Poissonovo jádro - Poisson kernel

v teorie potenciálu, Poissonovo jádro je integrální jádro, který se používá k řešení dvojrozměrného Laplaceova rovnice, vzhledem k tomu Dirichletovy okrajové podmínky na jednotka disku. Jádro lze chápat jako derivát z Greenova funkce pro Laplaceovu rovnici. Je pojmenován pro Siméon Poisson.

Poissonova jádra běžně nacházejí aplikace v teorie řízení a dvourozměrné problémy v elektrostatika V praxi se definice Poissonových jader často rozšiřuje na n-rozměrové problémy.

Dvojrozměrná Poissonova jádra

Na disku jednotky

V složité letadlo, Poissonovo jádro pro disk jednotky je dáno

${ displaystyle P_ {r} ( theta) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} r ^ {| n |} e ^ {in theta} = { frac {1-r ^ {2}} {1-2r cos theta + r ^ {2}}} = operatorname {Re} left ({ frac {1 + re ^ {i theta}} {1-re ^ {i theta}}} right), 0 leq r <1.}$

Lze o tom uvažovat dvěma způsoby: buď jako funkce r a θnebo jako rodina funkcí θ indexováno podle r.

Li ${ displaystyle D = {z: | z | <1 }}$ je otevřený jednotka disku v C, T je hranice disku a F funkce zapnuta T v tom spočívá L¹(T), pak funkce u dána

${ displaystyle u (re ^ {i theta}) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} P_ {r} ( theta -t) f (e ^ {it}) , mathrm {d} t, 0 leq r <1}$

je harmonický v D a má radiální limit, se kterým souhlasíte F téměř všude na hranici T disku.

Že hraniční hodnota u je F lze argumentovat použitím skutečnosti, že jako r → 1, funkce P_r(θ) pro muže přibližná jednotka v konvoluční algebra L¹(T). Jako lineární operátoři mají tendenci k Diracova delta funkce bodově dál L^p(T). Podle maximální princip, u je jediná taková harmonická funkce na D.

Konvoluce s touto přibližnou jednotkou jsou příkladem a summability kernel pro Fourierova řada funkce v L¹(T) (Katznelson 1976 ). Nechat F ∈ L¹(T) mají Fourierovu řadu {F_k}. Po Fourierova transformace, konvoluce s P_r(θ) se stane násobením sekvencí {r^{| k |}} ∈ l¹(Z).^{[je třeba další vysvětlení ]} Převzetí inverzní Fourierovy transformace výsledného produktu {r^{| k |}F_k} dává Ábel znamená A_rF z F:

${ displaystyle A_ {r} f (e ^ {2 pi ix}) = součet _ {k v mathbf {Z}} f_ {k} r ^ {| k |} e ^ {2 pi ikx }.}$

Přeskupit to absolutně konvergentní série to ukazuje F je hraniční hodnota G + h, kde G (resp. h) je holomorfní (resp. antiholomorfní ) funkce zapnuta D.

Když se také požaduje, aby harmonické prodloužení bylo holomorfní, pak jsou řešení prvky a Hardy prostor. To platí, když jsou záporné Fourierovy koeficienty F všechny zmizí. Zejména se Poissonovo jádro běžně používá k demonstraci rovnocennosti Hardyho mezer na jednotkovém disku a jednotkovém kruhu.

Prostor funkcí, které jsou limity T funkcí v H^p(z) lze volat H^p(T). Je to uzavřený podprostor o L^p(T) (alespoň pro p≥1). Od té doby L^p(T) je Banachův prostor (pro 1 ≤ p ≤ ∞), tak je H^p(T).

Na horní polorovině

The jednotka disku možná konformně mapováno do horní polorovina jistým Möbiovy transformace. Jelikož konformní mapa harmonické funkce je také harmonická, přenáší se Poissonovo jádro do horní poloroviny. V tomto případě má Poissonova integrální rovnice tvar

${ displaystyle u (x + iy) = int _ {- infty} ^ { infty} P_ {y} (x-t) f (t) dt, qquad y> 0.}$

Samotné jádro je dáno

${ displaystyle P_ {y} (x) = { frac {1} { pi}} { frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Vzhledem k funkci ${ displaystyle f in L ^ {p} ( mathbf {R})}$, L^p prostor integrovatelných funkcí na skutečné lince, u lze chápat jako harmonické rozšíření F do horní poloroviny. Analogicky k situaci na disku, když u je tedy v horní polorovině holomorfní u je prvkem Hardyho prostoru, ${ displaystyle H ^ {p},}$ a zejména

${ displaystyle | u | _ {H ^ {p}} = | f | _ {L ^ {p}}}$

Tedy opět Hardyho prostor H^p na horní polorovině je a Banachův prostor, a zejména jeho omezení na skutečnou osu je uzavřeným podprostorem ${ displaystyle L ^ {p} ( mathbf {R}).}$ Situace je analogická pouze v případě disku jednotky; the Lebesgueovo opatření pro jednotkovou kružnici je konečná, zatímco pro skutečnou linii ne.

Na míči

Pro kouli o poloměru ${ displaystyle r, B_ {r} podmnožina mathbf {R} ^ {n},}$ Poissonovo jádro má podobu

${ displaystyle P (x, zeta) = { frac {r ^ {2} - | x | ^ {2}} {r omega _ {n-1} | x- zeta | ^ {n}} }}$

kde ${ displaystyle x v B_ {r}, zeta v S}$ (povrch ${ displaystyle B_ {r}}$), a ${ displaystyle omega _ {n-1}}$ je povrch jednotky (n-1) koule.

Pak, pokud u(X) je spojitá funkce definovaná na S, odpovídající Poissonův integrál je funkce P[u](X) definován

${ displaystyle P [u] (x) = int _ {S} u ( zeta) P (x, zeta) d sigma ( zeta).}$

To lze ukázat P[u](X) je na kouli harmonický ${ displaystyle B_ {r}}$ a to P[u](X) rozšiřuje na spojitou funkci na uzavřené kouli o poloměru ra hraniční funkce se shoduje s původní funkcí u.

V horní polovině prostoru

Výraz pro Poissonovo jádro horní poloprostor lze také získat. Označte standardní kartézské souřadnice Rⁿ⁺¹ podle

${ displaystyle (t, x) = (t, x_ {1}, tečky, x_ {n}).}$

Horní poloviční prostor je množina definovaná symbolem

${ displaystyle H ^ {n + 1} = {(t; mathbf {x}) in mathbf {R} ^ {n + 1} mid t> 0 }.}$

Poissonovo jádro pro Hⁿ⁺¹ darováno

${ displaystyle P (t, x) = c_ {n} { frac {t} {(t ^ {2} + | x | ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2}}}}$

kde

${ displaystyle c_ {n} = { frac { Gamma [(n + 1) / 2]} { pi ^ {(n + 1) / 2}}}}$

Poissonovo jádro pro horní poloviční prostor se přirozeně jeví jako Fourierova transformace z Ábelovo jádro

${ displaystyle K (t, xi) = e ^ {- 2 pi t | xi |}}$

ve kterém t převezme roli pomocného parametru. Vtipu

${ displaystyle P (t, x) = { mathcal {F}} (K (t, cdot)) (x) = int _ { mathbf {R} ^ {n}} e ^ {- 2 pi t | xi |} e ^ {- 2 pi i xi cdot x} , d xi.}$

Z vlastností Fourierovy transformace je zřejmé, že konvoluce je alespoň formálně

${ displaystyle P [u] (t, x) = [P (t, cdot) * u] (x)}$

je řešení Laplaceovy rovnice v horní polorovině. Lze také ukázat, že jako t → 0, P[u](t,X) → u(X) ve vhodném smyslu.

Viz také

• Schwarzův integrální vzorec

Reference

• Katznelson, Yitzhak (1976), Úvod do harmonické analýzyDover, ISBN  0-486-63331-4
• Conway, John B. (1978), Funkce jedné komplexní proměnné I., Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3.
• Axler, S .; Bourdon, P .; Ramey, W. (1992), Teorie harmonických funkcí, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95218-7.
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. Já, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88762-5.
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Úvod do Fourierovy analýzy na euklidovských prostorech, Princeton University Press, ISBN  0-691-08078-X.
• Weisstein, Eric W. "Poissonovo jádro". MathWorld.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N., Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu, ISBN  3-540-41160-7.