Landau distribuce - Landau distribution
v teorie pravděpodobnosti , Landau distribuce [1] je rozdělení pravděpodobnosti pojmenoval podle Lev Landau .Vzhledem k "tlustému" ocasu distribuce je momenty distribuce, jako průměr nebo rozptyl, nejsou definovány. Distribuce je konkrétním případem stabilní distribuce .
Definice The funkce hustoty pravděpodobnosti , jak původně napsal Landau, je definován komplex integrální :
p ( X ) = 1 2 π i ∫ A − i ∞ A + i ∞ E s log ( s ) + X s d s , { displaystyle p (x) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {ai infty} ^ {a + i infty} e ^ {s log (y) + xs} , ds,} kde A je svévolné pozitivum reálné číslo , což znamená, že integrační cesta může být libovolná rovnoběžná s imaginární osou, protínající skutečnou kladnou poloosu, a log { displaystyle log} Odkazuje na přirozený logaritmus .
Následující skutečný integrál je ekvivalentní výše uvedenému:
p ( X ) = 1 π ∫ 0 ∞ E − t log ( t ) − X t hřích ( π t ) d t . { displaystyle p (x) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t log (t) -xt} sin ( pi t) , dt.} Celá rodina distribucí Landau se získá rozšířením původní distribuce na a rodina v měřítku polohy z stabilní distribuce s parametry α = 1 { displaystyle alpha = 1} a β = 1 { displaystyle beta = 1} ,[2] s charakteristická funkce :[3]
φ ( t ; μ , C ) = exp ( i t μ − 2 i C t π log | t | − C | t | ) { displaystyle varphi (t; mu, c) = exp vlevo (it mu - { tfrac {2ict} { pi}} log | t | -c | t | vpravo)} kde C ∈ ( 0 , ∞ ) { displaystyle c in (0, infty)} a μ ∈ ( − ∞ , ∞ ) { displaystyle mu in (- infty, infty)} , která poskytuje funkci hustoty:
p ( X ; μ , C ) = 1 π C ∫ 0 ∞ E − t cos ( t ( X − μ C ) + 2 t π log ( t C ) ) d t , { displaystyle p (x; mu, c) = { frac {1} { pi c}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} cos vlevo (t vlevo ({ frac {x- mu} {c}} vpravo) + { frac {2t} { pi}} log left ({ frac {t} {c}} right) right) , dt,} Všimněme si, že původní podoba p ( X ) { displaystyle p (x)} je získán pro μ = 0 { displaystyle mu = 0} a C = π 2 { displaystyle c = { frac { pi} {2}}} , zatímco následující je pouze přibližné[4] z p ( X ; μ , C ) { displaystyle p (x; mu, c)} pro μ = 0 { displaystyle mu = 0} a C = 1 { displaystyle c = 1} :
p ( X ) ≈ 1 2 π exp ( − X + E − X 2 ) . { displaystyle p (x) přibližně { frac {1} { sqrt {2 pi}}} exp vlevo (- { frac {x + e ^ {- x}} {2}} vpravo ).} Související distribuce Li X ∼ Landau ( μ , C ) { displaystyle X sim { textrm {Landau}} ( mu, c) ,} pak X + m ∼ Landau ( μ + m , C ) { displaystyle X + m sim { textrm {Landau}} ( mu + m, c) ,} . Distribuce Landau je a stabilní distribuce s parametrem stability α { displaystyle alpha} a parametr šikmosti β { displaystyle beta} obě rovny 1. Reference ^ Landau, L. (1944). "O ztrátě energie rychlých částic ionizací". J. Phys. (SSSR) . 8 : 201. ^ Jemný, James E. (2003). Generování náhodných čísel a metody Monte Carlo . Statistika a výpočetní technika (2. vyd.). New York, NY: Springer. str. 196. doi :10.1007 / b97336 . ISBN 978-0-387-00178-4 . ^ Zolotarev, V.M. (1986). Jednorozměrné stabilní distribuce . Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4519-5 . ^ Behrens, S.E .; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981) . Diskrétní univariate s konečnou podporou Diskrétní univariate s nekonečnou podporou Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší Smíšené spojité diskrétní univariate Vícerozměrný (společný) Směrový Degenerovat a jednotné číslo Rodiny