Teorie geometrických měr - Geometric measure theory

v matematika, teorie geometrických měr (GMT) je studie o geometrický vlastnosti sady (obvykle v Euklidovský prostor ) přes teorie míry. Umožňuje matematikům rozšiřovat nástroje z diferenciální geometrie do mnohem větší třídy povrchy to nemusí být nutně hladký.

Dějiny

Teorie geometrických měr se zrodila z touhy vyřešit Problém náhorní plošiny (pojmenoval podle Joseph Plateau ), který se zeptá, zda pro každou hladkou uzavřenou křivku v ${displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ existuje a povrch nejméně plocha mezi všemi povrchy, jejichž hranice rovná se dané křivce. Takové povrchy napodobují mýdlové filmy.

Problém zůstal otevřený, protože jej položil v roce 1760 Lagrange. To bylo samostatně vyřešeno ve 30. letech 20. století Jesse Douglas a Tibor Radó jistě topologické omezení. V roce 1960 Herbert Federer a Wendell Fleming použil teorii proudy s nimiž dokázali vyřešit problém orientovatelné plošiny analyticky bez topologických omezení, což vyvolalo teorii geometrických měr. Později Jean Taylor po Fred Almgren dokázal Plateauovy zákony pro druh zvláštností, které se mohou vyskytnout v těchto obecnějších mýdlových filmech a shlucích mýdlových bublin.

Důležité pojmy

V teorii geometrických měr jsou ústřední tyto objekty:

• Opravitelný sady (nebo Radon měří ), což jsou sady s co nejmenší možnou pravidelností, která je nutná k připuštění přibližného tečné mezery.
• Proudy, zobecnění pojmu orientované rozdělovače, případně s hranice.
• Ploché řetězy, alternativní zobecnění pojmu rozdělovače, případně s hranice.
• Sady Caccioppoli (také známý jako soubory místně konečného obvodu), zobecnění pojmu rozdělovače na kterém Věta o divergenci platí.

Následující věty a koncepty jsou také ústřední:

• Plošný vzorec, který zobecňuje pojem změna proměnných v integraci.
• The coarea vzorec, který zobecňuje a přizpůsobuje se Fubiniho věta na teorii geometrických měr.
• The izoperimetrická nerovnost, který uvádí, že nejmenší možný obvod za dané plocha je to kolo kruh.
• Plochá konvergence, který zevšeobecňuje koncept rozmanité konvergence.

Příklady

The Brunn – Minkowského nerovnost pro n-dimenzionální objemy konvexní těla K. a L,

${displaystyle mathrm {vol} {ig (} (1-lambda) K + lambda L {ig)} ^ {1 / n} geq (1-lambda) mathrm {vol} (K) ^ {1 / n} + lambda , mathrm {vol} (L) ^ {1 / n},}$

lze prokázat na jedné stránce a rychle přináší klasiku izoperimetrická nerovnost. Rovněž vede k Brunn – Minkowského nerovnosti Andersonova věta ve statistikách. Důkaz Brunn – Minkowského nerovnosti předchází moderní teorii míry; vývoj teorie opatření a Lebesgueova integrace umožnil vytvoření spojení mezi geometrií a analýzou, a to do té míry, že v integrální formě Brunn-Minkowského nerovnosti známé jako Nerovnost Prékopa – Leindler geometrie vypadá téměř úplně nepřítomná.

Viz také

• Sada Caccioppoli
• Coarea vzorec
• Proudy
• Herbert Federer
• Osgoodova křivka

Reference

• Federer, Herbert; Fleming, Wendell H. (1960), „Normální a integrální proudy“, Annals of Mathematics, II, 72 (4): 458–520, doi:10.2307/1970227, JSTOR  1970227, PAN  0123260, Zbl  0187.31301. První příspěvek z Federer a Fleming ilustrující jejich přístup k teorii obvodů na základě teorie proudy.
• Federer, Herbert (1969), Teorie geometrických měr, série Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., str. xiv + 676, ISBN  978-3-540-60656-7, PAN  0257325
• Federer, H. (1978), „Kolokvium přednáší o teorii geometrických měr“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 84 (3): 291–338, doi:10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0
• Fomenko, Anatoly T. (1990), Variační principy v topologii (vícerozměrná teorie minimálního povrchu)Matematika a její aplikace (kniha 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-0792302308
• Gardner, Richard J. (2002), „Brunn-Minkowského nerovnost“, Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.), 39 (3): 355–405 (elektronické), doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2, ISSN  0273-0979, PAN  1898210
• Mattila, Pertti (1999), Geometrie množin a měr v euklidovských prostorech, Londýn: Cambridge University Press, str. 356, ISBN  978-0-521-65595-8
• Morgan, Frank (2009), Teorie geometrických měr: Průvodce pro začátečníky (Čtvrté vydání), San Diego, Kalifornie: Academic Press Inc., str. VII + 249, ISBN  978-0-12-374444-9, PAN  2455580
• Taylor, Jean E. (1976), „Struktura singularit v minimálních plochách podobných mýdlovým bublinám a mýdlovým filmům“, Annals of Mathematics, Druhá série, 103 (3): 489–539, doi:10.2307/1970949, JSTOR  1970949, PAN  0428181.
• O'Neil, T.C. (2001) [1994], "Geometrická míra teorie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• Stránka GMT Petera Mörtersa [1]
• Stránka GMT Toby O'Neila s odkazy [2]