Náhodná matice - Random matrix

v teorie pravděpodobnosti a matematická fyzika, a náhodná matice je matice -hodnota náhodná proměnná —To znamená matice, ve které jsou některé nebo všechny prvky náhodné proměnné. Mnoho důležitých vlastností fyzické systémy lze matematicky vyjádřit jako maticové problémy. Například tepelná vodivost a mříž lze vypočítat z dynamické matice interakcí částice-částice v mřížce.

Aplikace

Fyzika

v nukleární fyzika, náhodné matice byly zavedeny Eugene Wigner modelovat jádra těžkých atomů.^[1] Postuloval, že mezery mezi řádky ve spektru jádra těžkého atomu by se měly podobat mezerám mezi vlastní čísla náhodné matice a měl by záviset pouze na třídě symetrie základní evoluce.^[2] v fyzika pevných látek, náhodné matice modelují chování velkých neuspořádaných Hamiltonians v střední pole přiblížení.

v kvantový chaos, domněnka Bohigas – Giannoni – Schmit (BGS) tvrdí, že spektrální statistiky kvantových systémů, jejichž klasické protějšky vykazují chaotické chování, jsou popsány teorií náhodných matic.^[3]

v kvantová optika, transformace popsané náhodnými unitárními maticemi mají zásadní význam pro demonstraci výhody kvanta nad klasickým výpočtem (viz např. vzorkování bosonu Modelka).^[4] Kromě toho lze takové náhodné unitární transformace přímo implementovat v optickém obvodu mapováním jejich parametrů na komponenty optického obvodu (tj. rozdělovače paprsků a fázové posuny).^[5]

Teorie náhodných matic také našla uplatnění u chirálního Diracova operátora v kvantová chromodynamika,^[6] kvantová gravitace ve dvou rozměrech,^[7] mezoskopická fyzika,^[8]točivý moment,^[9] the frakční kvantový Hallův jev,^[10] Andersonova lokalizace,^[11] kvantové tečky,^[12] a supravodiče^[13]

Matematická statistika a numerická analýza

v statistika s více proměnnými, náhodné matice byly zavedeny John Wishart pro statistickou analýzu velkých vzorků;^[14] vidět odhad kovariančních matic.

Byly prokázány významné výsledky, které rozšiřují klasický skalární Černoši, Bernstein, a Hoeffding nerovnosti na největší vlastní čísla konečných součtů náhodných Hermitovské matice.^[15] Výsledky jsou odvozeny pro maximální singulární hodnoty obdélníkových matic.

v numerická analýza, náhodné matice byly použity od práce John von Neumann a Herman Goldstine^[16] popsat chyby výpočtu při operacích jako např násobení matic. Viz také^[17][18] pro novější výsledky.

Teorie čísel

v teorie čísel, distribuce nul Funkce Riemann zeta (a další L-funkce ) je modelován distribucí vlastních čísel určitých náhodných matic.^[19] Spojení poprvé objevil Hugh Montgomery a Freeman J. Dyson. Je připojen k Hilbert-Pólya domněnka.

Teoretická neurověda

V oblasti teoretické neurovědy se k modelování sítě synaptických spojení mezi neurony v mozku stále častěji používají náhodné matice. Ukázalo se, že dynamické modely neuronových sítí s maticí náhodného propojení vykazují fázový přechod do chaosu^[20] když rozptyl synaptických vah překročí kritickou hodnotu, na hranici nekonečné velikosti systému. Vztah statistických vlastností spektra biologicky inspirovaných modelů náhodných matic k dynamickému chování náhodně spojených neuronových sítí je intenzivním výzkumným tématem.^{[21][22][23][24][25]}

Optimální ovládání

v optimální ovládání teorie, vývoj n stavové proměnné v čase závisí kdykoli na jejich vlastních hodnotách a na hodnotách k kontrolní proměnné. Při lineární evoluci se matice koeficientů objevují ve stavové rovnici (evoluční rovnice). V některých problémech nejsou hodnoty parametrů v těchto maticích s jistotou známy, v takovém případě jsou ve stavové rovnici náhodné matice a problém je známý jako jeden z stochastická kontrola.^{[26]:ch. 13[27][28]} Klíčový výsledek v případě lineárně kvadratické řízení se stochastickými maticemi je to, že princip rovnocennosti jistoty neplatí: v době nepřítomnosti nejistota multiplikátoru (tj. pouze s aditivní nejistotou) optimální politika s funkcí kvadratické ztráty se shoduje s tím, co by bylo rozhodnuto, pokud by byla nejistota ignorována, toto již neplatí v přítomnosti náhodných koeficientů ve stavové rovnici.

Gaussovské soubory

Distribuce v komplexní rovině velkého počtu 2x2 náhodných matic ze 4 různých gaussovských souborů.

Nejvíce studované soubory s náhodnou maticí jsou soubory Gaussian.

The Gaussův jednotný soubor GUE (n) je popsán v Gaussova míra s hustotou

${ displaystyle { frac {1} {Z _ {{ text {GUE}} (n)}}} e ^ {- { frac {n} {2}} mathrm {tr} H ^ {2}} }$

v prostoru ${ displaystyle n krát n}$ Hermitovské matice ${ displaystyle H = (H_ {ij}) _ {i, j = 1} ^ {n}}$. Tady${ displaystyle Z _ {{ text {GUE}} (n)} = 2 ^ {n / 2} pi ^ {{ frac {1} {2}} n ^ {2}}}$ je normalizační konstanta zvolená tak, aby se integrál hustoty rovnal jedné. Termín unitární odkazuje na skutečnost, že distribuce je neměnná pod jednotnou konjugací. Gaussovské modely jednotných souborů Hamiltonians chybí symetrie obrácení času.

The Gaussův ortogonální soubor GOE (n) je popsán Gaussovou mírou s hustotou

${ displaystyle { frac {1} {Z _ {{ text {GOE}} (n)}}} e ^ {- { frac {n} {4}} mathrm {tr} H ^ {2}} }$

v prostoru n × n skutečné symetrické matice H = (H_ij)ⁿ
_i,j=1. Jeho distribuce je neměnná pod ortogonální konjugací a modeluje Hamiltonians s časově obrácenou symetrií.

The Gaussův symlektický soubor GSE (n) je popsán Gaussovou mírou s hustotou

${ displaystyle { frac {1} {Z _ {{ text {GSE}} (n)}}} e ^ {- n mathrm {tr} H ^ {2}} ,}$

v prostoru n × n Hermitian kvaternionové matice, např. symetrické čtvercové matice složené z čtveřice, H = (H_ij)ⁿ
_i,j=1. Jeho distribuce je neměnná při konjugaci pomocí symplektická skupina, a modeluje Hamiltonians s časově obrácenou symetrií, ale bez rotační symetrie.

Gaussovské soubory GOE, GUE a GSE jsou často označovány svými Dysone index, β = 1 pro GOE, β = 2 pro GUE a β = 4 pro GSE. Tento index počítá počet skutečných komponent na maticový prvek. Zde definované soubory mají prvky Gaussovy distribuované matice se střední hodnotou ⟨H_ij⟩ = 0 a dvoubodové korelace dané

${ displaystyle langle H_ {ij} H_ {mn} ^ {*} rangle = langle H_ {ij} H_ {nm} rangle = { frac {1} {n}} delta _ {im} delta _ {jn} + { frac {2- beta} {n beta}} delta _ {in} delta _ {jm}}$,

z čehož plynou všechny vyšší korelace Isserlisova věta.

Kloub hustota pravděpodobnosti pro vlastní čísla λ₁,λ₂,...,λ_n GUE / GOE / GSE je dáno

${ displaystyle { frac {1} {Z _ { beta, n}}} prod _ {k = 1} ^ {n} e ^ {- { frac { beta n} {4}} lambda _ {k} ^ {2}} prod _ {i$

kde Z_β,n je normalizační konstanta, kterou lze explicitně vypočítat, viz Selbergův integrál. V případě GUE (β = 2), vzorec (1) popisuje a proces determinantního bodu. Vlastní čísla odpuzují, protože hustota pravděpodobnosti kloubu má nulu (o ${ displaystyle beta}$th order) pro shodné vlastní hodnoty ${ displaystyle lambda _ {j} = lambda _ {i}}$.

Distribuci největšího vlastního čísla pro matice GOE, GUE a Wishart konečných rozměrů viz.^[29]

Rozdělení výškových rozestupů

Z seřazené posloupnosti vlastních čísel ${ displaystyle lambda _ {1} < ldots < lambda _ {n} < lambda _ {n + 1} < ldots}$, jeden definuje normalizovaný mezery ${ displaystyle s = ( lambda _ {n + 1} - lambda _ {n}) / langle s rangle}$, kde ${ displaystyle langle s rangle = langle lambda _ {n + 1} - lambda _ {n} rangle}$ je střední rozteč. Distribuce pravděpodobnosti vzdáleností je přibližně dána vztahem,

${ displaystyle p_ {1} (s) = { frac { pi} {2}} s , mathrm {e} ^ {- { frac { pi} {4}} s ^ {2}} }$

pro ortogonální soubor GOE ${ displaystyle beta = 1}$,

${ displaystyle p_ {2} (s) = { frac {32} { pi ^ {2}}} s ^ {2} mathrm {e} ^ {- { frac {4} { pi}} s ^ {2}}}$

pro unitární soubor GUE ${ displaystyle beta = 2}$, a

${ displaystyle p_ {4} (s) = { frac {2 ^ {18}} {3 ^ {6} pi ^ {3}}} s ^ {4} mathrm {e} ^ {- { frac {64} {9 pi}} s ^ {2}}}$

pro symlektický soubor GSE ${ displaystyle beta = 4}$.

Numerické konstanty jsou takové, že ${ displaystyle p _ { beta}$ je normalizováno:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} ds , p _ { beta} (s) = 1}$

a střední rozteč je,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} ds , s , p _ { beta} (s) = 1,}$

pro ${ displaystyle beta = 1,2,4}$.

Zobecnění

Wigner matice jsou náhodné hermitovské matice ${ displaystyle textstyle H_ {n} = (H_ {n} (i, j)) _ {i, j = 1} ^ {n}}$ takové, že záznamy

${ displaystyle left {H_ {n} (i, j) ~, , 1 leq i leq j leq n doprava }}$

nad hlavní úhlopříčkou jsou nezávislé náhodné proměnné s nulovým průměrem a mají stejné druhé momenty.

Invariantní maticové soubory jsou náhodné hermitovské matice s hustotou v prostoru skutečných symetrických / hermitovských / kvaternionických hermitovských matic, které mají tvar${ displaystyle textstyle { frac {1} {Z_ {n}}} e ^ {- n mathrm {tr} V (H)} ~,}$kde funkce PROTI se nazývá potenciál.

Gaussovské soubory jsou jedinými běžnými zvláštními případy těchto dvou tříd náhodných matic.

Spektrální teorie náhodných matic

Spektrální teorie náhodných matic studuje distribuci vlastních čísel, protože velikost matice jde do nekonečna.

Globální režim

V globální režim, jednoho zajímá distribuce lineárních statistik formuláře N_{f, H} = n⁻¹ tr f (H).

Empirická spektrální míra

The empirická spektrální míra μ_H z H je definováno

${ displaystyle mu _ {H} (A) = { frac {1} {n}} , # doleva {{ text {vlastní hodnoty}} H { text {in}} A doprava } = N_ {1_ {A}, H}, quad A podmnožina mathbb {R}.}$

Obvykle je limit ${ displaystyle mu _ {H}}$ je deterministické měřítko; toto je konkrétní případ self-průměrování. The kumulativní distribuční funkce omezujícího opatření se nazývá integrovaná hustota stavů a je označen N(λ). Pokud je integrovaná hustota stavů diferencovatelná, její derivace se nazývá hustota stavů a je označenρ(λ).

Mez empirické spektrální míry pro Wignerovy matice byla popsána pomocí Eugene Wigner; vidět Distribuce půlkruhu Wigner a Wigner domněnka. Pokud jde o matice kovariančních vzorků, byla vyvinuta teorie Marčenkem a Pasturem.^[30][31]

Mez empirické spektrální míry invariantních maticových souborů je popsána určitou integrální rovnicí, která vyplývá z teorie potenciálu.^[32]

Výkyvy

Pro lineární statistiku N_F,H = n⁻¹ ∑ F(λ_j), člověka zajímají také výkyvy kolem ∫F(λ) dN(λ). Pro mnoho tříd náhodných matic je centrální limitní věta formuláře

${ displaystyle { frac {N_ {f, H} - int f ( lambda) , dN ( lambda)} { sigma _ {f, n}}} { přesahující {D} { longrightarrow} } N (0,1)}$

je známo, viz,^[33][34] atd.

Místní režim

V místní režim, jeden se zajímá o mezery mezi vlastními hodnotami a obecněji o společné rozdělení vlastních čísel v intervalu délky řádu 1 /n. Jeden rozlišuje mezi hromadné statistikytýkající se intervalů uvnitř podpory omezujícího spektrálního opatření a hraniční statistiky, vztahující se k intervalům blízko hranice podpory.

Hromadné statistiky

Formálně opravit ${ displaystyle lambda _ {0}}$ v interiér z Podpěra, podpora z ${ displaystyle N ( lambda)}$. Pak zvažte bodový proces

${ displaystyle Xi ( lambda _ {0}) = součet _ {j} delta { velký (} { cdot} -n rho ( lambda _ {0}) ( lambda _ {j} - lambda _ {0}) { Big)} ~,}$

kde ${ displaystyle lambda _ {j}}$ jsou vlastní čísla náhodné matice.

Bodový proces ${ displaystyle Xi ( lambda _ {0})}$ zachycuje statistické vlastnosti vlastních čísel v okolí ${ displaystyle lambda _ {0}}$. Pro Gaussovské soubory limit ${ displaystyle Xi ( lambda _ {0})}$ je známo;^[2] tedy pro GUE je to proces determinantního bodu s jádrem

${ displaystyle K (x, y) = { frac { sin pi (x-y)} { pi (x-y)}}}$

(dále jen sinusové jádro).

The univerzálnost zásada předpokládá, že limit ${ displaystyle Xi ( lambda _ {0})}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$ by měl záviset pouze na třídě symetrie náhodné matice (a ani na konkrétním modelu náhodných matic, ani na ${ displaystyle lambda _ {0}}$). To bylo důsledně prokázáno pro několik modelů náhodných matic: pro invariantní maticové soubory,^[35][36]pro matice Wigner,^[37][38]atd.

Statistiky hran

Vidět Distribuce Tracy – Widom.

Korelační funkce

Společná hustota pravděpodobnosti vlastních čísel ${ displaystyle n krát n}$ náhodné hermitovské matice ${ displaystyle M in mathbf {H} ^ {n krát n}}$, s funkcemi oddílu ve formuláři

${ displaystyle Z_ {n} = int _ {M in mathbf {H} ^ {n times n}} d mu _ {0} (M) e ^ {{ text {tr}} (V (M))}}$

kde

${ displaystyle V (x): = součet _ {j = 1} ^ { infty} v_ {j} x ^ {j}}$

a ${ displaystyle d mu _ {0} (M)}$ je standardní míra Lebesgue v prostoru ${ displaystyle mathbf {H} ^ {n krát n}}$ Hermitiana ${ displaystyle n krát n}$ matricrs, je dáno

${ displaystyle p_ {n, V} (x_ {1}, dots, x_ {n}) = { frac {1} {Z_ {n, V}}} prod _ {i$

The ${ displaystyle k}$-bodové korelační funkce (nebo mezní rozdělení) jsou definovány jako

${ displaystyle R_ {n, V} ^ {(k)} (x_ {1}, tečky, x_ {k}) = { frac {n!} {(nk)!}} int _ { mathbf {R}} dx_ {k + 1} dots int _ { mathbb {R}} dx_ {n} , p_ {n, V} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ { n}),}$

což jsou šikmé symetrické funkce jejich proměnných. Zejména jednobodová korelační funkce, nebo hustota stavů, je

${ displaystyle R_ {n, V} ^ {(1)} (x_ {1}) = n int _ { mathbb {R}} dx_ {2} dots int _ { mathbf {R}} dx_ {n} , p_ {n, V} (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}).}$

Je to integrální součást sady Borel ${ displaystyle B podmnožina mathbf {R}}$ udává očekávaný počet vlastních čísel obsažených v ${ displaystyle B}$:

${ displaystyle int _ {B} R_ {n, V} ^ {(1)} (x) dx = mathbf {E} left ( # {{ text {vlastních čísel v}} B } že jo).}$

Následující výsledek vyjadřuje tyto korelační funkce jako determinanty matic vytvořených z vyhodnocení příslušného integrálního jádra v párech ${ displaystyle (x_ {i}, x_ {j})}$ bodů objevujících se v korelátoru.

Teorém [Dyson-Mehta] Pro všechny ${ displaystyle k}$, ${ displaystyle 1 leq k leq n}$ the ${ displaystyle k}$-bodová korelační funkce ${ displaystyle R_ {n, V} ^ {(k)}}$ lze zapsat jako determinant

${ displaystyle R_ {n, V} ^ {(k)} (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {k}) = det _ {1 leq i, j leq k} vlevo (K_ {n, V} (x_ {i}, x_ {j}) vpravo),}$

kde ${ displaystyle K_ {n, V} (x, y)}$ je ${ displaystyle n}$th Christoffel-Darboux jádro

${ displaystyle K_ {n, V} (x, y): = součet _ {k = 0} ^ {n-1} psi _ {n} (x) psi _ {n} (y),}$

spojené s ${ displaystyle V}$, napsané z hlediska kvazipolynomů

${ displaystyle psi _ {k} (x) = {1 nad { sqrt {h_ {k}}}} , p_ {k} (z) , { rm {e}} ^ {- { 1 nad 2} V (z)},}$

kde ${ displaystyle {p_ {k} (x) } _ {k v mathbf {N}}}$ je úplná posloupnost monických polynomů uvedených stupňů, splňující podmínky ortogonality

${ displaystyle int _ { mathbf {R}} psi _ {j} (x) psi _ {k} (x) dx = delta _ {jk}.}$

Jiné třídy náhodných matic

Wishartovy matice

Wishartovy matice jsou n × n náhodné matice formuláře H = X X^*, kde X je n × m náhodná matice (m ≥ n) s nezávislými položkami a X^* je jeho konjugovat transponovat. V důležitém zvláštním případě zvažovaném Wishartem byly položky X jsou identicky distribuované Gaussovské náhodné proměnné (skutečné nebo komplexní).

Byl nalezen limit empirické spektrální míry Wishartových matic^[30] podle Vladimir Marchenko a Leonid Pastur viz Distribuce Marchenko – Pastur.

Náhodné unitární matice

Vidět kruhové soubory.

Nehermitovské náhodné matice

Vidět cirkulární zákon.

Průvodce referencemi

• Knihy o teorii náhodných matic:^[2][39][40]
• Články průzkumu o teorii náhodných matic:^{[17][31][41][42]}
• Historická díla:^[1][14][16]

Reference

externí odkazy

• Fyodorov, Y. (2011). "Teorie náhodných matic". Scholarpedia. 6 (3): 9886. Bibcode:2011SchpJ ... 6.9886F. doi:10,4249 / scholarpedia.9886.
• Weisstein, E. W. „Random Matrix“. Wolfram MathWorld.