Normální-inverzní-gama rozdělení - Normal-inverse-gamma distribution

normální-inverzní-gama

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Parametry	${displaystyle mu,}$ umístění (nemovitý ) ${displaystyle lambda> 0,}$ (nemovitý) ${displaystyle alpha> 0,}$ (nemovitý) ${displaystyle eta> 0,}$ (nemovitý)
Podpěra, podpora	${displaystyle xin (-infty, infty),!,; sigma ^ {2} in (0, infty)}$
PDF	${displaystyle {frac {sqrt {lambda}} {sqrt {2pi sigma ^ {2}}}} {frac {eta ^ {alpha}} {Gamma (alpha)}} vlevo ({frac {1} {sigma ^ {2 }}} ight) ^ {alpha +1} exp vlevo (- {frac {2 eta + lambda (x-mu) ^ {2}} {2sigma ^ {2}}} ight)}$
Znamenat	${displaystyle operatorname {E} [x] = mu}$ ${displaystyle operatorname {E} [sigma ^ {2}] = {frac {eta} {alpha -1}}}$, pro ${displaystyle alpha> 1}$
Režim	${displaystyle x = mu; {extrm {(univariate)}}, x = {oldsymbol {mu}}; {extrm {(multivariate)}}}$ ${displaystyle sigma ^ {2} = {frac {eta} {alpha + 1 + 1/2}}; {extrm {(univariate)}}, sigma ^ {2} = {frac {eta} {alpha + 1 + k / 2}}; {extrm {(vícerozměrný)}}}$
Rozptyl	${displaystyle operatorname {Var} [x] = {frac {eta} {(alpha -1) lambda}}}$, pro ${displaystyle alpha> 1}$ ${displaystyle operatorname {Var} [sigma ^ {2}] = {frac {eta ^ {2}} {(alfa -1) ^ {2} (alfa -2)}}}$, pro ${displaystyle alpha> 2}$ ${displaystyle operatorname {Cov} [x, sigma ^ {2}] = 0}$, pro ${displaystyle alpha> 1}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, normální-inverzní-gama distribuce (nebo Gaussovo-inverzní-gama rozdělení) je čtyřparametrová rodina vícerozměrných spojitých rozdělení pravděpodobnosti. To je před konjugátem a normální distribuce s neznámým znamenat a rozptyl.

Definice

Předpokládat

${displaystyle xmid sigma ^ {2}, mu, lambda sim mathrm {N} (mu, sigma ^ {2} / lambda) ,!}$

má normální distribuce s znamenat ${displaystyle mu}$ a rozptyl ${displaystyle sigma ^ {2} / lambda}$, kde

${displaystyle sigma ^ {2} střední alfa, eta sim gamma ^ {- 1} (alfa, eta)!}$

má inverzní rozdělení gama. Pak ${displaystyle (x, sigma ^ {2})}$ má normální inverzní gama rozdělení, označené jako

${displaystyle (x, sigma ^ {2}) sim {ext {N -}} Gama ^ {- 1} (mu, lambda, alfa, eta) !.}$

(${displaystyle {ext {NIG}}}$ se také používá místo ${displaystyle {ext {N -}} Gama ^ {- 1}.}$)

The normální-inverzní-Wishartovo rozdělení je zobecnění normálně-inverzní-gama distribuce, které je definováno přes vícerozměrné náhodné proměnné.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

${displaystyle f (x, sigma ^ {2} mid mu, lambda, alpha, eta) = {frac {sqrt {lambda}} {sigma {sqrt {2pi}}}}}, {frac {eta ^ {alpha}} { Gamma (alfa)}}, vlevo ({frac {1} {sigma ^ {2}}} vpravo) ^ {alpha +1} exp vlevo (- {frac {2 eta + lambda (x-mu) ^ {2} } {2sigma ^ {2}}} hned)}$

Pro vícerozměrný formulář kde ${displaystyle mathbf {x}}$ je ${displaystyle k imes 1}$ náhodný vektor,

${displaystyle f (mathbf {x}, sigma ^ {2} mid mu, mathbf {V} ^ {- 1}, alpha, eta) = | mathbf {V} | ^ {- 1/2} {(2pi) ^ {-k / 2}}, {frac {eta ^ {alpha}} {Gamma (alpha)}}, vlevo ({frac {1} {sigma ^ {2}}} vpravo) ^ {alpha + 1 + k / 2} exp left (- {frac {2 eta + (mathbf {x} - {oldsymbol {mu}}) 'mathbf {V} ^ {- 1} (mathbf {x} - {oldsymbol {mu}})} { 2sigma ^ {2}}} hned).}$

kde ${displaystyle | mathbf {V} |}$ je určující z ${displaystyle k imes k}$ matice ${displaystyle mathbf {V}}$. Všimněte si, jak se tato poslední rovnice redukuje na první formu, pokud ${displaystyle k = 1}$ aby ${displaystyle mathbf {x}, mathbf {V}, {oldsymbol {mu}}}$ jsou skaláry.

Alternativní parametrizace

Je také možné nechat ${displaystyle gamma = 1 / lambda}$ v takovém případě se soubor PDF stane

${displaystyle f (x, sigma ^ {2} mid mu, gamma, alpha, eta) = {frac {1} {sigma {sqrt {2pi gamma}}}}, {frac {eta ^ {alpha}} {Gamma ( alpha)}}, vlevo ({frac {1} {sigma ^ {2}}} vpravo) ^ {alpha +1} exp vlevo (- {frac {2gamma eta + (x-mu) ^ {2}} {2gamma sigma ^ {2}}} hned)}$

Ve vícerozměrné formě by odpovídající změnou bylo považování kovarianční matice ${displaystyle mathbf {V}}$ místo toho inverzní ${displaystyle mathbf {V} ^ {- 1}}$ jako parametr.

Funkce kumulativní distribuce

${displaystyle F (x, sigma ^ {2} mid mu, lambda, alpha, eta) = {frac {e ^ {- {frac {eta} {sigma ^ {2}}}} vlevo ({frac {eta} { sigma ^ {2}}} ight) ^ {alpha} left (operatorname {erf} left ({frac {{sqrt {lambda}} (x-mu)} {{sqrt {2}} sigma}} ight) + 1ight )} {2sigma ^ {2} Gama (alfa)}}}$

Vlastnosti

Okrajové rozdělení

Dáno ${displaystyle (x, sigma ^ {2}) sim {ext {N -}} Gama ^ {- 1} (mu, lambda, alfa, eta) !.}$ jak je uvedeno výše, ${displaystyle sigma ^ {2}}$ sám o sobě následuje inverzní rozdělení gama:

${displaystyle sigma ^ {2} sim Gamma ^ {- 1} (alfa, eta)!}$

zatímco ${displaystyle {sqrt {frac {alpha lambda} {eta}}} (x-mu)}$ následuje a t distribuce s ${displaystyle 2alpha}$ stupně svobody.

V případě vícerozměrného rozdělení je mezní rozdělení ${displaystyle mathbf {x}}$ je vícerozměrná t distribuce:

${displaystyle mathbf {x} sim t_ {2alpha} ({oldsymbol {mu}}, {frac {eta} {alpha}} mathbf {V} ^ {- 1})!}$

Shrnutí

Škálování

Exponenciální rodina

Informační entropie

Kullback – Leiblerova divergence

Odhad maximální pravděpodobnosti

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2010)

Zadní rozdělení parametrů

Viz články o normální-gama distribuce a před konjugátem.

Interpretace parametrů

Viz články o normální-gama distribuce a před konjugátem.

Generování náhodných variací normální-inverzní-gama se mění

Generování náhodných variací je jednoduché:

1. Vzorek ${displaystyle sigma ^ {2}}$ z inverzní gama distribuce s parametry ${displaystyle alpha}$ a ${displaystyle eta}$
2. Vzorek ${displaystyle x}$ z normálního rozdělení s průměrem ${displaystyle mu}$ a rozptyl ${displaystyle sigma ^ {2} / lambda}$

Související distribuce

• The normální-gama distribuce je stejná distribuce parametrizovaná pomocí přesnost spíše než rozptyl
• Zobecnění této distribuce, které umožňuje vícerozměrný průměr a zcela neznámou pozitivně určitou kovarianční matici ${displaystyle sigma ^ {2} mathbf {V}}$ (zatímco v multivariační inverzní gama distribuci je kovarianční matice považována za známou až do měřítka ${displaystyle sigma ^ {2}}$) je normální-inverzní-Wishartovo rozdělení

Viz také

• Složené rozdělení pravděpodobnosti

Reference

• Denison, David G. T.; Holmes, Christopher C .; Mallick, Bani K .; Smith, Adrian F. M. (2002) Bayesovské metody pro nelineární klasifikaci a regreseWiley. ISBN  0471490369
• Koch, Karl-Rudolf (2007) Úvod do Bayesovské statistiky (2. vydání), Springer. ISBN  354072723X