Usměrněné Gaussovo rozdělení - Rectified Gaussian distribution

v teorie pravděpodobnosti, usměrněné Gaussovo rozdělení je modifikací Gaussovo rozdělení když jsou jeho záporné prvky resetovány na 0 (analogicky k elektronice) usměrňovač ). Je to v podstatě směs a diskrétní distribuce (konstanta 0) a kontinuální distribuce (A zkrácená Gaussova distribuce s intervalem ${ displaystyle (0, infty)}$) jako výsledek cenzura.

Funkce hustoty

The funkce hustoty pravděpodobnosti usměrněného Gaussova rozdělení, pro které náhodné proměnné X mající toto rozdělení, odvozené od normálního rozdělení ${ displaystyle { mathcal {N}} ( mu, sigma ^ {2}),}$ jsou zobrazeny jako ${ displaystyle X sim { mathcal {N}} ^ { textrm {R}} ( mu, sigma ^ {2})}$, je dána

${ displaystyle f (x; mu, sigma ^ {2}) = Phi (- { frac { mu} { sigma}}) delta (x) + { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}}}} ; e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} { textrm {U }}(X).}$

Porovnání Gaussovy distribuce, usměrněné Gaussovy distribuce a zkrácené Gaussovy distribuce.

Tady, ${ displaystyle Phi (x)}$ je kumulativní distribuční funkce (cdf) z standardní normální rozdělení:

${ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ {- t ^ {2} / 2} , dt quad x in mathbb {R},}$

${ displaystyle delta (x)}$ je Diracova delta funkce

${ displaystyle delta (x) = { začátek {případů} + infty, & x = 0 0, & x neq 0 konec {případů}}}$

a, ${ displaystyle { textrm {U}} (x)}$ je funkce jednotky:

${ displaystyle { textrm {U}} (x) = { begin {cases} 0, & x leq 0, 1, & x> 0. end {cases}}}$

Průměr a rozptyl

Protože má neopravené normální rozdělení znamenat ${ displaystyle mu}$ a protože při jeho transformaci na usměrněné rozdělení byla nějaká pravděpodobnostní hmotnost posunuta na vyšší hodnotu (ze záporných hodnot na 0), střední hodnota usměrněného rozdělení je větší než ${ displaystyle mu.}$

Jelikož usměrněné rozdělení je tvořeno pohybem části pravděpodobnostní hmoty ke zbytku pravděpodobnostní hmoty, je oprava střední kontrakce v kombinaci se střední změnou tuhého posunu distribuce, a tedy rozptyl je snížena; proto je rozptyl usměrněného rozdělení menší než ${ displaystyle sigma ^ {2}.}$

Generování hodnot

Pro generování hodnot výpočetně lze použít

${ displaystyle s sim { mathcal {N}} ( mu, sigma ^ {2}), quad x = { textrm {max}} (0, s),}$

a pak

${ displaystyle x sim { mathcal {N}} ^ { textrm {R}} ( mu, sigma ^ {2}).}$

aplikace

Usměrněná Gaussova distribuce je částečně konjugovaná s Gaussovou pravděpodobností a nedávno byla aplikována na faktorová analýza, nebo zejména (nezáporná) opravená faktorová analýza. Harva^[1] navrhl a variační učení algoritmus pro model usměrněného faktoru, kde faktory sledují směs usměrněného Gaussova; a později Meng^[2] navrhl nekonečný model opraveného faktoru spojený s jeho Gibbsovým vzorkovacím řešením, kde faktory následují a Dirichletův proces směs usměrněné Gaussovy distribuce a aplikovala ji dovnitř výpočetní biologie na rekonstrukci genové regulační sítě.

Rozšíření na obecné hranice

Palmer et al. Navrhli rozšíření usměrněné Gaussovy distribuce.^[3], což umožňuje opravu mezi libovolnými dolními a horními mezemi. Pro dolní a horní mez ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ respektive CDF, ${ displaystyle F_ {R} (x | mu, sigma ^ {2})}$ je dána:

${ displaystyle F_ {R} (x | mu, sigma ^ {2}) = { begin {cases} 0, & x$

kde ${ displaystyle Phi (x | mu, sigma ^ {2})}$ je CDF normální distribuce se střední hodnotou ${ displaystyle mu}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2}}$. Průměr a rozptyl usměrněného rozdělení se vypočítá nejprve transformací omezení působících na standardní normální rozdělení:

${ displaystyle c = { frac {a- mu} { sigma}}, qquad d = { frac {b- mu} { sigma}}.}$

Pomocí transformovaných omezení, střední hodnoty a rozptylu, ${ displaystyle mu _ {R}}$ a ${ displaystyle sigma _ {R} ^ {2}}$ jsou pak dány vztahem:

${ displaystyle mu _ {t} = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} left (e ^ { left (- { frac {c ^ {2}} {2}} right)} - ​​e ^ { left (- { frac {d ^ {2}} {2}} right)} right) + { frac {c} {2}} left (1+ { textrm {erf}} left ({ frac {c} { sqrt {2}}} right) right) + { frac {d} {2}} left (1 - { textrm {erf }} left ({ frac {d} { sqrt {2}}} right) right),}$

${ displaystyle { begin {aligned} sigma _ {t} ^ {2} & = { frac { mu _ {t} ^ {2} +1} {2}} left ({ textrm {erf }} left ({ frac {d} { sqrt {2}}} right) - { textrm {erf}} left ({ frac {c} { sqrt {2}}} right) right) - { frac {1} { sqrt {2 pi}}} left ( left (d-2 mu _ {t} right) e ^ { left (- { frac {d ^ {2}} {2}} vpravo)} - vlevo (c-2 mu _ {t} vpravo) e ^ { vlevo (- { frac {c ^ {2}} {2}} right)} right) & + { frac { left (c- mu _ {t} right) ^ {2}} {2}} left (1 + { textrm {erf}} left ({ frac {c} { sqrt {2}}} right) right) + { frac { left (d- mu _ {t} right) ^ {2}} {2} } left (1 - { textrm {erf}} left ({ frac {d} { sqrt {2}}} right) right), end {aligned}}}$

${ displaystyle mu _ {R} = mu + sigma mu _ {t},}$

${ displaystyle sigma _ {R} ^ {2} = sigma ^ {2} sigma _ {t} ^ {2},}$

kde erf je chybová funkce. Tuto distribuci použili Palmer et al. pro modelování úrovní fyzických zdrojů, jako je množství kapaliny v nádobě, které je ohraničeno jak 0, tak kapacitou nádoby.

Viz také

• zkrácené normální rozdělení
• poloviční normální rozdělení

Reference