Lévyho distribuce - Lévy distribution

Lévy (nezasunuto)

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle mu}$ umístění; ${ displaystyle c> 0 ,}$ měřítko
Podpěra, podpora	${ displaystyle x in [ mu, infty)}$
PDF	${ displaystyle { sqrt { frac {c} {2 pi}}} ~~ { frac {e ^ {- { frac {c} {2 (x- mu)}}}}} {(x - mu) ^ {3/2}}}}$
CDF	${ displaystyle { textrm {erfc}} vlevo ({ sqrt { frac {c} {2 (x- mu)}}} vpravo)}$
Znamenat	${ displaystyle infty}$
Medián	${ displaystyle mu + c / 2 ({ textrm {erfc}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} ,}$
Režim	${ displaystyle mu + { frac {c} {3}}}$
Rozptyl	${ displaystyle infty}$
Šikmost	nedefinováno
Př. špičatost	nedefinováno
Entropie	${ displaystyle { frac {1 + 3 gamma + ln (16 pi c ^ {2})} {2}}}$ kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler-Mascheroniho konstanta
MGF	nedefinováno
CF	${ displaystyle e ^ {i mu t - { sqrt {-2ict}}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, Lévyho distribuce, pojmenoval podle Paul Lévy, je spojité rozdělení pravděpodobnosti za nezápornou náhodná proměnná. v spektroskopie, toto rozdělení, s frekvencí jako závislou proměnnou, je známé jako a profil van der Waals.^{[poznámka 1]} Jedná se o speciální případ inverzní gama distribuce. Je to stabilní distribuce.

Definice

The funkce hustoty pravděpodobnosti distribuce Lévyho přes doménu ${ displaystyle x geq mu}$ je

${ displaystyle f (x; mu, c) = { sqrt { frac {c} {2 pi}}} ~~ { frac {e ^ {- { frac {c} {2 (x- mu)}}}} {(x- mu) ^ {3/2}}}}$

kde ${ displaystyle mu}$ je parametr umístění a ${ displaystyle c}$ je parametr měřítka. Funkce kumulativní distribuce je

${ displaystyle F (x; mu, c) = { textrm {erfc}} vlevo ({ sqrt { frac {c} {2 (x- mu)}}} vpravo)}$

kde ${ displaystyle { textrm {erfc}} (z)}$ je doplňkový chybová funkce. Parametr posunu ${ displaystyle mu}$ má za následek posunutí křivky doprava o částku ${ displaystyle mu}$a změna podpory na interval [${ displaystyle mu}$, ${ displaystyle infty}$). Jako všichni stabilní distribuce, má distribuce Levy standardní tvar f (x; 0,1), který má následující vlastnost:

${ displaystyle f (x; mu, c) dx = f (y; 0,1) dy ,}$

kde y je definován jako

${ displaystyle y = { frac {x- mu} {c}} ,}$

The charakteristická funkce distribuce Lévyho je dána

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = e ^ {i mu t - { sqrt {-2ict}}}.}$

Všimněte si, že charakteristickou funkci lze také zapsat ve stejné formě, která se používá pro stabilní rozdělení s ${ displaystyle alpha = 1/2}$ a ${ displaystyle beta = 1}$:

${ displaystyle varphi (t; mu, c) = e ^ {i mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ { textrm {sign}} (t))}. }$

Za předpokladu ${ displaystyle mu = 0}$, nth okamžik nezměněné distribuce Lévy je formálně definována:

${ displaystyle m_ {n} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- c / 2x} , x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} , dx}$

který se pro všechny rozchází ${ displaystyle n geq 0,5}$ takže neexistují celočíselné momenty Lévyho rozdělení (pouze některé zlomkové momenty).

The funkce generování momentů bude formálně definováno:

${ displaystyle M (t; c) { stackrel { mathrm {def}} {=}} { sqrt { frac {c} {2 pi}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} , dx}$

to se však rozchází ${ displaystyle t> 0}$ a proto není definován v intervalu kolem nuly, takže funkce generující moment není definována per se.

Jako všichni stabilní distribuce kromě normální distribuce, křídlo funkce hustoty pravděpodobnosti vykazuje silné chování ocasu spadající podle mocenského zákona:

${ displaystyle f (x; mu, c) sim { sqrt { frac {c} {2 pi}}} { frac {1} {x ^ {3/2}}}}$ tak jako ${ displaystyle x to infty,}$

což ukazuje, že Lévy není jen těžký ocas ale také tlustý. To je znázorněno na následujícím diagramu, ve kterém hustota pravděpodobnosti funguje pro různé hodnoty C a ${ displaystyle mu = 0}$ jsou vyneseny na a log – log plot.

Funkce hustoty pravděpodobnosti pro distribuci Lévyho na grafu log – log

Standardní Lévyho distribuce splňuje podmínku bytí stabilní

${ displaystyle (X_ {1} + X_ {2} + dotsb + X_ {n}) sim n ^ {1 / alpha} X}$,

kde ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n}, X}$ jsou nezávislé standardní Lévyho proměnné s ${ displaystyle alpha = 1/2}$.

Související distribuce

• Li ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ pak ${ displaystyle kX + b , sim , { textrm {Levy}} (k mu + b, kc)}$
• Li ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} (0, c)}$ pak ${ displaystyle X , sim , { textrm {Inv-Gamma}} ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {c} {2}})}$ (inverzní rozdělení gama )
  Zde je Lévyho distribuce zvláštním případem a Pearsonova distribuce typu V.
• Li ${ displaystyle , Y , sim , { textrm {normální}} ( mu, sigma)}$ (Normální distribuce ) pak ${ displaystyle {(Y- mu)} ^ {- 2} , sim , { textrm {Levy}} (0,1 / sigma ^ {2})}$
• Li ${ displaystyle X , sim , { textrm {normální}} ( mu, { tfrac {1} { sqrt { sigma}}})}$ pak ${ displaystyle {(X- mu)} ^ {- 2} , sim , { textrm {Levy}} (0, sigma)}$
• Li ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ pak ${ displaystyle X , sim , { textrm {stabilní}} (1 / 2,1, c, mu)}$ (Stabilní distribuce )
• Li ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} (0, c)}$ pak ${ displaystyle X , sim , { textrm {Scale-inv -}} chi ^ {2} (1, c)}$ (Škálované-inverzní-chi-kvadrát distribuce )
• Li ${ displaystyle X , sim , { textrm {Levy}} ( mu, c)}$ pak ${ displaystyle {(X- mu)} ^ {- { tfrac {1} {2}}} sim , { textrm {FoldedNormal}} (0,1 / { sqrt {c}})}$ (Skládané normální rozdělení )

Náhodné generování vzorků

Náhodné vzorky z distribuce Lévyho lze generovat pomocí vzorkování inverzní transformace. Vzhledem k náhodnému variaci U čerpáno z rovnoměrné rozdělení v jednotkovém intervalu (0, 1], variát X dána^[1]

${ displaystyle X = F ^ {- 1} (U) = { frac {c} {( Phi ^ {- 1} (1-U)) ^ {2}}} + mu}$

je Lévy distribuován s umístěním ${ displaystyle mu}$ a měřítko ${ displaystyle c}$. Tady ${ displaystyle Phi (x)}$ je kumulativní distribuční funkce standardu normální distribuce.

Aplikace

• Četnost geomagnetické zvraty Zdá se, že následuje Lévyho distribuci
• The čas zasažení jediný bod, na dálku ${ displaystyle alpha}$ od výchozího bodu pomocí Brownův pohyb má distribuci Lévy s ${ displaystyle c = alpha ^ {2}}$. (U Brownova pohybu s driftem může tento čas následovat po inverzní Gaussovo rozdělení, který má jako omezení distribuci Lévy.)
• Délka dráhy následované fotonem v zakaleném médiu sleduje Lévyho rozdělení.^[2]
• A Cauchyho proces lze definovat jako a Brownův pohyb podřízený k procesu spojenému s Lévyho distribucí.^[3]

Poznámky pod čarou

Poznámky

Reference

• "Informace o stabilních distribucích". Citováno 13. července 2005. - Úvod Johna P. Nolana ke stabilním distribucím, několik článků o stabilních zákonech a bezplatný program pro výpočet stabilních hustot, kumulativních distribučních funkcí, kvantilů, parametrů odhadu atd. Viz zejména Úvod do stabilních distribucí, Kapitola 1

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Lévy Distribution“. MathWorld.