13]
Identický výraz s Einsteinovým vzorcem pro difúzní koeficient byl také nalezen Walther Nernst v roce 1888[14] ve kterém vyjádřil difúzní koeficient jako poměr osmotického tlaku k poměru třecí síla a rychlost, ke které vede. První z nich byl přirovnáván k zákon van 't Hoffa zatímco druhý byl dán Stokesův zákon. Napsal pro difúzní koeficient k ', kde je osmotický tlak a k je poměr třecí síly k molekulové viskozitě, který předpokládá, je dán Stokesovým vzorcem pro viskozitu. Představujeme zákon o ideálním plynu na jednotku objemu pro osmotický tlak se vzorec stane identickým s Einsteinovým.[15] Použití Stokesova zákona v případě Nernsta, stejně jako v případě Einsteina a Smoluchowského, není striktně použitelné, protože se nevztahuje na případ, kdy je poloměr koule malý ve srovnání s znamená volnou cestu.[16]
Zpočátku byly předpovědi Einsteinova vzorce zdánlivě vyvráceny sérií experimentů od Svedberga v letech 1906 a 1907, které poskytly posunutí částic 4 až 6krát vyšší než předpokládaná hodnota, a Henri v roce 1908, který zjistil posuny 3krát větší než Předpověděl Einsteinův vzorec.[17] Ale Einsteinovy předpovědi byly nakonec potvrzeny řadou experimentů provedených Chaudesaiguesem v roce 1908 a Perrinem v roce 1909. Potvrzení Einsteinovy teorie představovalo empirický pokrok pro kinetická teorie tepla. Einstein v podstatě ukázal, že pohyb lze předvídat přímo z kinetického modelu tepelná rovnováha. Důležitost teorie spočívala ve skutečnosti, že potvrdila popis kinetické teorie o druhý zákon termodynamiky jako v zásadě statistický zákon.[18]
Smoluchowského model
Smoluchowski Teorie Brownova pohybu[19] začíná ze stejného předpokladu jako Einstein a odvozuje stejné rozdělení pravděpodobnosti ρ(X, t) pro posun Brownovy částice podél X včas t. Proto dostane stejný výraz pro střední čtvercový posunutí: . Když to však vztahuje k částice hmoty m pohybující se rychlostí který je výsledkem třecí síly ovládané Stokesovým zákonem, najde
kde μ je koeficient viskozity a je poloměr částice. Přiřazení kinetické energie s tepelnou energií RT/N, výraz pro střední kvadratické posunutí je 64/27krát větší než Einstein. Zlomek 27/64 komentoval Arnold Sommerfeld v jeho nekrologii o Smoluchowském: „Numerický koeficient Einsteina, který se od Smoluchowského liší 27/64, lze pouze zpochybnit.“[20]
Smoluchowski[21] pokusy odpovědět na otázku, proč by měla být Brownova částice přemístěna bombardováním menších částic, když jsou pravděpodobnosti jejího úderu vpřed i vzad stejné. m zisky a n − m ztráty následují a binomická distribuce,
se stejnými a priori pravděpodobnosti 1/2, průměrný celkový zisk je
Li n je dostatečně velká, takže Stirlingova aproximace může být použita ve formě
pak bude očekávaný celkový zisk[Citace je zapotřebí ]
což ukazuje, že se zvyšuje s druhou odmocninou celkové populace.
Předpokládejme, že je to Brownova částice hmotnosti M je obklopen lehčími částicemi hmoty m kteří cestují rychlostí u. Poté, z důvodu Smoluchowského, při jakékoli srážce mezi okolními a Brownovými částicemi bude rychlost přenášená na tyto částice mu/M. Tento poměr je řádově 10−7 cm / s. Musíme však také vzít v úvahu, že v plynu bude jich více než 1016 srážky za sekundu a ještě větší v kapalině, kde očekáváme, že jich bude 1020 srážka za sekundu. Některé z těchto srážek budou mít tendenci urychlovat Brownovu částici; ostatní to budou mít tendenci zpomalovat. Pokud je průměrný přebytek jednoho druhu kolize nebo druhého kolize řádově 108 do 1010 srážky za jednu sekundu, pak může být rychlost Brownovy částice kdekoli mezi 10 a 1000 cm / s. I když tedy existují stejné pravděpodobnosti srážek vpřed i vzad, bude existovat čistá tendence udržovat Brownovu částici v pohybu, přesně jak předpovídá věta o hlasování.
Tyto řády nejsou přesné, protože nezohledňují rychlost Brownovy částice, U, což závisí na srážkách, které ji mají tendenci zrychlovat a zpomalovat. Větší U znamená, že čím větší budou srážky, které ji zpomalí, takže rychlost Brownovy částice se nikdy nemůže bez omezení zvýšit. Pokud by k takovému procesu mohlo dojít, znamenalo by to věčný pohyb druhého typu. A protože platí ekvipartice energie, kinetická energie Brownovy částice, , se bude v průměru rovnat kinetické energii okolní částice tekutiny, .
V roce 1906 publikoval Smoluchowski jednorozměrný model k popisu částice procházející Brownovým pohybem.[22] Model předpokládá kolizi s M ≫ m kde M je hmotnost zkušební částice a m hmotnost jedné z jednotlivých částic tvořících tekutinu. Předpokládá se, že srážky částic jsou omezeny na jeden rozměr a že je stejně pravděpodobné, že budou zkušební částice zasaženy zleva i zprava. Předpokládá se také, že každá srážka vždy uděluje stejnou velikost ΔPROTI. Li NR je počet srážek zprava a NL počet kolizí zleva poté N kolize se rychlost částice změní o ΔPROTI(2NR − N). The multiplicita je pak jednoduše dáno:
a celkový počet možných stavů je dán 2N. Pravděpodobnost zasažení částice zprava NR časy jsou:
Díky své jednoduchosti může Smoluchowského 1D model kvalitativně popsat pouze Brownův pohyb. Pro realistickou částici, která prochází Brownovým pohybem v tekutině, mnoho předpokladů neplatí. Například předpoklad, že v průměru dojde ke stejnému počtu kolizí zprava i zleva, se rozpadne, jakmile je částice v pohybu. Také by existovalo rozdělení různých možných ΔPROTIs místo vždy jen jednoho v realistické situaci.
Další fyzikální modely využívající parciální diferenciální rovnice
The difúzní rovnice poskytuje aproximaci časového vývoje funkce hustoty pravděpodobnosti spojené s pozicí částice procházející Brownovým pohybem podle fyzické definice. Aproximace je platná dne krátký časové osy.
Časový vývoj polohy samotné Brownovy částice je nejlépe popsat pomocí Langevinova rovnice, rovnice zahrnující náhodné silové pole představující účinek teplotní výkyvy rozpouštědla na částice.
Posun částice podstupující Brownův pohyb se získá řešením difúzní rovnice za vhodných okrajových podmínek a nalezení rms řešení. To ukazuje, že posunutí se mění s druhou odmocninou času (ne lineárně), což vysvětluje, proč předchozí experimentální výsledky týkající se rychlosti Brownových částic poskytly nesmyslné výsledky. Lineární časová závislost byla nesprávně předpokládána.
Ve velmi krátkých časových stupnicích však pohybu částice dominuje její setrvačnost a její posun bude lineárně závislý na čase: ΔX = protiΔt. Okamžitou rychlost Brownova pohybu lze tedy měřit jako proti = ΔX/ Δt, když Δt << τ, kde τ je doba relaxace hybnosti. V roce 2010 byla okamžitá rychlost Brownovy částice (skleněná mikrosféra zachycená ve vzduchu s optická pinzeta ) byl úspěšně změřen.[23] Údaje o rychlosti ověřily Maxwellovo – Boltzmannovo rozdělení rychlosti a teorém o ekvipartici pro Brownovu částici.
Astrofyzika: pohyb hvězd v galaxiích
v hvězdná dynamika, masivní tělo (hvězda, Černá díra atd.) může zažít Brownův pohyb, na který reaguje gravitační síly od okolních hvězd.[24] RMS rychlost PROTI hmotného objektu, hmoty M, souvisí s rms rychlostí hvězd v pozadí od
kde je hmotnost hvězd pozadí. Gravitační síla z masivního objektu způsobí, že se blízké hvězdy pohybují rychleji, než by se jinak pohybovaly, což zvyšuje oba a PROTI.[24] Brownova rychlost Sgr A *, supermasivní černá díra ve středu galaxie Mléčná dráha, se z tohoto vzorce předpokládá méně než 1 km s−1.[25]
Matematika
v matematika „Brownův pohyb je popsán pomocí Wienerův proces, nepřetržitý čas stochastický proces pojmenovaný na počest Norbert Wiener. Je to jeden z nejznámějších Lévyho procesy (Càdlàg stochastické procesy s stacionární nezávislé přírůstky ) a vyskytuje se často v čisté a aplikované matematice, ekonomika a fyzika.
Proces Wiener Žt se vyznačuje čtyřmi skutečnostmi:[Citace je zapotřebí ]
- Ž0 = 0
- Žt je téměř jistě kontinuální
- Žt má nezávislé přírůstky
- (pro ).
označuje normální distribuce s očekávaná hodnota μ a rozptyl σ2. Podmínka, že má nezávislé přírůstky, znamená, že pokud pak a jsou nezávislé náhodné proměnné.
Alternativní charakterizací procesu Wiener je tzv Lévyho charakterizace to říká, že Wienerův proces je téměř jistě nepřetržitý martingale s Ž0 = 0 a kvadratická variace .
Třetí charakteristikou je, že Wienerův proces má spektrální zastoupení jako sinusová řada, jejíž koeficienty jsou nezávislé náhodné proměnné. Toto vyjádření lze získat pomocí Karhunen – Loèveova věta.
Proces Wiener lze zkonstruovat jako limit škálování a náhodná procházka nebo jiné stochastické procesy v diskrétním čase se stacionárními nezávislými přírůstky. Toto je známé jako Donskerova věta. Stejně jako náhodná procházka je Wienerův proces opakující se v jedné nebo dvou dimenzích (což znamená, že se téměř jistě vrací k jakékoli pevné sousedství nekonečně často), zatímco v dimenzích tři a vyšších se neopakuje. Na rozdíl od náhodné procházky to je měřítko neměnné.
Časový vývoj polohy samotné Brownovy částice lze popsat přibližně pomocí a Langevinova rovnice, rovnice zahrnující náhodné silové pole představující účinek teplotní výkyvy rozpouštědla na Brownově částici. Na dlouhých časových stupních je matematický Brownův pohyb dobře popsán Langevinovou rovnicí. V malých časových intervalech setrvačný účinky převládají v Langevinově rovnici. Nicméně matematické Brownův pohyb je osvobozen od těchto setrvačných účinků. V Langevinově rovnici je třeba vzít v úvahu inerciální efekty, jinak se rovnice stane singulární.[je zapotřebí objasnění ] takže jednoduše vyjmutí setrvačnost výraz z této rovnice by nepřinesl přesný popis, ale spíše singulární chování, při kterém se částice vůbec nepohybuje.[je zapotřebí objasnění ]
Statistika
Brownův pohyb lze modelovat náhodnou chůzí.[26] Náhodné procházky porézními médii nebo fraktály jsou anomální.[27]
Obecně platí, že Brownův pohyb je a nemarkovský náhodný proces a popsal stochastické integrální rovnice.[28]
Lévyho charakterizace
Francouzský matematik Paul Lévy prokázala následující větu, která dává nezbytnou a dostatečnou podmínku pro spojitost Rn- hodnotený stochastický proces X ve skutečnosti být n-dimenzionální Brownův pohyb. Lévyho stav lze tedy ve skutečnosti použít jako alternativní definici Brownova pohybu.
Nechat X = (X1, ..., Xn) být kontinuální stochastický proces na a pravděpodobnostní prostor (Ω, Σ,P) přičemž hodnoty v Rn. Pak jsou ekvivalentní následující:
- X je Brownův pohyb s ohledem na P, tj. zákon z X s ohledem na P je stejný jako zákon o n-dimenzionální Brownův pohyb, tj tlačné opatření X∗(P) je klasické Wienerovo opatření na C0([0, +∞); Rn).
- oba
- X je martingale s ohledem na P (a jeho vlastní přírodní filtrace ); a
- pro všechny 1 ≤i, j ≤ n, Xi(t)Xj(t) −δijt je martingale s ohledem na P (a jeho vlastní přírodní filtrace ), kde δij označuje Kroneckerova delta.
Spektrální obsah
Spektrální obsah stochastického procesu lze najít z výkonová spektrální hustota, formálně definováno jako
,
kde znamená očekávaná hodnota. Bylo zjištěno, že výkonová spektrální hustota Brownova pohybu je[29]
.
kde je koeficient difúze z . U přirozeně se vyskytujících signálů lze spektrální obsah zjistit z výkonové spektrální hustoty jedné realizace s konečným dostupným časem, tj.
,
který pro individuální realizaci Brownovy trajektorie pohybu,[30] bylo zjištěno, že má očekávanou hodnotu
.
U dostatečně dlouhých časů realizace konverguje očekávaná hodnota výkonového spektra jedné trajektorie k formálně definované výkonové spektrální hustotě , ale jeho variační koeficient má sklony k . To znamená distribuci je široká i v nekonečném časovém limitu.
Riemannovo potrubí
Tato sekce může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili.Červen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
The nekonečně malý generátor (a tedy charakteristický operátor) Brownova pohybu dál Rn lze snadno vypočítat jako ½Δ, kde Δ označuje Operátor Laplace. v zpracování obrazu a počítačové vidění, Laplaciánský operátor se používá pro různé úkoly, jako je blob a Detekce hrany. Toto pozorování je užitečné při definování Brownova pohybu na m-dimenzionální Riemannovo potrubí (M, G): a Brownův pohyb zapnutý M je definována jako difúze na M jehož charakteristický operátor v místních souřadnicích Xi, 1 ≤ i ≤ m, je dáno ½ΔLB, kde ΔLB je Operátor Laplace – Beltrami dané v místních souřadnicích pomocí
kde [Gij] = [Gij]−1 ve smyslu inverze čtvercové matice.
Úzký únik
The úzký únikový problém je všudypřítomný problém v biologii, biofyzice a buněčné biologii, který má následující formulaci: Brownova částice (ion, molekula nebo protein ) je omezen na ohraničenou doménu (oddíl nebo buňku) odrazivou hranicí, s výjimkou malého okna, kterým může uniknout. Úzkým problémem úniku je výpočet průměrné doby úniku. Tentokrát se rozchází s tím, jak se okno zmenšuje, čímž je výpočet a singulární perturbace problém.
Viz také
- Brownův most: Brownův pohyb, který je vyžadován k „přemostění“ zadaných hodnot ve stanovených časech
- Brownova kovariance
- Brownova dynamika
- Brownův pohyb částic solu
- Brownův motor
- Brownův hluk (Martin Gardner navrhl tento název pro zvuk generovaný v náhodných intervalech. Je to hříčka na Brownův pohyb a bílý šum.)
- Brownova ráčna
- Brownův povrch
- Brownův strom
- Brownův web
- Rotační Brownův pohyb
- Clinamen
- Složitý systém
- Rovnice spojitosti
- Difúzní rovnice
- Geometrický Brownův pohyb
- Je to šíření: zobecnění Brownova pohybu
- Langevinova rovnice
- Lévy arcsine zákon
- Místní čas (matematika)
- Problém mnoha těl
- Marangoniho efekt
- Analýza sledování nanočástic
- Úzký únikový problém
- Osmóza
- Náhodná procházka
- Evoluce Schramm – Loewner
- Sledování jednotlivých částic
- Statistická mechanika
- Difúze povrchu: druh omezeného Brownova pohybu.
- Tepelná rovnováha
- Termodynamická rovnováha
- Tyndallův efekt: fenomén fyzikální chemie, kde jsou zahrnuty částice; slouží k rozlišení mezi různými typy směsí.
- Ultramikroskop
Reference
- ^ Meyburg, Jan Philipp; Diesing, Detlef (2017). „Výuka růstu, dozrávání a aglomerace nanostruktur v počítačových experimentech“. Journal of Chemical Education. 94 (9): 1225–1231. Bibcode:2017JChEd..94.1225M. doi:10.1021 / acs.jchemed.6b01008.
- ^ A b Feynman, R. (1964). „Brownovo hnutí“. Feynmanovy přednášky z fyziky, svazek I. 41–1.
- ^ A b Einstein, Albert (1905). „Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen“ [O pohybu malých částic suspendovaných ve stacionárních kapalinách vyžadovaných molekulárně-kinetickou teorií tepla] (PDF). Annalen der Physik (v němčině). 322 (8): 549–560. Bibcode:1905AnP ... 322..549E. doi:10,1002 / a 19053220806.
- ^ „Nobelova cena za fyziku 1926“. NobelPrize.org. Citováno 29. května 2019.
- ^ Knight, Frank B. (1. února 1962). „Na náhodnou procházku a Brownův pohyb“. Transakce Americké matematické společnosti. 103 (2): 218. doi:10.1090 / S0002-9947-1962-0139211-2. ISSN 0002-9947.
- ^ „Donskerův princip invariance - encyklopedie matematiky“. encyclopediaofmath.org. Citováno 28. června 2020.
- ^ Perrin, Jean (1914). Atomy. London: Constable. p. 115.
- ^ Tabor, D. (1991). Plyny, kapaliny a pevné látky: a další stavy (3. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 120. ISBN 978-0-521-40667-3.
- ^ Mandelbrot, B .; Hudson, R. (2004). (Ne) chování trhů: fraktální pohled na riziko, zkázu a odměnu. Základní knihy. ISBN 978-0-465-04355-2.
- ^ A b Einstein, Albert (1956) [1926]. Vyšetřování teorie Brownova hnutí (PDF). Dover Publications. Citováno 25. prosince 2013.
- ^ Stachel, J., ed. (1989). „Einsteinova disertační práce o stanovení molekulárních rozměrů“ (PDF). Sebrané papíry Alberta Einsteina, svazek 2. Princeton University Press.
- ^ Lavenda, Bernard H. (1985). Nerovnovážná statistická termodynamika. John Wiley & Sons. p.20. ISBN 978-0-471-90670-4.
- ^ A b Thomson, J. J. (1904). Elektřina a hmota. Yale University Press. str.80 –83.
- ^ Nernst, Walther (1888). „Zur Kinetik der in Lösung befindlichen Körper“. Zeitschrift für Physikalische Chemie (v němčině). 9: 613–637.
- ^ Leveugle, J. (2004). La Relativité, Poincaré et Einstein, Planck, Hilbert. Harmattan. p. 181.
- ^ Townsend, J.E.S. (1915). Elektřina v plynech. Clarendon Press. p.254.
- ^ Viz P. Clark 1976, s. 97
- ^ Celý tento odstavec viz P. Clark 1976
- ^ Smoluchowski, M. M. (1906). „Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d'un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion“ [O průměrné dráze molekul plynu a jejím vztahu k teorii difúze]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (ve francouzštině): 202.
- ^ Prosáknout. 535 palců Sommerfeld, A. (1917). „Zum Andenken an Marian von Smoluchowski“ [Na památku Mariana von Smoluchowski]. Physikalische Zeitschrift (v němčině). 18 (22): 533–539.
- ^ Smoluchowski, M. M. (1906). „Essai d'une théorie cinétique du mouvement Brownien et des milieux Troubles“ [Test kinetické teorie Brownova pohybu a zakalených médií]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (ve francouzštině): 577.
- ^ von Smoluchowski, M. (1906). „Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen“. Annalen der Physik (v němčině). 326 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP ... 326..756V. doi:10,1002 / a 19063261405.
- ^ Li, Tongcang; Kheifets, Simon; Medellin, David; Raizen, Mark (2010). „Měření okamžité rychlosti Brownovy částice“ (PDF). Věda. 328 (5986): 1673–1675. Bibcode:2010Sci ... 328.1673L. CiteSeerX 10.1.1.167.8245. doi:10.1126 / science.1189403. PMID 20488989. S2CID 45828908. Archivovány od originál (PDF) dne 31. března 2011.
- ^ A b Merritt, David (2013). Dynamika a vývoj galaktických jader. Princeton University Press. p. 575. ISBN 9781400846122. OL 16802359W.
- ^ Reid, M. J .; Brunthaler, A. (2004). „Správný pohyb Střelce A *. II. Mše Střelce A *“. Astrofyzikální deník. 616 (2): 872–884. arXiv:astro-ph / 0408107. Bibcode:2004ApJ ... 616..872R. doi:10.1086/424960. S2CID 16568545.
- ^ Weiss, G. H. (1994). Aspekty a aplikace náhodného pochodu. Severní Holandsko.
- ^ Ben-Avraham, D .; Havlin, S. (2000). Difúze a reakce v neuspořádaných systémech. Cambridge University Press.
- ^ Morozov, A. N .; Skripkin, A. V. (2011). "Brownův pohyb sférických částic ve viskózním médiu jako nemarkovianský náhodný proces". Fyzikální písmena A. 375 (46): 4113–4115. Bibcode:2011PhLA..375.4113M. doi:10.1016 / j.physleta.2011.10.001.
- ^ Karczub, D. G .; Norton, M. P. (2003). Základy analýzy hluku a vibrací pro inženýry M. P. Nortona. doi:10.1017 / cbo9781139163927. ISBN 9781139163927.
- ^ A b Krapf, Diego; Marinari, Enzo; Metzler, Ralf; Oshanin, Gleb; Xu, Xinran; Squarcini, Alessio (2018). „Výkonová spektrální hustota jedné Brownovy dráhy: co se z ní člověk může a nemůže naučit“. New Journal of Physics. 20 (2): 023029. arXiv:1801.02986. Bibcode:2018NJPh ... 20b3029K. doi:10.1088 / 1367-2630 / aaa67c. ISSN 1367-2630. S2CID 485685.
Další čtení
- Brown, Robert (1828). „Stručný popis mikroskopických pozorování provedených v měsících červen, červenec a srpen 1827 o částicích obsažených v pylu rostlin a o obecné existenci aktivních molekul v organických a anorganických tělesech“ (PDF). Filozofický časopis. 4 (21): 161–173. doi:10.1080/14786442808674769. Also includes a subsequent defense by Brown of his original observations, Additional remarks on active molecules.
- Chaudesaigues, M. (1908). "Le mouvement brownien et la formule d'Einstein" [Brownian motion and Einstein's formula]. Comptes Rendus (francouzsky). 147: 1044–6.
- Clark, P. (1976). "Atomism versus thermodynamics". In Howson, Colin (ed.). Method and appraisal in the physical sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0521211109.
- Cohen, Ruben D. (1986). "Self Similarity in Brownian Motion and Other Ergodic Phenomena" (PDF). Journal of Chemical Education. 63 (11): 933–934. Bibcode:1986JChEd..63..933C. doi:10.1021/ed063p933.
- Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (15 May 1965). "On Continuous Martingales". Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. 53 (3): 913–916. Bibcode:1965PNAS...53..913D. doi:10.1073/pnas.53.5.913. JSTOR 72837. PMC 301348. PMID 16591279.
- Einstein, A. (1956). Vyšetřování teorie Brownova hnutí. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60304-9. Citováno 6. ledna 2014.
- Henri, V. (1908). "Études cinématographique du mouvement brownien" [Cinematographic studies of Brownian motion]. Comptes Rendus (in French) (146): 1024–6.
- Lucretius, On The Nature of Things, přeloženo William Ellery Leonard. (on-line version, z Projekt Gutenberg. See the heading 'Atomic Motions'; this translation differs slightly from the one quoted).
- Nelson, Edward, (1967). Dynamické teorie Brownova pohybu. (PDF version of this out-of-print book, from the author's webpage.) This is primarily a mathematical work, but the first four chapters discuss the history of the topic, in the era from Brown to Einstein.
- Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D .; Samuels, S. (2010). "What Brown saw and you can too". American Journal of Physics. 78 (12): 1278–1289. arXiv:1008.0039. Bibcode:2010AmJPh..78.1278P. doi:10.1119/1.3475685. S2CID 12342287.
- Perrin, J. (1909). "Mouvement brownien et réalité moléculaire" [Brownian movement and molecular reality]. Annales de chimie et de physique. 8th series. 18: 5–114.
- See also Perrin's book "Les Atomes" (1914).
- von Smoluchowski, M. (1906). „Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen“. Annalen der Physik. 21 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP ... 326..756V. doi:10,1002 / a 19063261405.
- Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen.
- Theile, T. N.
- Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en ‘systematisk’ Karakter".
- French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.