Infinitezimální teorie přetvoření - Infinitesimal strain theory

v mechanika kontinua, nekonečně malá teorie napětí je matematický přístup k popisu deformace pevného tělesa, ve kterém posunutí materiálu částice se předpokládá, že jsou mnohem menší (ve skutečnosti nekonečně menší) než jakýkoli relevantní rozměr těla; aby jeho geometrie a konstitutivní vlastnosti materiálu (např hustota a ztuhlost ) v každém bodě prostoru lze předpokládat, že se deformací nezmění.

S tímto předpokladem jsou rovnice mechaniky kontinua značně zjednodušeny. Tento přístup lze také nazvat teorie malých deformací, teorie malého posunutínebo teorie malého posunu a gradientu. Je v kontrastu s teorie konečných deformací kde je učiněn opačný předpoklad.

Teorie infinitezimálního přetvoření je běžně přijímána v civilním a strojním inženýrství pro stresová analýza konstrukcí postavených z relativně tuhých elastický materiály jako beton a ocel, protože společným cílem při navrhování takových konstrukcí je minimalizovat jejich deformaci za typických zatížení. Tato aproximace však vyžaduje opatrnost v případě tenkých pružných těl, jako jsou tyče, desky a skořepiny, které jsou náchylné k významným rotacím, což činí výsledky nespolehlivými.^[1]

Infinitezimální tenzor napětí

Pro nekonečně malé deformace a tělo kontinua, ve kterém gradient posunutí (Tenzor 2. řádu) je malý ve srovnání s jednotou, tj. ${ displaystyle | nabla mathbf {u} | ll 1}$, je možné provést a geometrická linearizace kteréhokoli z (nekonečně mnoha možných) tenzorů napětí použitých v teorii konečných deformací, např. Lagrangianův tenzor napětí ${ displaystyle mathbf {E}}$a Eulerianův tenzor napětí ${ displaystyle mathbf {e}}$. Při takové linearizaci jsou zanedbány nelineární podmínky nebo podmínky druhého řádu tenzoru konečné deformace. Tak to máme

${ displaystyle mathbf {E} = { frac {1} {2}} vlevo ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T} nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} vpravo) přibližně { frac {1} {2}} vlevo ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {X}} mathbf {u}) ^ {T }že jo)}$

nebo

${ displaystyle E_ {KL} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné U_ {K}} { částečné X_ {L}}} + { frac { částečné U_ { L}} { částečné X_ {K}}} + { frac { částečné U_ {M}} { částečné X_ {K}}} { frac { částečné U_ {M}} { částečné X_ {L }}} vpravo) přibližně { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné U_ {K}} { částečné X_ {L}}} + { frac { částečné U_ { L}} { částečné X_ {K}}} vpravo)}$

a

${ displaystyle mathbf {e} = { frac {1} {2}} vlevo ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u}) ^ {T} - nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u}) ^ {T} vpravo) přibližně { frac {1} {2}} vlevo ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u} + ( nabla _ { mathbf {x}} mathbf {u}) ^ {T }že jo)}$

nebo

${ displaystyle e_ {rs} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {r}} { částečné x_ {s}}} + { frac { částečné u_ { s}} { částečné x_ {r}}} - { frac { částečné u_ {k}} { částečné x_ {r}}} { frac { částečné u_ {k}} { částečné x_ {s }}} vpravo) přibližně { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {r}} { částečné x_ {s}}} + { frac { částečné u_ { s}} { částečné x_ {r}}} vpravo)}$

Z této linearizace vyplývá, že Lagrangeův popis a Eulerianův popis jsou přibližně stejné, protože jsou malé rozdíly v materiálních a prostorových souřadnicích daného hmotného bodu v kontinuu. Proto jsou složky gradientu posunutí materiálu a složky gradientu prostorového posunutí přibližně stejné. Tak to máme

${ displaystyle mathbf {E} přibližně mathbf {e} přibližně { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2}} vlevo (( nabla mathbf {u}) ^ { T} + nabla mathbf {u} vpravo) qquad}$

nebo${ displaystyle qquad E_ {KL} přibližně e_ {rs} přibližně varepsilon _ {ij} = { frac {1} {2}} vlevo (u_ {i, j} + u_ {j, i} že jo)}$

kde ${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$ jsou komponenty nekonečně malý tenzor napětí ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$, také zvaný Cauchyho tenzor napětí, lineární tenzor napětínebo malý tenzor napětí.

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {ij} & = { frac {1} {2}} left (u_ {i, j} + u_ {j, i} right) & = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23 } varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {matrix}} right] & = left [{ begin {matrix} { frac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {1}}} a { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {2}} } + { frac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {1}}} pravé) & { frac {1} {2}} levé ({ frac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {3}}} + { frac { částečné u_ {3}} { částečné x_ {1}}} pravé) { frac {1} {2}} levé ({ frac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {1}}} + { frac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {2}}} vpravo) & { frac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {2}}} a { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {3}}} + { frac { částečné u_ {3}} { částečné x_ {2}}} pravé) { frac {1} {2}} levé ({ frac { částečné u_ {3}} { částečné x_ {1}}} + { frac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {3}}} pravé) & { frac {1} {2}} levé ({ frac { částečné u_ {3}} { částečné x_ {2}}} + { frac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {3}}} pravé) & { frac { částečné u_ {3}} { částečné x_ {3 }}} end {matrix}} right] end {zarovnáno}}}$

nebo pomocí jiné notace:

${ displaystyle left [{ begin {matrix} varepsilon _ {xx} & varepsilon _ {xy} & varepsilon _ {xz} varepsilon _ {yx} & varepsilon _ {yy} & varepsilon _ {yz} varepsilon _ {zx} & varepsilon _ {zy} & varepsilon _ {zz} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} a { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} pravé) & { frac {1} {2}} levé ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné z}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné x}} pravé) { frac {1} {2}} levé ({ frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {x}} { částečné y}} pravé) & { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} a { frac {1} {2}} left ({ frac { částečné u_ {y}} { částečné z}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné y}} vpravo) { frac {1} { 2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {z}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {x}} { částečné z}} pravé) & { frac {1 } {2}} vlevo ({ frac { částečné u_ {z}} { částečné y}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné z}} pravé) & { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}} konec {matice}} doprava]}$

Kromě toho, protože gradient deformace lze vyjádřit jako ${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + { boldsymbol {I}}}$ kde ${ displaystyle { boldsymbol {I}}}$ je tenzor identity druhého řádu, máme

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ boldsymbol {F}} ^ {T} + { boldsymbol {F}} vpravo) - { tučný symbol {I}}}$

Také z obecný výraz pro Lagrangeovy a Euleriánské tenzory konečného přetvoření, které máme

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {E} _ {(m)} & = { frac {1} {2m}} ( mathbf {U} ^ {2m} - { boldsymbol {I}} ) = { frac {1} {2m}} [({ boldsymbol {F}} ^ {T} { boldsymbol {F}}) ^ {m} - { boldsymbol {I}}] přibližně { frac {1} {2m}} [ {{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}) ^ {T} + { boldsymbol {I }} } ^ {m} - { boldsymbol {I}}] přibližně { boldsymbol { varepsilon}} mathbf {e} _ {(m)} & = { frac {1} {2m }} ( mathbf {V} ^ {2m} - { boldsymbol {I}}) = { frac {1} {2m}} [({ boldsymbol {F}} { boldsymbol {F}} ^ { T}) ^ {m} - { boldsymbol {I}}] přibližně { boldsymbol { varepsilon}} end {zarovnáno}}}$

Geometrická derivace

Obrázek 1. Dvojrozměrná geometrická deformace prvku nekonečně malého materiálu.

Zvažte dvourozměrnou deformaci nekonečně obdélníkového prvku materiálu s rozměry ${ displaystyle dx}$ podle ${ displaystyle dy}$ (Obrázek 1), který má po deformaci podobu kosočtverce. Z geometrie obrázku 1 máme

${ displaystyle { begin {aligned} { overline {ab}} & = { sqrt { left (dx + { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} dx vpravo) ^ {2 } + vlevo ({ frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} dx pravé) ^ {2}}} & = dx { sqrt {1 + 2 { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + vlevo ({ frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} vpravo) ^ {2} + vlevo ({ frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} vpravo) ^ {2}}} konec {zarovnáno}}}$

Pro velmi malé gradienty posunutí, tj. ${ displaystyle | nabla mathbf {u} | ll 1}$, my máme

${ displaystyle { overline {ab}} přibližně dx + { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} dx}$

The normální napětí v ${ displaystyle x}$-direction of the rectangular element is defined by

${ displaystyle varepsilon _ {x} = { frac {{ overline {ab}} - { overline {AB}}} { overline {AB}}}}$

a to věděl ${ displaystyle { overline {AB}} = dx}$, my máme

${ displaystyle varepsilon _ {x} = { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}}}$

Podobně normální kmen v ${ displaystyle y}$- směr a ${ displaystyle z}$-směr se stává

${ displaystyle varepsilon _ {y} = { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} quad, qquad varepsilon _ {z} = { frac { částečné u_ {z}} { částečné z}}}$

The technické smykové napětí, nebo změna úhlu mezi dvěma původně ortogonálními materiálovými liniemi, v tomto případě linií ${ displaystyle { overline {AC}}}$ a ${ displaystyle { overline {AB}}}$, je definován jako

${ displaystyle gamma _ {xy} = alpha + beta}$

Z geometrie obrázku 1 máme

${ displaystyle tan alpha = { frac {{ dfrac { částečné u_ {y}} { částečné x}} dx} {dx + { dfrac { částečné u_ {x}} { částečné x}} dx}} = { frac { dfrac { částečné u_ {y}} { částečné x}} {1 + { dfrac { částečné u_ {x}} { částečné x}}}} quad, qquad tan beta = { frac {{ dfrac { částečné u_ {x}} { částečné y}} dy} {dy + { dfrac { částečné u_ {y}} { částečné y}} dy} } = { frac { dfrac { částečné u_ {x}} { částečné y}} {1 + { dfrac { částečné u_ {y}} { částečné y}}}}}$

Pro malé rotace, tj. ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou ${ displaystyle ll 1}$ my máme

${ Displaystyle tan alpha cca alfa quad, qquad tan beta cca beta}$

a opět pro malé gradienty posunutí máme

${ displaystyle alpha = { frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} quad, qquad beta = { frac { částečné u_ {x}} { částečné y}}}$

tím pádem

${ displaystyle gamma _ {xy} = alpha + beta = { frac { částečné u_ {y}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {x}} { částečné y} }}$

Zaměňováním ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle u_ {x}}$ a ${ displaystyle u_ {y}}$, lze ukázat, že ${ displaystyle gamma _ {xy} = gamma _ {yx}}$

Podobně pro ${ displaystyle y}$-${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle x}$-${ displaystyle z}$ letadla, máme

${ displaystyle gamma _ {yz} = gamma _ {zy} = { frac { částečné u_ {y}} { částečné z}} + { frac { částečné u_ {z}} { částečné y }} quad, qquad gamma _ {zx} = gamma _ {xz} = { frac { částečné u_ {z}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {x}} { částečné z}}}$

Je vidět, že složky tenzního smykového přetvoření nekonečně tenzoru deformace lze poté vyjádřit pomocí definice technické deformace, ${ displaystyle gamma}$, tak jako

${ displaystyle left [{ begin {matrix} varepsilon _ {xx} & varepsilon _ {xy} & varepsilon _ {xz} varepsilon _ {yx} & varepsilon _ {yy} & varepsilon _ {yz} varepsilon _ {zx} & varepsilon _ {zy} & varepsilon _ {zz} end {matrix}} right] = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {xx} & gamma _ {xy} / 2 & gamma _ {xz} / 2 gamma _ {yx} / 2 & varepsilon _ {yy} & gamma _ {yz} / 2 gamma _ {zx} / 2 & gamma _ {zy} / 2 & varepsilon _ {zz} end {matrix}} right]}$

Fyzická interpretace

Z teorie konečných deformací my máme

${ displaystyle d mathbf {x} ^ {2} -d mathbf {X} ^ {2} = d mathbf {X} cdot 2 mathbf {E} cdot d mathbf {X} quad { text {or}} quad (dx) ^ {2} - (dX) ^ {2} = 2E_ {KL} , dX_ {K} , dX_ {L}}$

Pro nekonečně malé kmeny pak máme

${ displaystyle d mathbf {x} ^ {2} -d mathbf {X} ^ {2} = d mathbf {X} cdot 2 mathbf { boldsymbol { varepsilon}} cdot d mathbf { X} quad { text {or}} quad (dx) ^ {2} - (dX) ^ {2} = 2 varepsilon _ {KL} , dX_ {K} , dX_ {L}}$

Dělení ${ displaystyle (dX) ^ {2}}$ my máme

${ displaystyle { frac {dx-dX} {dX}} { frac {dx + dX} {dX}} = 2 varepsilon _ {ij} { frac {dX_ {i}} {dX}} { frac {dX_ {j}} {dX}}}$

U malých deformací to předpokládáme ${ displaystyle dx přibližně dX}$, tedy druhý člen na levé straně se stává: ${ displaystyle { frac {dx + dX} {dX}} přibližně 2}$.

Pak máme

${ displaystyle { frac {dx-dX} {dX}} = varepsilon _ {ij} N_ {i} N_ {j} = mathbf {N} cdot { boldsymbol { varepsilon}} cdot mathbf {N}}$

kde ${ displaystyle N_ {i} = { frac {dX_ {i}} {dX}}}$, je jednotkový vektor ve směru ${ displaystyle d mathbf {X}}$a výraz na levé straně je normální napětí ${ displaystyle e _ {( mathbf {N})}}$ ve směru ${ displaystyle mathbf {N}}$. Pro konkrétní případ ${ displaystyle mathbf {N}}$ v ${ displaystyle X_ {1}}$ směr, tj. ${ displaystyle mathbf {N} = mathbf {I} _ {1}}$, my máme

${ displaystyle e _ {( mathbf {I} _ {1})} = mathbf {I} _ {1} cdot { boldsymbol { varepsilon}} cdot mathbf {I} _ {1} = varepsilon _ {11}}$

Podobně pro ${ displaystyle mathbf {N} = mathbf {I} _ {2}}$ a ${ displaystyle mathbf {N} = mathbf {I} _ {3}}$ můžeme najít normální kmeny ${ displaystyle varepsilon _ {22}}$ a ${ displaystyle varepsilon _ {33}}$, resp. Proto jsou diagonální prvky infinitezimálního tenzoru deformace normálními kmeny ve směrech souřadnic.

Pravidla transformace kmene

Pokud zvolíme ortonormální souřadnicový systém (${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$) můžeme psát tenzor, pokud jde o komponenty, vzhledem k těmto základním vektorům jako

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = součet _ {i = 1} ^ {3} součet _ {j = 1} ^ {3} varepsilon _ {ij} mathbf {e} _ {i } otimes mathbf {e} _ {j}}$

V maticové formě,

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {12} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23} varepsilon _ {13} & varepsilon _ {23} & varepsilon _ {33} end {bmatrix}}}$

Můžeme se snadno rozhodnout použít jiný ortonormální souřadný systém (${ displaystyle { hat { mathbf {e}}} _ {1}, { hat { mathbf {e}}} _ {2}, { hat { mathbf {e}}} _ {3} }$) namísto. V tom případě jsou komponenty tenzoru jiné, řekněme

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = součet _ {i = 1} ^ {3} součet _ {j = 1} ^ {3} { hat { varepsilon}} _ {ij} { klobouk { mathbf {e}}} _ {i} otimes { hat { mathbf {e}}} _ {j} quad implikuje quad { underline { underline { hat { boldsymbol { varepsilon}}}}} = { begin {bmatrix} { hat { varepsilon}} _ {11} & { hat { varepsilon}} _ {12} & { hat { varepsilon}} _ {13 } { hat { varepsilon}} _ {12} & { hat { varepsilon}} _ {22} & { hat { varepsilon}} _ {23} { hat { varepsilon} } _ {13} & { hat { varepsilon}} _ {23} & { hat { varepsilon}} _ {33} end {bmatrix}}}$

Složky přetvoření ve dvou souřadnicových systémech jsou spojeny pomocí

${ displaystyle { hat { varepsilon}} _ {ij} = ell _ {ip} ~ ell _ {jq} ~ varepsilon _ {pq}}$

Kde Konvence Einsteinova součtu pro opakované indexy byl použit a ${ displaystyle ell _ {ij} = { hat { mathbf {e}}} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j}}$. V maticové formě

${ displaystyle { podtržení { podtržení { klobouk { boldsymbol { varepsilon}}}}} = { podtržení { podtržení { mathbf {L}}}} ~ { podtržení { podtržení { boldsymbol { varepsilon}}}} ~ { podtržení { podtržení { mathbf {L}}}} ^ {T}}$

nebo

${ displaystyle { begin {bmatrix} { hat { varepsilon}} _ {11} & { hat { varepsilon}} _ {12} & { hat { varepsilon}} _ {13} { hat { varepsilon}} _ {21} & { hat { varepsilon}} _ {22} & { hat { varepsilon}} _ {23} { hat { varepsilon}} _ {31 } & { hat { varepsilon}} _ {32} & { hat { varepsilon}} _ {33} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} ell _ {11} & ell _ {12} & ell _ {13} ell _ {21} & ell _ {22} & ell _ {23} ell _ {31} & ell _ {32} & ell _ {33} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22 } & varepsilon _ {23} varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} ell _ {11} & ell _ {12} & ell _ {13} ell _ {21} & ell _ {22} & ell _ {23} ell _ {31} & ell _ {32} & ell _ {33} end {bmatrix}} ^ {T}}$

Kmenové invarianty

Určité operace na tenzoru přetvoření poskytují stejný výsledek bez ohledu na to, který ortonormální souřadný systém se používá k reprezentaci složek přetvoření. Výsledky těchto operací se nazývají kmenové invarianty. Nejčastěji používané kmenové invarianty jsou

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {1} & = mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}}) I_ {2} & = { tfrac {1} {2}} { [ mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}})] ^ {2} - mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}} ^ {2}) } I_ {3} & = det ({ boldsymbol { varepsilon}}) end {zarovnáno}}}$

Pokud jde o komponenty

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {1} & = varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} I_ {2} & = varepsilon _ {12} ^ {2} + varepsilon _ {23} ^ {2} + varepsilon _ {31} ^ {2} - varepsilon _ {11} varepsilon _ {22} - varepsilon _ {22} varepsilon _ {33 } - varepsilon _ {33} varepsilon _ {11} I_ {3} & = varepsilon _ {11} ( varepsilon _ {22} varepsilon _ {33} - varepsilon _ {23} ^ { 2}) - varepsilon _ {12} ( varepsilon _ {11} varepsilon _ {33} - varepsilon _ {23} varepsilon _ {31}) + varepsilon _ {13} ( varepsilon _ {21 } varepsilon _ {32} - varepsilon _ {22} varepsilon _ {31}) end {zarovnáno}}}$

Hlavní kmeny

Je možné ukázat, že je možné najít souřadný systém (${ displaystyle mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, mathbf {n} _ {3}}$), ve kterém jsou složky tenzoru napětí

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} varepsilon _ {1} & 0 & 0 0 & varepsilon _ {2} & 0 0 & 0 & varepsilon _ { 3} end {bmatrix}} quad implikuje quad { boldsymbol { varepsilon}} = varepsilon _ {1} mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + varepsilon _ {2} mathbf {n} _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + varepsilon _ {3} mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}}$

Složky tenzoru napětí v (${ displaystyle mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, mathbf {n} _ {3}}$) souřadnicový systém se nazývá hlavní kmeny a pokyny ${ displaystyle mathbf {n} _ {i}}$ se nazývají směry hlavního namáhání. Jelikož v tomto souřadném systému nejsou žádné složky smykových deformací, hlavní deformace představují maximální a minimální protažení elementárního objemu.

Dostaneme-li složky tenzoru přetvoření v libovolném ortonormálním souřadném systému, můžeme hlavní kmeny najít pomocí rozklad vlastních čísel určeno řešením soustavy rovnic

${ displaystyle ({ underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} - varepsilon _ {i} ~ { underline { underline { mathbf {I}}}}) ~ mathbf {n} _ {i} = { podtržítko { mathbf {0}}}}$

Tento systém rovnic je ekvivalentní hledání vektoru ${ displaystyle mathbf {n} _ {i}}$ podél kterého se z tenzoru přetvoření stane čistý úsek bez smykové složky.

Objemové napětí

The dilatace (relativní variace objemu) je stopa tenzoru:

${ displaystyle delta = { frac { Delta V} {V_ {0}}} = varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33}}$

Ve skutečnosti, pokud vezmeme v úvahu kostku s délkou hrany A, je to kvazi-kostka po deformaci (variace úhlů nemění objem) s rozměry ${ displaystyle a cdot (1+ varepsilon _ {11}) krát a cdot (1+ varepsilon _ {22}) krát a cdot (1+ varepsilon _ {33})}$ a PROTI₀ = A³, tím pádem

${ displaystyle { frac { Delta V} {V_ {0}}} = { frac { vlevo (1+ varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} + varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {22} + varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {33} + varepsilon _ {22} cdot varepsilon _ {33} + varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {22} cdot varepsilon _ {33} right) cdot a ^ {3} -a ^ {3}} {a ^ {3}}}}$

jak uvažujeme malé deformace,

${ displaystyle 1 gg varepsilon _ {ii} gg varepsilon _ {ii} cdot varepsilon _ {jj} gg varepsilon _ {11} cdot varepsilon _ {22} cdot varepsilon _ { 33}}$

proto vzorec.

Skutečná variace objemu (nahoře) a přibližná (dole): zelená kresba ukazuje odhadovaný objem a oranžová kresba zanedbaný objem

V případě čistého smyku vidíme, že nedochází ke změně objemu.

Tenzor deviátoru kmene

Infinitezimální tenzor napětí ${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$, podobně jako Cauchyho tenzor napětí, lze vyjádřit jako součet dvou dalších tenzorů:

1. A střední tenzor napětí nebo tenzor objemového napětí nebo sférický tenzor napětí, ${ displaystyle varepsilon _ {M} delta _ {ij}}$související s dilatací nebo změnou objemu; a
2. deviátorová složka zvaná tenzor deviátoru napětí, ${ displaystyle varepsilon '_ {ij}}$týkající se zkreslení.

${ displaystyle varepsilon _ {ij} = varepsilon '_ {ij} + varepsilon _ {M} delta _ {ij}}$

kde ${ displaystyle varepsilon _ {M}}$ je střední kmen daný

${ displaystyle varepsilon _ {M} = { frac { varepsilon _ {kk}} {3}} = { frac { varepsilon _ {11} + varepsilon _ {22} + varepsilon _ {33} } {3}} = { tfrac {1} {3}} I_ {1} ^ {e}}$

Deviátorový tenzor deformace lze získat odečtením průměrného tenzoru deformace od nekonečně tenzoru deformace:

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon '_ {ij} & = varepsilon _ {ij} - { frac { varepsilon _ {kk}} {3}} delta _ {ij} vlevo [{ begin {matrix} varepsilon '_ {11} & varepsilon' _ {12} & varepsilon '_ {13} varepsilon' _ {21} & varepsilon '_ {22} & varepsilon '_ {23} varepsilon' _ {31} & varepsilon '_ {32} & varepsilon' _ {33} end {matrix}} right] & = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & varepsilon _ {23} varepsilon _ {31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} end {matrix}} right] - left [{ begin {matrix} varepsilon _ {M} & 0 & 0 0 & varepsilon _ {M} & 0 0 & 0 & varepsilon _ {M} end {matrix}} right] & = left [{ begin {matrix} varepsilon _ {11} - varepsilon _ {M } & varepsilon _ {12} & varepsilon _ {13} varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} - varepsilon _ {M} & varepsilon _ {23} varepsilon _ { 31} & varepsilon _ {32} & varepsilon _ {33} - varepsilon _ {M} end {matrix}} right] end {aligned}}}$

Oktaedrické kmeny

Nechť (${ displaystyle mathbf {n} _ {1}, mathbf {n} _ {2}, mathbf {n} _ {3}}$) jsou směry tří hlavních kmenů. An oktaedrické letadlo je ten, jehož normála svírá stejné úhly se třemi hlavními směry. Strojírenství smykové napětí na oktaedrické rovině se nazývá oktaedrické smykové napětí a je dán

${ displaystyle gamma _ { mathrm {oct}} = { tfrac {2} {3}} { sqrt {( varepsilon _ {1} - varepsilon _ {2}) ^ {2} + ( varepsilon _ {2} - varepsilon _ {3}) ^ {2} + ( varepsilon _ {3} - varepsilon _ {1}) ^ {2}}}}$

kde ${ displaystyle varepsilon _ {1}, varepsilon _ {2}, varepsilon _ {3}}$ jsou hlavní kmeny.^{[Citace je zapotřebí ]}

The normální napětí na oktaedrické rovině je dán vztahem

${ displaystyle varepsilon _ { mathrm {oct}} = { tfrac {1} {3}} ( varepsilon _ {1} + varepsilon _ {2} + varepsilon _ {3})}$^{[Citace je zapotřebí ]}

Ekvivalentní napětí

Skalární veličina zvaná ekvivalentní napětí, nebo von Mises ekvivalentní napětí, se často používá k popisu stavu napětí v pevných látkách. V literatuře lze najít několik definic ekvivalentního kmene. Definice, která se běžně používá v literatuře o plasticita je

${ displaystyle varepsilon _ { mathrm {eq}} = { sqrt {{ tfrac {2} {3}} { boldsymbol { varepsilon}} ^ { mathrm {dev}}: { boldsymbol { varepsilon}} ^ { mathrm {dev}}}} = { sqrt {{ tfrac {2} {3}} varepsilon _ {ij} ^ { mathrm {dev}} varepsilon _ {ij} ^ { mathrm {dev}}}} ~; ~~ { boldsymbol { varepsilon}} ^ { mathrm {dev}} = { boldsymbol { varepsilon}} - { tfrac {1} {3}} mathrm {tr} ({ boldsymbol { varepsilon}}) ~ { boldsymbol {I}}}$

Tato veličina je pracovní konjugát s ekvivalentním napětím definovaným jako

${ displaystyle sigma _ { mathrm {eq}} = { sqrt {{ tfrac {3} {2}} { boldsymbol { sigma}} ^ { mathrm {dev}}: { boldsymbol { sigma}} ^ { mathrm {dev}}}}}$

Rovnice kompatibility

Pro předepsané složky napětí ${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$ rovnice tenzoru přetvoření ${ displaystyle u_ {i, j} + u_ {j, i} = 2 varepsilon _ {ij}}$ představuje systém šesti diferenciálních rovnic pro stanovení tří složek posunutí ${ displaystyle u_ {i}}$, což dává příliš stanovený systém. Řešení tedy pro libovolný výběr složek deformace obecně neexistuje. Proto některá omezení, pojmenovaná rovnice kompatibility, jsou uvaleny na složky kmene. Přidáním tří rovnic kompatibility se počet nezávislých rovnic sníží na tři, což odpovídá počtu neznámých složek posunutí. Tato omezení tenzoru napětí objevila Saint-Venant a nazývají se „Rovnice kompatibility se Svatým Venantem ".

Funkce kompatibility slouží k zajištění funkce kontinuálního přemístění s jednou hodnotou ${ displaystyle u_ {i}}$. Pokud je elastické médium zobrazeno jako sada nekonečně malých kostek v nenapnutém stavu, po napnutí média nemusí libovolný tenzor přetažení přinést situaci, ve které zkreslené kostky stále do sebe zapadají bez překrývání.

V indexové notaci jsou rovnice kompatibility vyjádřeny jako

${ displaystyle varepsilon _ {ij, km} + varepsilon _ {km, ij} - varepsilon _ {ik, jm} - varepsilon _ {jm, ik} = 0}$

Inženýrská notace

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {x}} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {y}} { částečné x ^ {2}}} = 2 { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {xy}} { částečné x částečné y}}}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {y}} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {z}} { částečný y ^ {2}}} = 2 { frac { částečný ^ {2} epsilon _ {yz}} { částečný y částečný z}}}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {x}} { částečné z ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {z}} { částečné x ^ {2}}} = 2 { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {zx}} { částečné z částečné x}}}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {x}} { částečné y částečné z}} = { frac { částečné} { částečné x}} vlevo (- { frac { částečné epsilon _ {yz}} { částečné x}} + { frac { částečné epsilon _ {zx}} { částečné y}} + { frac { částečné epsilon _ {xy}} { částečné z}} vpravo)}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {y}} { částečné z částečné x}} = { frac { částečné} { částečné y}} vlevo ({ frac { částečné epsilon _ {yz}} { částečné x}} - { frac { částečné epsilon _ {zx}} { částečné y}} + { frac { částečné epsilon _ {xy}} { částečné z}} vpravo)}$ ${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} epsilon _ {z}} { částečné x částečné y}} = { frac { částečné} { částečné z}} vlevo ({ frac { částečné epsilon _ {yz}} { částečné x}} + { frac { částečné epsilon _ {zx}} { částečné y}} - { frac { částečné epsilon _ {xy}} { částečné z}} vpravo)}$

Speciální případy

Rovina napětí

Stav rovinné deformace v kontinuu.

Ve skutečných technických komponentech stres (a kmen) jsou 3-D tenzory ale v prizmatických strukturách, jako je dlouhý kovový sochor, je délka struktury mnohem větší než u ostatních dvou rozměrů. Kmeny spojené s délkou, tj. Normální kmen ${ displaystyle varepsilon _ {33}}$ a smykové kmeny ${ displaystyle varepsilon _ {13}}$ a ${ displaystyle varepsilon _ {23}}$ (pokud je délka ve 3 směrech) jsou omezeny blízkým materiálem a jsou ve srovnání s průřezové kmeny. Rovinné napětí je pak přijatelnou aproximací. The tenzor napětí pro rovinnou deformaci se píše jako:

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & 0 varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}}$

ve kterém dvojité podtržení označuje druhý řád tenzor. Tento stav napětí se nazývá rovinné napětí. Odpovídající tenzor napětí je:

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { sigma}}}} = { begin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & 0 sigma _ {21} & sigma _ {22} & 0 0 & 0 & sigma _ {33} end {bmatrix}}}$

ve kterém nenulová ${ displaystyle sigma _ {33}}$ je nutné k udržení omezení ${ displaystyle epsilon _ {33} = 0}$. Tento stresový člen lze z analýzy dočasně odstranit, aby se ponechaly pouze rovinné výrazy, čímž se 3D problém účinně sníží na mnohem jednodušší 2D problém.

Protiletadlový kmen

Protiletadlový kmen je další speciální stav kmene, který se může vyskytnout v těle, například v oblasti blízké a dislokace šroubu. The tenzor napětí pro protiletadlový kmen je dán vztahem

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { varepsilon}}}} = { begin {bmatrix} 0 a 0 & varepsilon _ {13} 0 & 0 & varepsilon _ {23} varepsilon _ {13} & varepsilon _ {23} & 0 end {bmatrix}}}$

Infinitezimální tenzor rotace

Infinitezimální tenzor napětí je definován jako

${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u }) ^ {T}]}$

Proto lze gradient posunutí vyjádřit jako

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { boldsymbol { varepsilon}} + { boldsymbol { omega}}}$

kde

${ displaystyle { boldsymbol { omega}}: = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} - ({ boldsymbol { nabla}} mathbf { u}) ^ {T}]}$

Množství ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ je nekonečně malý tenzor rotace. Tento tenzor je zkosení symetrické. Pro nekonečně malé deformace skalární složky ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ podmínku splnit ${ displaystyle | omega _ {ij} | ll 1}$. Všimněte si, že gradient posunutí je malý, pouze pokud oba tenzor přetvoření a tenzor rotace jsou nekonečně malé.

Axiální vektor

Šikmý symetrický tenzor druhého řádu má tři nezávislé skalární komponenty. Tyto tři komponenty se používají k definování axiální vektor, ${ displaystyle mathbf {w}}$, jak následuje

${ displaystyle omega _ {ij} = - epsilon _ {ijk} ~ w_ {k} ~; ~~ w_ {i} = - { tfrac {1} {2}} ~ epsilon _ {ijk} ~ omega _ {jk}}$

kde ${ displaystyle epsilon _ {ijk}}$ je symbol obměny. V maticové formě

${ displaystyle { underline { underline { boldsymbol { omega}}}} = { begin {bmatrix} 0 & -w_ {3} & w_ {2} w_ {3} & 0 & -w_ {1} -w_ {2} & w_ {1} & 0 end {bmatrix}} ~; ~~ { underline { mathbf {w}}} = { begin {bmatrix} w_ {1} w_ {2} w_ {3} end {bmatrix}}}$

Axiální vektor se také nazývá nekonečně malý rotační vektor. Vektor rotace souvisí s gradientem posunutí vztahem

${ displaystyle mathbf {w} = { tfrac {1} {2}} ~ { boldsymbol { nabla}} times mathbf {u}}$

V indexové notaci

${ displaystyle w_ {i} = { tfrac {1} {2}} ~ epsilon _ {ijk} ~ u_ {k, j}}$

Li ${ displaystyle lVert { boldsymbol { omega}} rVert ll 1}$ a ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} = { boldsymbol {0}}}$ pak materiál prochází přibližnou tuhou rotací tělesa o velikosti ${ displaystyle | mathbf {w} |}$ kolem vektoru ${ displaystyle mathbf {w}}$.

Vztah mezi tenzorem napětí a vektorem rotace

Vzhledem k souvislému poli posunutí s jednou hodnotou ${ displaystyle mathbf {u}}$ a odpovídající nekonečně malý tenzor napětí ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$, máme (viz Tenzorová derivace (mechanika kontinua) )

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = e_ {ijk} ~ varepsilon _ {lj, i} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf { e} _ {l} = { tfrac {1} {2}} ~ e_ {ijk} ~ [u_ {l, ji} + u_ {j, li}] ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {l}}$

Protože změna v pořadí diferenciace nezmění výsledek, ${ displaystyle u_ {l, ji} = u_ {l, ij}}$. Proto

${ displaystyle , e_ {ijk} u_ {l, ji} = (e_ {12k} + e_ {21k}) u_ {l, 12} + (e_ {13k} + e_ {31k}) u_ {l, 13 } + (e_ {23k} + e_ {32k}) u_ {l, 32} = 0}$

Taky

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} ~ e_ {ijk} ~ u_ {j, li} = left ({ tfrac {1} {2}} ~ e_ {ijk} ~ u_ {j, i } right) _ {, l} = left ({ tfrac {1} {2}} ~ e_ {kij} ~ u_ {j, i} right) _ {, l} = w_ {k, l} }$

Proto

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = w_ {k, l} ~ mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {l} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {w}}$

Vztah mezi tenzorem rotace a vektorem rotace

Z důležité identity týkající se zvlnění tenzoru víme, že pro kontinuální pole posunutí s jednou hodnotou ${ displaystyle mathbf {u}}$,

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u}) = { boldsymbol {0}}.}$

Od té doby ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { boldsymbol { varepsilon}} + { boldsymbol { omega}}}$ my máme${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { omega}} = - { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = - { boldsymbol { nabla} } mathbf {w}.}$

Tenzor napětí ve válcových souřadnicích

v válcové polární souřadnice (${ displaystyle r, theta, z}$), vektor posunutí lze zapsat jako

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {r} ~ mathbf {e} _ {r} + u _ { theta} ~ mathbf {e} _ { theta} + u_ {z} ~ mathbf {e } _ {z}}$

Složky tenzoru přetvoření ve válcovém souřadnicovém systému jsou dány vztahem:^[2]${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {rr} & = { cfrac { částečné u_ {r}} { částečné r}} varepsilon _ { theta theta} & = { cfrac {1} {r}} left ({ cfrac { částečné u _ { theta}} { částečné theta}} + u_ {r} pravé) varepsilon _ {zz} & = { cfrac { částečné u_ {z}} { částečné z}} varepsilon _ {r theta} & = { cfrac {1} {2}} vlevo ({ cfrac {1} {r}} { cfrac { částečné u_ {r}} { částečné theta}} + { cfrac { částečné u _ { theta}} { částečné r}} - { cfrac {u _ { theta}} {r} } right) varepsilon _ { theta z} & = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac { částečné u _ { theta}} { částečné z}} + { cfrac {1} {r}} { cfrac { částečné u_ {z}} { částečné theta}} vpravo) varepsilon _ {zr} & = { cfrac {1} {2}} vlevo ({ cfrac { částečné u_ {r}} { částečné z}} + { cfrac { částečné u_ {z}} { částečné r}} pravé) konec {zarovnáno}}}$

Tenzor napětí ve sférických souřadnicích

v sférické souřadnice (${ displaystyle r, theta, phi}$), vektor posunutí lze zapsat jako

Sférické souřadnice (r, θ, φ) jak se běžně používá v fyzika: radiální vzdálenost r, polární úhel θ (theta ) a azimutální úhel φ (phi ). Symbol ρ (rho ) se často používá místo r.

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {r} ~ mathbf {e} _ {r} + u _ { theta} ~ mathbf {e} _ { theta} + u _ { phi} ~ mathbf { e} _ { phi}}$

Složky tenzoru přetvoření ve sférickém souřadném systému jsou dány vztahem ^[2]

${ displaystyle { begin {aligned} varepsilon _ {rr} & = { cfrac { částečné u_ {r}} { částečné r}} varepsilon _ { theta theta} & = { cfrac {1} {r}} left ({ cfrac { částečné u _ { theta}} { částečné theta}} + u_ {r} pravé) varepsilon _ { phi phi} & = { cfrac {1} {r sin theta}} left ({ cfrac { částečné u _ { phi}} { částečné phi}} + u_ {r} sin theta + u _ { theta } cos theta right) varepsilon _ {r theta} & = { cfrac {1} {2}} left ({ cfrac {1} {r}} { cfrac { částečné u_ {r}}{partial heta }}+{cfrac {partial u_{ heta }}{partial r}}-{cfrac {u_{ heta }}{r}} ight) varepsilon _{ heta phi }&={cfrac {1}{2r}}left({cfrac {1}{sin heta }}{cfrac {partial u_{ heta }}{ partial phi }}+{cfrac {partial u_{phi }}{partial heta }}-u_{phi }cot heta ight)varepsilon _{phi r}& ={cfrac {1}{2}}left({cfrac {1}{rsin heta }}{cfrac {partial u_{r}}{partial phi }}+{cfrac {partial u_{phi }}{partial r}}-{cfrac {u_{phi }}{r}} ight)end{aligned}}}$