SkellamFunkce pravděpodobnostní hmotnosti  Příklady funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro rozdělení Skellam. Vodorovná osa je index k. (Funkce je definována pouze při celočíselných hodnotách k. Spojovací linky neznamenají kontinuitu.) |
Parametry |  |
---|
Podpěra, podpora |  |
---|
PMF |  |
---|
Znamenat |  |
---|
Medián | N / A |
---|
Rozptyl |  |
---|
Šikmost |  |
---|
Př. špičatost |  |
---|
MGF |  |
---|
CF |  |
---|
The Distribuce Skellam je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti rozdílu
ze dvou statisticky nezávislé náhodné proměnné
a
každý Poissonovo distribuováno s příslušnými očekávané hodnoty
a
. To je užitečné při popisu statistik rozdílu dvou obrázků pomocí jednoduchého fotonový šum, stejně jako popis bodové rozpětí distribuce ve sportu, kde jsou všechny bodované body stejné, jako např baseball, hokej a fotbal.
Distribuce je také použitelná pro speciální případ rozdílu závislých Poissonových náhodných proměnných, ale pouze zřejmý případ, kdy obě proměnné mají společný aditivní náhodný příspěvek, který je zrušen rozdílem: viz Karlis & Ntzoufras (2003) aplikace.
The funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro distribuci Skellam pro rozdíl
mezi dvěma nezávislými Poissonově distribuovanými náhodnými proměnnými s průměrem
a
darováno:

kde Ják(z) je upravená Besselova funkce prvního druhu. Od té doby k je celé číslo, které máme Ják(z)=Já| k |(z).
Derivace
The funkce pravděpodobnostní hmotnosti a Poissonovo distribuováno náhodná veličina se střední hodnotou μ je dána vztahem

pro
(a jinak nula). Skellamova hmotnostní funkce pravděpodobnosti pro rozdíl dvou nezávislých počtů
je konvoluce dvou Poissonových distribucí: (Skellam, 1946)

Protože Poissonovo rozdělení je nulové pro záporné hodnoty počtu
, druhá částka se bere pouze za ty výrazy, kde
a
. Je možné ukázat, že výše uvedená částka to naznačuje

aby:

kde Já k(z) je upravená Besselova funkce prvního druhu. Zvláštní případ pro
je dán Irwinem (1937):

Pomocí mezních hodnot modifikované Besselovy funkce pro malé argumenty můžeme obnovit Poissonovo rozdělení jako speciální případ Skellamova rozdělení pro
.
Vlastnosti
Jelikož se jedná o diskrétní pravděpodobnostní funkci, je normalizována hmotnostní funkce pravděpodobnosti Skellam:

Víme, že funkce generující pravděpodobnost (pgf) pro a Poissonovo rozdělení je:

Z toho vyplývá, že pgf,
pro funkci Skellamovy pravděpodobnosti bude:
![{ displaystyle { begin {zarovnáno} G (t; mu _ {1}, mu _ {2}) & = součet _ {k = - infty} ^ { infty} p (k; mu _ {1}, mu _ {2}) t ^ {k} [4pt] & = G left (t; mu _ {1} right) G left (1 / t; mu _ {2} right) [4pt] & = e ^ {- ( mu _ {1} + mu _ {2}) + mu _ {1} t + mu _ {2} / t}. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080e7e08db095c80b7cdffaf30fc44dae591fcb5)
Všimněte si, že forma funkce generující pravděpodobnost znamená, že rozdělení součtů nebo rozdílů libovolného počtu nezávislých proměnných distribuovaných Skellamem je opět distribuováno Skellam. Někdy se tvrdí, že jakákoli lineární kombinace dvou distribuovaných proměnných Skellam je opět distribuována Skellam, ale to zjevně není pravda, protože jakýkoli jiný multiplikátor
by změnilo Podpěra, podpora distribuce a změnit vzor momenty způsobem, který nemůže uspokojit žádná distribuce Skellam.
The funkce generující momenty darováno:

což přináší syrové momenty mk . Definovat:


Pak syrové okamžiky mk jsou



The ústřední momenty M k jsou



The znamenat, rozptyl, šikmost, a přebytek kurtosy jsou příslušně:
![{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} (n) & = Delta, [4pt] sigma ^ {2} & = 2 mu, [4pt] gamma _ {1} & = Delta / (2 mu) ^ {3/2}, [4pt] gamma _ {2} & = 1/2. End {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878adf1f1eb1b323aa24b8db4067f6e9e2a0f4da)
The funkce generující kumulant darováno:

který dává kumulanty:


Pro speciální případ, kdy μ1 = μ2, anasymptotická expanze z upravená Besselova funkce prvního druhu výnosy pro velké μ:
![{ displaystyle p (k; mu, mu) sim {1 nad { sqrt {4 pi mu}}} vlevo [1+ součet _ {n = 1} ^ { infty} ( -1) ^ {n} { {4k ^ {2} -1 ^ {2} } {4k ^ {2} -3 ^ {2} } cdots {4k ^ {2} - (2n -1) ^ {2} } přes n! , 2 ^ {3n} , (2 mu) ^ {n}} vpravo].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3001fb3281c95a94a610881a32d40da8906010)
(Abramowitz a Stegun 1972, s. 377). Také pro tento speciální případ, když k je také velký a objednat druhé odmocniny 2μ má distribuce sklon k a normální distribuce:

Tyto speciální výsledky lze snadno rozšířit na obecnější případ různých prostředků.
Meze hmotnosti nad nulou
Li
, s
, pak

Podrobnosti najdete v Poissonovo rozdělení # Poissonovy závody
Reference
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (Červen 1965). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami (Nezkrácené a nezměněné republiky. [Der Ausg.] 1964, 5. Doverský tisk vyd.). Dover Publications. 374–378. ISBN 0486612724. Citováno 27. září 2012.
- Irwin, J. O. (1937) „Frekvenční rozdělení rozdílu mezi dvěma nezávislými se mění podle stejného Poissonova rozdělení.“ Journal of the Royal Statistical Society: Série A, 100 (3), 415–416. JSTOR 2980526
- Karlis, D. a Ntzoufras, I. (2003) „Analýza sportovních dat pomocí bivariačních Poissonových modelů“. Journal of the Royal Statistical Society, Series D, 52 (3), 381–393. doi:10.1111/1467-9884.00366
- Karlis D. a Ntzoufras I. (2006). Bayesiánská analýza rozdílů údajů o počtu. Statistika v medicíně, 25, 1885–1905. [1]
- Skellam, J. G. (1946) „Frekvenční rozdělení rozdílu mezi dvěma Poissonovými proměnami patřící k různým populacím“. Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 109 (3), 296. JSTOR 2981372
|
---|
Diskrétní univariate s konečnou podporou | |
---|
Diskrétní univariate s nekonečnou podporou | |
---|
Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu | |
---|
Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu | |
---|
Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii | |
---|
Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší | |
---|
Smíšený spojitý-diskrétní univariate | |
---|
Vícerozměrný (společný) | |
---|
Směrový | |
---|
Degenerovat a jednotné číslo | |
---|
Rodiny | |
---|