Operátor polohy - Position operator

v kvantová mechanika, operátor polohy je operátor který odpovídá poloze pozorovatelný a částice.

Když je operátor polohy uvažován s dostatečně širokou doménou (např. Prostor temperované distribuce ), jeho vlastní čísla jsou možná polohové vektory částice.^[1]

V jedné dimenzi, pokud symbolem

{displaystyle | xangle}

označíme jednotkový vlastní vektor operátoru polohy odpovídající vlastní hodnotě ${displaystyle x}$ , pak, ${displaystyle | xangle}$ představuje stav částice, ve které víme s jistotou, že najdeme samotnou částici v poloze ${displaystyle x}$ .

Označení operátoru polohy symbolem ${displaystyle X}$ - v literatuře najdeme například i další symboly pro operátora polohy ${displaystyle Q}$ (z Lagrangeovy mechaniky), ${displaystyle {hat {mathrm {x}}}}$ a tak dále - můžeme psát

{displaystyle X | xangle = x | xangle}

,

pro každou skutečnou pozici ${displaystyle x}$ .

Jedna možná realizace unitárního stavu s polohou ${displaystyle x}$ je Diracova delta (funkce) distribuce se středem na pozici ${displaystyle x}$ , často označované ${displaystyle delta _ {x}}$ .

V kvantové mechanice uspořádaná (spojitá) rodina všech Diracových distribucí, tj. Rodina

{displaystyle delta = (delta _ {x}) _ {xin mathbb {R}}}

,

se nazývá (jednotný) poziční základ (v jedné dimenzi), jen proto, že se jedná o (jednotný) vlastní základ operátoru polohy ${displaystyle X}$ .

Je zásadní pozorovat, že existuje pouze jeden lineární spojitý endomorfismus ${displaystyle X}$ v prostoru temperovaných distribucí tak, že

{displaystyle X (delta _ {x}) = xdelta _ {x}}

,

pro každý skutečný bod ${displaystyle x}$ . Je možné dokázat, že jedinečný výše uvedený endomorfismus je nutně definován

{displaystyle X (psi) = mathrm {x} psi}

,

pro každou temperovanou distribuci ${displaystyle psi}$ , kde ${displaystyle mathrm {x}}$ označuje souřadnicovou funkci polohové čáry - definovanou od skutečné čáry do komplexní roviny pomocí

{displaystyle mathrm {x}: mathbb {R} o mathbb {C}: xmapsto x.}

Úvod

V jedné dimenzi - pro částici omezenou na přímku - čtvercový modul

{displaystyle | psi | ^ {2} = psi ^ {*} psi}

,

normalizované čtvercové integrovatelné vlnové funkce

{displaystyle psi: mathbb {R} o mathbb {C}}

,

představuje hustota pravděpodobnosti nalezení částice v nějaké poloze ${displaystyle x}$ reálné linie, v určitou dobu.

Jinými slovy, pokud - v určitém okamžiku - je částice ve stavu představovaném čtvercovou integrovatelnou vlnovou funkcí ${displaystyle psi}$ a za předpokladu vlnové funkce ${displaystyle psi}$ být z ${displaystyle L ^ {2}}$ -norm rovný 1,

{displaystyle | psi | ^ {2} = int _ {- infty} ^ {+ infty} | psi | ^ {2} dmathrm {x} = 1,}

pak pravděpodobnost nalezení částice v rozsahu pozic ${displaystyle [a, b]}$ je

{displaystyle pi _ {X} (psi) ([a, b]) = int _ {a} ^ {b} | psi | ^ {2} dmathrm {x}.}

Proto očekávaná hodnota měření polohy ${displaystyle X}$ pro částici je hodnota

{displaystyle langle Xangle _ {psi} = int _ {mathbb {R}} mathrm {x} | psi | ^ {2} dmathrm {x} = int _ {mathbb {R}} psi ^ {*} mathrm {x} psi dmathrm {x},}

kde:

předpokládá se, že částice je ve stavu ${displaystyle psi}$ ;
funkce ${displaystyle mathrm {x} | psi | ^ {2}}$ má být integrovatelný, tj. třídy ${displaystyle L ^ {1}}$ ;
označujeme ${displaystyle mathrm {x}}$ souřadnicová funkce osy polohy.

Podle toho kvantově mechanické operátor odpovídá pozorovatelné poloze ${displaystyle X}$ označuje také

{displaystyle X = {hat {mathrm {x}}}}

,

a definované

{displaystyle left ({hat {mathrm {x}}} psi ight) (x) = xpsi (x),}

pro každou vlnovou funkci ${displaystyle psi}$ a za každý bod ${displaystyle x}$ skutečné linie.

The háček přes funkci ${displaystyle mathrm {x}}$ na levé straně označuje přítomnost operátora, takže lze tuto rovnici číst:

výsledek operátora polohy ${displaystyle X}$ působící na jakoukoli vlnovou funkci ${displaystyle psi}$ rovná se souřadnicové funkci ${displaystyle mathrm {x}}$ vynásobený vlnovou funkcí ${displaystyle psi}$ .

Nebo jednodušeji

operátor ${displaystyle X}$ znásobí jakoukoli vlnovou funkci ${displaystyle psi}$ souřadnicovou funkcí ${displaystyle mathrm {x}}$ .

Poznámka 1. Abychom byli přesnější, zavedli jsme souřadnicovou funkci

{displaystyle mathrm {x}: mathbb {R} o mathbb {C}: xmapsto x,}

který jednoduše vloží poziční linii do komplexní roviny, není to nic jiného než kanonické vkládání reálné linie do komplexní roviny.

Poznámka 2. Očekávaná hodnota operátoru polohy při vlnové funkci (stavu) ${displaystyle psi}$ lze reinterpretovat jako skalární součin:

{displaystyle langle Xangle _ {psi} = int _ {mathbb {R}} mathrm {x} | psi | ^ {2} = int _ {mathbb {R}} psi ^ {*} (mathrm {x} psi) = langle psi | X (psi) úhel,}

za předpokladu částice ve stavu ${displaystyle psi v L ^ {2}}$ a za předpokladu, že funkce ${displaystyle mathrm {x} psi}$ být ve třídě ${displaystyle L ^ {2}}$ - což okamžitě znamená, že funkce ${displaystyle mathrm {x} | psi | ^ {2}}$ Je integrovatelný, tj. Třídy ${displaystyle L ^ {1}}$ .

Poznámka 3. Přesně řečeno, pozorovatelná pozice ${displaystyle X}$ lze bodově definovat jako

{displaystyle left ({hat {mathrm {x}}} psi ight) (x) = xpsi (x),}

pro každou vlnovou funkci ${displaystyle psi}$ a za každý bod ${displaystyle x}$ reálné linie, na vlnových funkcích, které jsou přesně bodově definované funkce. V případě tříd rovnocennosti ${displaystyle psi v L ^ {2}}$ definice zní přímo následovně

{displaystyle {hat {mathrm {x}}} psi = mathrm {x} psi,}

pro každou vlnovou funkci ${displaystyle psi v L ^ {2}}$ .

Základní vlastnosti

Ve výše uvedené definici, jak může pozorný čtenář okamžitě poznamenat, neexistuje žádná jasná specifikace domény a ko-domény pro operátora polohy (v případě částice omezené na řádku). V literatuře, víceméně výslovně, nacházíme v zásadě tři hlavní směry tohoto zásadního problému.

Operátor polohy je definován v podprostoru ${displaystyle D_ {X}}$ z ${displaystyle L ^ {2}}$ tvořené těmito třídami ekvivalence ${displaystyle psi}$ jehož produkt vložením ${displaystyle mathrm {x}}$ žije ve vesmíru ${displaystyle L ^ {2}}$ také. V tomto případě operátor polohy
${displaystyle X: D_ {X} o L ^ {2}: psi mapsto mathrm {x} psi}$
odhaluje nespojité (neomezené s ohledem na topologii vyvolanou kanonickým skalárním součinem) ${displaystyle L ^ {2}}$ ), bez vlastních vektorů, bez vlastních čísel, následně s prázdným vlastním číslem (kolekce jeho vlastních čísel).
Operátor polohy je definován v prostoru ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1}}$ komplexních oceněných Schwartzových funkcí (hladké komplexní funkce definované na reálném řádku a rychle se snižující v nekonečnu se všemi jejich deriváty). Produkt funkce Schwartz vložením ${displaystyle mathrm {x}}$ žije vždy ve vesmíru ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1}}$ , což je podmnožina ${displaystyle L ^ {2}}$ . V tomto případě operátor polohy
${displaystyle X: {mathcal {S}} _ {1} o {mathcal {S}} _ {1}: psi mapsto mathrm {x} psi}$
odhaluje kontinuální (s ohledem na kanonickou topologii ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1}}$ ), injektivní, bez vlastních vektorů, bez vlastních čísel, následně s void eigenspectrum (sbírka jeho vlastních čísel). Je (plně) samoadjungovaný s ohledem na skalární součin ${displaystyle L ^ {2}}$ V tom smyslu, že
${displaystyle langle X (psi) | phi angle = langle psi | X (phi) úhel,}$
pro každého ${displaystyle psi}$ a ${displaystyle phi}$ patřící k její doméně ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1}}$ .
Toto je v praxi nejpoužívanější volba v literatuře kvantové mechaniky, i když nikdy není výslovně zdůrazněna. Operátor polohy je definován v prostoru ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1} ^ {prime}}$ komplexních hodnotných temperovaných distribucí (topologická duální Schwartzova funkčního prostoru ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1}}$ ). Produkt mírného rozdělení vložením ${displaystyle mathrm {x}}$ žije vždy ve vesmíru ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1} ^ {prime}}$ , který obsahuje ${displaystyle L ^ {2}}$ . V tomto případě operátor polohy
${displaystyle X: {mathcal {S}} _ {1} ^ {prime} o {mathcal {S}} _ {1} ^ {prime}: psi mapsto mathrm {x} psi}$
odhaluje kontinuální (s ohledem na kanonickou topologii ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1} ^ {prime}}$ ), surjektiv, obdařený úplnými rodinami vlastních vektorů, skutečných vlastních čísel a vlastním spektrem (sbírka vlastních čísel) rovných skutečné linii. Je samoadjungovaný s ohledem na skalární součin ${displaystyle L ^ {2}}$ v tom smyslu, že jeho operátor provedení
${displaystyle {} ^ {t} X: {mathcal {S}} _ {1} o {mathcal {S}} _ {1}: phi mapsto mathrm {x} phi,}$
který je pozičním operátorem ve Schwartzově funkčním prostoru, je self-adjoint:
${displaystyle leftlangle left., {} ^ {t} X (phi) ight | psi ightangle = leftlangle phi |, {} ^ {t} X (psi) ightangle,}$
pro každou (testovací) funkci ${displaystyle phi}$ a ${displaystyle psi}$ patřící do prostoru ${displaystyle {mathcal {S}} _ {1}}$ .

Vlastní státy

The vlastní funkce operátora polohy (na prostoru temperovaných distribucí), zastoupeného v poziční prostor, jsou Dirac delta funkce.

Neformální důkaz. Předpokládejme, že možnými vlastními vektory operátoru polohy by nutně měly být Diracovy delta distribuce ${displaystyle psi}$ je vlastní stav operátora polohy s vlastním číslem ${displaystyle x_ {0}}$ . Rovnici vlastních čísel napíšeme do souřadnic polohy,

{displaystyle {hat {mathrm {x}}} psi (x) = mathrm {x} psi (x) = x_ {0} psi (x)}

připomínající to ${displaystyle {hat {mathrm {x}}}}$ jednoduše vynásobí vlnové funkce funkcí ${displaystyle x}$ , v polohové reprezentaci. Protože funkce ${displaystyle x}$ je proměnná while ${displaystyle x_ {0}}$ je konstanta, ${displaystyle psi}$ musí být všude nula kromě bodu ${displaystyle x_ {0}}$ . Je zřejmé, že žádná spojitá funkce takové vlastnosti nesplňuje, navíc nemůžeme jednoduše definovat vlnovou funkci jako komplexní číslo v tomto bodě, protože její ${displaystyle L ^ {2}}$ -norm bude 0 a ne 1. To naznačuje potřebu "funkčního objektu" koncentrovaný na místě ${displaystyle x_ {0}}$ a s integrálem odlišným od 0: jakýkoli násobek delta Dirac se středem na ${displaystyle x_ {0}. lacksquare}$

Normalizované řešení rovnice

{displaystyle mathrm {x} psi = x_ {0} psi}

je

{displaystyle psi (x) = delta (x-x_ {0})}

,

nebo lépe

{displaystyle psi = delta _ {x_ {0}}}

.

Důkaz. Zde to důsledně dokazujeme

{displaystyle mathrm {x} delta _ {x_ {0}} = x_ {0} delta _ {x_ {0}}}

.

Připomínáme, že součin jakékoli funkce Diracovou distribucí se středem v bodě je hodnotou funkce v daném okamžiku krát samotné Diracova distribuce, získáme okamžitě

{displaystyle mathrm {x} delta _ {x_ {0}} = mathrm {x} (x_ {0}) delta _ {x_ {0}} = x_ {0} delta _ {x_ {0}}. lacksquare}

Význam delta vlny Dirac. Ačkoli jsou takové Diracovy stavy fyzicky nerealizovatelné a přísně vzato nejde o funkce, Diracova distribuce se soustředila na ${displaystyle x_ {0}}$ lze považovat za „ideální stav“, jehož poloha je známa přesně (jakékoli měření polohy vždy vrací vlastní číslo ${displaystyle x_ {0}}$ ). Proto, tím princip nejistoty, není nic známo o hybnosti takového stavu.

Tři rozměry

Zobecnění do tří dimenzí je přímé.

Časoprostorová vlnová funkce je nyní ${displaystyle psi (mathbf {r}, t)}$ a očekávaná hodnota operátora polohy ${displaystyle {hat {mathbf {r}}}}$ ve státě ${displaystyle psi}$ je

{displaystyle leftlangle {hat {mathbf {r}}} ightangle _ {psi} = int mathbf {r} | psi | ^ {2} d ^ {3} mathbf {r}}

kde integrál zabírá celý prostor. Operátor polohy je

{displaystyle mathbf {hat {r}} psi = mathbf {r} psi}

Hybný prostor

Obvykle v kvantové mechanice reprezentací v prostoru hybnosti zamýšlíme reprezentaci stavů a pozorovatelností s ohledem na základ kanonické jednotné hybnosti

{displaystyle eta = left (left [(2pi hbar) ^ {- {frac {1} {2}}} e ^ {(iota / hbar) (mathrm {x} | p)} ight] ight) _ {pin mathbb {R}}}

.

v hybnost prostor, operátor polohy v jedné dimenzi je reprezentován následujícím operátorem diferenciálu

{displaystyle left ({hat {mathrm {x}}} ight) _ {P} = ihbar {frac {d} {dmathrm {p}}} = i {frac {d} {dmathrm {k}}}}

,

kde:

reprezentace operátora polohy na základě hybnosti je přirozeně definována ${displaystyle left ({hat {mathrm {x}}} ight) _ {P} (psi) _ {P} = left ({hat {mathrm {x}}} psi ight) _ {P}}$ , pro každou vlnovou funkci (temperované rozdělení) ${displaystyle psi}$ ;
${displaystyle mathrm {p}}$ představuje souřadnicovou funkci na přímce hybnosti a vlnovou vektorovou funkci ${displaystyle mathrm {k}}$ je definováno ${displaystyle mathrm {k} = mathrm {p} / hbar}$ .

Formalismus v ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C})}$

Zvažte například případ a bezpáteřní částice pohybující se v jedné prostorové dimenzi (tj. v linii). The státní prostor protože taková částice obsahuje L² -prostor (Hilbertův prostor ) ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C})}$ z komplexní a čtvercově integrovatelný (s respektem k Lebesgueovo opatření ) funkce na skutečná linie.

Operátor polohy v ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C})}$ ,

{displaystyle Q: D_ {Q} o L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C}): psi mapsto mathrm {q} psi,}

je bodově definován:^[2]^[3]

{displaystyle Q (psi) (x) = xpsi (x) = mathrm {q} (x) psi (x),}

pro každou bodově definovanou čtvercovou integrovatelnou třídu ${displaystyle psi v D_ {Q}}$ a pro každé reálné číslo x s doménou

{displaystyle D_ {Q} = left {psi in L ^ {2} ({mathbb {R}}) mid mathrm {q} psi in L ^ {2} ({mathbb {R}}) ight},}

kde ${displaystyle mathrm {q}: mathbb {R} o mathbb {C}}$ je funkce souřadnic odesílající každý bod ${displaystyle xin mathbb {R}}$ pro sebe.

Protože všichni spojité funkce s kompaktní podpora ležet v D (Q), Q je hustě definované. Q, jednoduše se vynásobí X, je vlastní adjoint operátor, čímž splňuje požadavek kvantově mechanické pozorovatelnosti.

Ihned z definice můžeme odvodit, že spektrum se skládá z celku skutečná linie a to Q má čistě spojité spektrum, proto žádné diskrétní vlastní čísla.

Trojrozměrný případ je definován analogicky. Jednorozměrný předpoklad ponecháme v následující diskusi.

Teorie měření v ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C})}$

Jako s každou kvantovou mechanikou pozorovatelný, za účelem projednání pozice měření, musíme vypočítat spektrální rozlišení operátora polohy

{displaystyle X: D_ {X} o L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C}): psi mapsto mathrm {x} psi}

který je

{displaystyle X = int _ {mathbb {R}} lambda dmu _ {X} (lambda) = int _ {mathbb {R}} mathrm {x} mu _ {X} = mu _ {X} (mathrm {x} ),}

kde ${displaystyle mu _ {X}}$ je takzvaná spektrální míra operátora polohy.

Protože provozovatel ${displaystyle X}$ je pouze operátor násobení funkcí vkládání ${displaystyle mathrm {x}}$ , jeho spektrální rozlišení je jednoduché.

Pro Podmnožina Borel ${displaystyle B}$ skutečné linie, nechť ${displaystyle chi _ {B}}$ označit funkce indikátoru z ${displaystyle B}$ . Vidíme, že míra projekce

{displaystyle mu _ {X}: {mathcal {B}} (mathbb {R}) o mathrm {Pr} ^ {perp} left (L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C}) ight)}

darováno

{displaystyle mu _ {X} (B) (psi) = chi _ {B} psi,}

tj. ortogonální projekce ${displaystyle mu _ {X} (B)}$ je operátor násobení funkcí indikátoru ${displaystyle B}$ .

Proto pokud Systém je připraven ve stavu ${displaystyle psi}$ , pak pravděpodobnost měřené polohy částice patřící k a Sada Borel ${displaystyle B}$ je

{displaystyle | mu _ {X} (B) (psi) | ^ {2} = | chi _ {B} psi | ^ {2} = int _ {B} | psi | ^ {2} mu = pi _ { X} (psi) (B),}

kde ${displaystyle mu}$ je Lebesgueovým měřítkem na skutečné linii.

Po každém měření zaměřeném na detekci částice v podmnožině B bude vlnová funkce zhroutí se buď

{displaystyle {frac {mu _ {X} (B) psi} {| mu _ {X} (B) psi |}} = {frac {chi _ {B} psi} {| chi _ {B} psi |} }}

nebo

{displaystyle {frac {(1-chi _ {B}) psi} {| (1-chi _ {B}) psi |}}}

,

kde ${displaystyle | cdot |}$ je Hilbertova vesmírná norma ${displaystyle L ^ {2} (mathbb {R}, mathbb {C})}$ .

Viz také

Reference

^ Atkins, P.W. (1974). Quanta: Příručka konceptů. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
^ McMahon, D. (2006). Demystifikovaná kvantová mechanika (2. vyd.). Mc Graw Hill. ISBN 0 07 145546 9.
^ Peleg, Y .; Pnini, R .; Zaarur, E .; Hecht, E. (2010). Kvantová mechanika (2. vyd.). McGraw Hill. ISBN 978-0071623582.

[1] Atkins, P.W. (1974). Quanta: Příručka konceptů. Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.

[2] McMahon, D. (2006). Demystifikovaná kvantová mechanika (2. vyd.). Mc Graw Hill. ISBN 0 07 145546 9.

[3] Peleg, Y .; Pnini, R .; Zaarur, E .; Hecht, E. (2010). Kvantová mechanika (2. vyd.). McGraw Hill. ISBN 978-0071623582.

[1]

[2]

[3]