Napůl normální rozdělení - Half-normal distribution - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Napůl normální rozdělení“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopad 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Napůl normální rozdělení

Funkce hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle sigma = 1}$
Funkce kumulativní distribuce ${ displaystyle sigma = 1}$
Parametry	${ displaystyle sigma> 0}$ — (měřítko )
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle f (x; sigma) = { frac { sqrt {2}} { sigma { sqrt { pi}}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) quad x> 0}$
CDF	${ displaystyle F (x; sigma) = operatorname {erf} left ({ frac {x} { sigma { sqrt {2}}}} right)}$
Kvantilní	${ displaystyle Q (F; sigma) = sigma { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (F)}$
Znamenat	${ displaystyle { frac { sigma { sqrt {2}}} { sqrt { pi}}}}$
Medián	${ displaystyle sigma { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (1/2)}$
Režim	${ displaystyle 0}$
Rozptyl	${ displaystyle sigma ^ {2} vlevo (1 - { frac {2} { pi}} vpravo)}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {{ sqrt {2}} (4- pi)} {( pi -2) ^ {3/2}}} přibližně 0,9952717}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {8 ( pi -3)} {( pi -2) ^ {2}}}}$
Entropie	${ displaystyle { frac {1} {2}} log _ {2} left (2 pi e sigma ^ {2} right) -1}$

V teorii pravděpodobnosti a statistice se poloviční normální rozdělení je zvláštní případ složené normální rozdělení.

Nechat ${ displaystyle X}$ následuj obyčejného normální distribuce, ${ displaystyle N (0, sigma ^ {2})}$, pak ${ displaystyle Y = | X |}$ následuje poloviční normální rozdělení. Poloviční normální rozdělení je tedy násobkem průměrného normálního normálního rozdělení se střední nulou.

Vlastnosti

Za použití ${ displaystyle sigma}$ parametrizace normálního rozdělení, funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) polovičního normálu je dán vztahem

${ displaystyle f_ {Y} (y; sigma) = { frac { sqrt {2}} { sigma { sqrt { pi}}}} exp left (- { frac {y ^ { 2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) quad y geq 0,}$

kde ${ displaystyle E [Y] = mu = { frac { sigma { sqrt {2}}} { sqrt { pi}}}}$.

Alternativně pomocí škálované přesnosti (inverzní k rozptylu) parametrizace (aby se předešlo problémům, pokud ${ displaystyle sigma}$ je téměř nula), získaná nastavením ${ displaystyle theta = { frac { sqrt { pi}} { sigma { sqrt {2}}}}}$, funkce hustoty pravděpodobnosti je dána

${ displaystyle f_ {Y} (y; theta) = { frac {2 theta} { pi}} exp left (- { frac {y ^ {2} theta ^ {2}} { pi}} vpravo) quad y geq 0,}$

kde ${ displaystyle E [Y] = mu = { frac {1} { theta}}}$.

The kumulativní distribuční funkce (CDF) je dán vztahem

${ displaystyle F_ {Y} (y; sigma) = int _ {0} ^ {y} { frac {1} { sigma}} { sqrt { frac {2} { pi}}} , exp left (- { frac {x ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right) , dx}$

Použití změny proměnných ${ displaystyle z = x / ({ sqrt {2}} sigma)}$, CDF lze zapsat jako

${ displaystyle F_ {Y} (y; sigma) = { frac {2} { sqrt { pi}}} , int _ {0} ^ {y / ({ sqrt {2}} sigma)} exp left (-z ^ {2} right) dz = operatorname {erf} left ({ frac {y} {{ sqrt {2}} sigma}} right),}$

kde erf je chybová funkce, standardní funkce v mnoha matematických softwarových balíčcích.

Funkce kvantilu (nebo inverzní CDF) je zapsána:

${ displaystyle Q (F; sigma) = sigma { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (F)}$

kde ${ displaystyle 0 leq F leq 1}$ a ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1}}$ je funkce inverzní chyby

Očekávání je pak dáno

${ displaystyle E [Y] = sigma { sqrt {2 / pi}},}$

Rozptyl je dán vztahem

${ displaystyle operatorname {var} (Y) = sigma ^ {2} left (1 - { frac {2} { pi}} right).}$

Protože je to úměrné rozptylu σ² z X, σ může být viděn jako parametr měřítka nové distribuce.

Diferenciální entropie polovičního normálního rozdělení je přesně o jeden bit menší než diferenciální entropie normálního rozdělení nulového průměru se stejným druhým momentem kolem 0. Tomu lze rozumět intuitivně, protože operátor velikosti snižuje informace o jeden bit (pokud je pravděpodobnost distribuce na jeho vstupu je sudá). Alternativně, protože poloviční normální rozdělení je vždy kladné, není již nutný jeden bit, který by vyžadoval záznam, zda standardní normální náhodná proměnná byla kladná (řekněme a 1) nebo záporná (řekněme a 0). Tím pádem,

${ displaystyle h (Y) = { frac {1} {2}} log _ {2} left ({ frac { pi e sigma ^ {2}} {2}} right) = { frac {1} {2}} log _ {2} left (2 pi e sigma ^ {2} right) -1.}$

Aplikace

Napůl normální distribuce se běžně používá jako a předchozí rozdělení pravděpodobnosti pro rozptyl parametry v Bayesovský závěr aplikace.^[1][2]

Odhad parametrů

Daná čísla ${ displaystyle {x_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$ čerpáno z polovičního normálního rozdělení, neznámého parametru ${ displaystyle sigma}$ tohoto rozdělení lze odhadnout metodou maximální pravděpodobnost dávat

${ displaystyle { hat { sigma}} = { sqrt {{ frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}}$

Předpětí se rovná

${ displaystyle b equiv operatorname {E} { bigg [} ; ({ hat { sigma}} _ { mathrm {mle}} - sigma) ; { bigg]} = - { frac { sigma} {4n}}}$

který dává zkreslený odhad maximální pravděpodobnosti

${ displaystyle { hat { sigma ,}} _ { text {mle}} ^ {*} = { hat { sigma ,}} _ { text {mle}} - { hat {b ,}}.}$

Související distribuce

• Distribuce je zvláštním případem složené normální rozdělení s μ = 0.
• Rovněž se shoduje s nulovým průměrem normálního rozdělení zkráceného zespodu na nulu (viz zkrácené normální rozdělení )
• Li Y má poloviční normální rozdělení, pak (Y/σ)² má distribuce chi square s 1 stupněm volnosti, tj. Y/σ má distribuce chi s 1 stupněm volnosti.
• Napůl normální distribuce je speciální případ zobecněná distribuce gama s d = 1, p = 2, A = ${ displaystyle { sqrt {2}} sigma}$.
• Li Y má napůl normální rozdělení, Y ^-2 má Distribuce poplatků
• The Rayleighova distribuce je vícerozměrné zobecnění napůl normálního rozdělení.

Viz také

• polovina-t rozdělení
• zkrácené normální rozdělení
• složené normální rozdělení
• usměrněné Gaussovo rozdělení

Reference

Další čtení

• Leone, F. C .; Nelson, L. S .; Nottingham, R. B. (1961), „The folded normal distribution“, Technometrics, 3 (4): 543–550, doi:10.2307/1266560, hdl:2027 / mdp. 39015095248541, JSTOR  1266560

externí odkazy

• Napůl normální distribuce v MathWorld

(Všimněte si, že MathWorld používá tento parametr ${ displaystyle theta = { frac {1} { sigma}} { sqrt { pi / 2}}}$