Exponenciálně logaritmická distribuce - Exponential-logarithmic distribution

Exponenciálně-logaritmická distribuce (EL)

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	${ displaystyle p in (0,1)}$ ${ displaystyle beta> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {- ln p}} krát { frac { beta (1-p) e ^ {- beta x}} {1- (1-p) e ^ {- beta x}}}}$
CDF	${ displaystyle 1 - { frac { ln (1- (1-p) e ^ {- beta x})} { ln p}}}$
Znamenat	${ displaystyle - { frac {{ text {polylog}} (2,1-p)} { beta ln p}}}$
Medián	${ displaystyle { frac { ln (1 + { sqrt {p}})} { beta}}}$
Režim	0
Rozptyl	${ displaystyle - { frac {2 { text {polylog}} (3,1-p)} { beta ^ {2} ln p}}}$ ${ displaystyle - { frac {{ text {polylog}} ^ {2} (2,1-p)} { beta ^ {2} ln ^ {2} p}}}$
MGF	${ displaystyle - { frac { beta (1-p)} { ln p ( beta -t)}} { text {hypergeom}} _ {2,1}}$ ${ displaystyle ([1, { frac { beta -t} { beta}}], [{ frac {2 beta -t} { beta}}], 1-p)}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Exponenciálně logaritmický (EL) distribuce je rodina na celý život distribuce s klesající Poruchovost, definované v intervalu [0, ∞). Tato distribuce je parametrizováno o dva parametry ${ displaystyle p in (0,1)}$ a ${ displaystyle beta> 0}$.

Úvod

Studie délek životů organismů, zařízení, materiálů atd. Má v EU zásadní význam biologický a inženýrství vědy. Obecně se očekává, že životnost zařízení bude vykazovat klesající poruchovost (DFR), když je jeho chování v čase charakterizováno „vytvrzováním“ (z technického hlediska) nebo „imunitou“ (z biologického hlediska).

Exponenciálně-logaritmický model spolu s jeho různými vlastnostmi studují Tahmasbi a Rezaei (2008).^[1]Tento model je získán na základě konceptu heterogenity populace (procesem míchání).

Vlastnosti distribuce

Rozdělení

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) distribuce EL je dána Tahmasbi a Rezaei (2008)^[1]

${ displaystyle f (x; p, beta): = left ({ frac {1} {- ln p}} right) { frac { beta (1-p) e ^ {- beta x}} {1- (1-p) e ^ {- beta x}}}}$

kde ${ displaystyle p in (0,1)}$ a ${ displaystyle beta> 0}$. Tato funkce striktně klesá v ${ displaystyle x}$ a má sklon k nule jako ${ displaystyle x rightarrow infty}$. Distribuce EL má své modální hodnota hustoty při x = 0, dané

${ displaystyle { frac { beta (1-p)} {- p ln p}}}$

EL se redukuje na exponenciální rozdělení s parametrem sazby ${ displaystyle beta}$, tak jako ${ displaystyle p rightarrow 1}$.

The kumulativní distribuční funkce darováno

${ displaystyle F (x; p, beta) = 1 - { frac { ln (1- (1-p) e ^ {- beta x})} { ln p}},}$

a tudíž medián darováno

${ displaystyle x _ { text {median}} = { frac { ln (1 + { sqrt {p}})} { beta}}}$.

Okamžiky

The funkce generování momentů z ${ displaystyle X}$ lze určit z PDF přímou integrací a je dán vztahem

${ displaystyle M_ {X} (t) = E (e ^ {tX}) = - { frac { beta (1-p)} { ln p ( beta -t)}} F_ {2,1 } left ( left [1, { frac { beta -t} { beta}} right], left [{ frac {2 beta -t} { beta}} right], 1 -p vpravo),}$

kde ${ displaystyle F_ {2,1}}$ je hypergeometrická funkce. Tato funkce je známá také jako Barnesova rozšířená hypergeometrická funkce. Definice ${ displaystyle F_ {N, D} ({n, d}, z)}$ je

${ displaystyle F_ {N, D} (n, d, z): = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k} prod _ {i = 1} ^ { p} Gamma (n_ {i} + k) Gamma ^ {- 1} (n_ {i})} { Gamma (k + 1) prod _ {i = 1} ^ {q} Gamma (d_ {i} + k) Gamma ^ {- 1} (d_ {i})}}}$

kde ${ displaystyle n = [n_ {1}, n_ {2}, dots, n_ {N}]}$ a ${ displaystyle {d} = [d_ {1}, d_ {2}, dots, d_ {D}]}$.

Okamžiky ${ displaystyle X}$ lze odvodit z ${ displaystyle M_ {X} (t)}$. Pro${ displaystyle r in mathbb {N}}$, surové momenty jsou dány

${ displaystyle E (X ^ {r}; p, beta) = - r! { frac { operatorname {Li} _ {r + 1} (1-p)} { beta ^ {r} ln p}},}$

kde ${ displaystyle operatorname {Li} _ {a} (z)}$ je polylogaritmus funkce, která je definována takto:^[2]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {a} (z) = suma _ {k = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k ^ {a}}}.}$

Proto znamenat a rozptyl distribuce EL jsou dány příslušně

${ displaystyle E (X) = - { frac { operatorname {Li} _ {2} (1-p)} { beta ln p}},}$

${ displaystyle operatorname {Var} (X) = - { frac {2 operatorname {Li} _ {3} (1-p)} { beta ^ {2} ln p}} - vlevo ({ frac { operatorname {Li} _ {2} (1-p)} { beta ln p}} right) ^ {2}.}$

Přežití, nebezpečí a střední zbytkové životní funkce

Funkce nebezpečí

The funkce přežití (známé také jako funkce spolehlivosti) a nebezpečná funkce (také známá jako funkce poruchovosti) distribuce EL je dána příslušně

${ displaystyle s (x) = { frac { ln (1- (1-p) e ^ {- beta x})} { ln p}},}$

${ displaystyle h (x) = { frac {- beta (1-p) e ^ {- beta x}} {(1- (1-p) e ^ {- beta x}) ln ( 1- (1-p) e ^ {- beta x})}}.}$

Střední zbytková životnost distribuce EL je dána vztahem

${ displaystyle m (x_ {0}; p, beta) = E (X-x_ {0} | X geq x_ {0}; beta, p) = - { frac { operatorname {Li} _ {2} (1- (1-p) e ^ {- beta x_ {0}})} { beta ln (1- (1-p) e ^ {- beta x_ {0}})} }}$

kde ${ displaystyle operatorname {Li} _ {2}}$ je dilogaritmus funkce

Generování náhodných čísel

Nechat U být náhodné variace ze standardu rovnoměrné rozdělení Pak následuje následující transformace U má EL distribučníparametry str aβ:

${ displaystyle X = { frac {1} { beta}} ln left ({ frac {1-p} {1-p ^ {U}}} right).}$

Odhad parametrů

Chcete-li odhadnout parametry, EM algoritmus se používá. Tuto metodu diskutují Tahmasbi a Rezaei (2008).^[1] EM iterace je dána vztahem

${ displaystyle beta ^ {(h + 1)} = n levý ( sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {x_ {i}} {1- (1-p ^ {(h )}) e ^ {- beta ^ {(h)} x_ {i}}}} vpravo) ^ {- 1},}$

${ displaystyle p ^ {(h + 1)} = { frac {-n (1-p ^ {(h + 1)})} { ln (p ^ {(h + 1)}) sum _ {i = 1} ^ {n} {1- (1-p ^ {(h)}) e ^ {- beta ^ {(h)} x_ {i}} } ^ {- 1}}} .}$

Související distribuce

Distribuce EL byla zobecněna, aby vytvořila Weibull-logaritmickou distribuci.^[3]

Li X je definován jako náhodná proměnná což je minimum N nezávislé realizace z exponenciální rozdělení s parametrem sazby β, a pokud N je realizace od a logaritmická distribuce (kde parametr str v obvyklé parametrizaci je nahrazeno (1 − str)), pak X má exponenciálně-logaritmické rozdělení v parametrizaci použité výše.

Reference