Přeplnění - Overspill - Wikipedia

v nestandardní analýza, pobočka matematika, přeplnění (dále jen přetékat Goldblatt (1998, s. 129)) je široce používanou důkazní technikou. Je založen na skutečnosti, že soubor standardů přirozená čísla N není interní podmnožina vnitřní sady *N z hyperpřirozené čísla.

Použitím indukční princip pro standardní celá čísla N a princip přenosu dostaneme princip vnitřní indukce:

Pro všechny vnitřní podmnožina A z *N, pokud

1. 1 je prvek A, a
2. pro každý prvek n z A, n + 1 také patří A,

pak

A = *N

Li N byly interní sadou, pak instanci principu vnitřní indukce Nnásledovalo by to N = *N o kterém je známo, že tomu tak není.

Princip přeplnění má řadu užitečných důsledků:

• Sada standardních hyperrealů není interní.
• Sada ohraničených hyperrealů není interní.
• Sada infinitezimální hyperreals není interní.

Zejména:

• Pokud interní sada obsahuje všechny nekonečně nezáporné hyperrealy, obsahuje kladnou hodnotu neomezený (nebo znatelné) hyperreal.
• Pokud interní sada obsahuje N obsahuje neomezený (nekonečný) prvek *N.

Příklad

Tyto skutečnosti lze použít k prokázání rovnocennosti následujících dvou podmínek pro vnitřní funkce s hyperreálem ƒ definovaná na *R.

${ displaystyle forall epsilon in mathbb {R} ^ {+}, existuje delta in mathbb {R} ^ {+}, | h | leq delta implikuje | f (x + h ) -f (x) | leq varepsilon}$

a

${ displaystyle forall h cong 0, | f (x + h) -f (x) | cong 0}$

Důkaz, že z druhé skutečnosti vyplývá, že první znamená přeplnění, protože je dán neinfinitezimální klad ε,

${ displaystyle forall { mbox {positive}} delta cong 0, (| h | leq delta implikuje | f (x + h) -f (x) | < varepsilon).}$

Aplikováním přeplnění získáme pozitivní znatelný δ s požadovanými vlastnostmi.

Tyto ekvivalentní podmínky vyjadřují vlastnost známou v nestandardní analýze jako S-kontinuita (nebo mikrokontinuita ) z ƒ at X. S-kontinuita se označuje jako externí vlastnost. První definice je externí, protože zahrnuje kvantifikaci pouze nad standardními hodnotami. Druhá definice je vnější, protože zahrnuje vnější vztah bytí nekonečně malým.

Reference

• Robert Goldblatt (1998). Přednášky o hyperrealech. Úvod do nestandardní analýzy. Springer.