Opatření (matematika) - Measure (mathematics)

Neformálně má opatření tu vlastnost, že je monotónní v tom smyslu, že pokud A je podmnožina z B, míra A je menší nebo roven míře B. Opatření dále prázdná sada musí být 0.

v matematická analýza, a opatření na soubor je systematický způsob, jak každému vhodnému přiřadit číslo podmnožina této sady, intuitivně interpretované jako její velikost. V tomto smyslu je míra zobecněním pojmů délka, plocha a objem. Obzvláště důležitým příkladem je Lebesgueovo opatření na Euklidovský prostor, který přiřazuje konvenční délka, plocha, a objem z Euklidovská geometrie do vhodných podskupin n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ. Například Lebesgueova míra interval [0, 1] v reálná čísla je jeho délka v každodenním slova smyslu, konkrétně 1.

Technicky je opatření a funkce který přiřadí nezáporné reálné číslo nebo +∞ na (určité) podmnožiny sady X (vidět Definice níže). Dále to musí být spočetně aditivní: míra „velké“ podmnožiny, kterou lze rozložit na konečný (nebo spočetně nekonečný) počet „menších“ disjunktních podmnožin, se rovná součtu měr „menších“ podmnožin. Obecně platí, že pokud někdo chce spojit a konzistentní velikost do každý podmnožina dané množiny, zatímco uspokojuje ostatní axiomy míry, najde pouze triviální příklady jako počítání opatření. Tento problém byl vyřešen definováním míry pouze u dílčí kolekce všech podskupin; takzvaný měřitelný podmnožiny, které jsou nutné k vytvoření a σ-algebra. To znamená, že počítatelné odbory, spočítatelné křižovatky a doplňuje měřitelných podmnožin je měřitelných. Neměřitelné množiny v euklidovském prostoru, kde nelze důsledně definovat Lebesgueovu míru, jsou nutně komplikované ve smyslu špatného smíchání s jejich doplňkem.^[1] Ve skutečnosti je jejich existence netriviálním důsledkem axiom volby.

Teorie opatření byla vyvinuta v po sobě jdoucích fázích na konci 19. a počátku 20. století autorem Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon, a Maurice Fréchet, mezi ostatními. Hlavní aplikace opatření jsou v základech Lebesgueův integrál, v Andrey Kolmogorov je axiomatizace z teorie pravděpodobnosti a v ergodická teorie. V teorii integrace umožňuje určení míry definovat míru integrály v prostorech obecnějších než podmnožiny euklidovského prostoru; kromě toho je integrál s ohledem na Lebesgueovo opatření o euklidovských prostorech obecnější a má bohatší teorii než jeho předchůdce, Riemannův integrál. Teorie pravděpodobnosti považuje míry, které přiřazují celé množině velikost 1, a považuje měřitelné podmnožiny za události, jejichž pravděpodobnost je dána mírou. Ergodická teorie považuje opatření, která jsou neměnná podle nebo dynamický systém.

Definice

Počitatelná aditivita opatření μ: Míra spočetného nesouvislého spojení je stejná jako součet všech měr každé podskupiny.

Nechat X být sadou a Σ A σ-algebra přes X. Funkce μ z Σ do prodloužená řada reálných čísel se nazývá a opatření pokud splňuje následující vlastnosti:

• Nezápornost: Pro všechny E v Σ, máme μ(E) ≥ 0.
• Prázdná prázdná sada: ${displaystyle mu (varnothing) = 0}$.
• Počitatelná aditivita (nebo σ- aditivita ): Pro všechny počitatelný sbírky ${displaystyle {E_ {k}} _ {k = 1} ^ {infty}}$ párových disjunktní sady v Σ,

${displaystyle mu left (igsqcup _ {k = 1} ^ {infty} E_ {k} ight) = součet _ {k = 1} ^ {infty} mu (E_ {k}).}$

Pokud alespoň jedna sada ${displaystyle E}$ má konečnou míru, pak požadavek, že ${displaystyle mu (varnothing) = 0}$ je splněno automaticky. Počítatelnou aditivitou

${displaystyle mu (E) = mu (Ecup varnothing) = mu (E) + mu (varnothing),}$

a proto ${displaystyle mu (varnothing) = 0.}$

Pokud je splněna pouze druhá a třetí podmínka výše uvedené definice opatření, a μ přebírá nejvýše jednu z hodnot ±∞, pak μ se nazývá a podepsané opatření.

Dvojice (X, Σ) se nazývá a měřitelný prostor, jsou voláni členové Σ měřitelné sady. Li ${displaystyle left (X, Sigma _ {X} ight)}$ a ${displaystyle left (Y, Sigma _ {Y} ight)}$ jsou dva měřitelné prostory, pak funkce ${displaystyle f: X o Y}$ je nazýván měřitelný pokud pro každého Y-měřitelná sada ${displaystyle Bin Sigma _ {Y}}$, inverzní obraz je X-měřitelné - tj .: ${displaystyle f ^ {(- 1)} (B) v Sigma _ {X}}$. V tomto nastavení je složení měřitelných funkcí je měřitelný, takže měřitelné prostory a měřitelné funkce jsou kategorie, s měřitelnými prostory jako objekty a sadou měřitelných funkcí jako šipky. Viz také Měřitelná funkce # Varianty využití termínu o dalším nastavení.

A trojnásobný (X, Σ, μ) se nazývá a změřte prostor. A míra pravděpodobnosti je míra s celkovou mírou jedna - tj. μ(X) = 1. A pravděpodobnostní prostor je mírový prostor s mírou pravděpodobnosti.

Pro měření prostorů, které jsou také topologické prostory pro míru a topologii lze umístit různé podmínky kompatibility. Většina opatření byla v praxi splněna v roce 2006 analýza (a v mnoha případech také v teorie pravděpodobnosti ) jsou Radon měří. Radonová opatření mají alternativní definici, pokud jde o lineární funkcionály na lokálně konvexní prostor z spojité funkce s kompaktní podpora. Tento přístup zaujímá Bourbaki (2004) a řada dalších zdrojů. Další podrobnosti najdete v článku o Radon měří.

Příklady

Zde jsou uvedena některá důležitá opatření.

• The počítání opatření je definováno μ(S) = počet prvků v S.
• The Lebesgueovo opatření na R je kompletní překlad-invariantní opatření na a σ-algebra obsahující intervaly v R takhle μ([0, 1]) = 1; a každá další míra s těmito vlastnostmi rozšiřuje Lebesgueovu míru.
• Oběžník úhel míra je neměnná pod otáčení, a hyperbolický úhel míra je neměnná pod zmáčknout mapování.
• The Haarovo opatření pro místně kompaktní topologická skupina je zobecněním míry Lebesgue (a také míry počítání a míry kruhového úhlu) a má podobné vlastnosti jedinečnosti.
• The Hausdorffovo opatření je zobecněním Lebesgueovy míry na množiny s necelou dimenzí, zejména na fraktální množiny.
• Každý pravděpodobnostní prostor dává vzniknout míře, která vezme hodnotu 1 na celý prostor (a proto vezme všechny své hodnoty v jednotkový interval [0, 1]). Takové opatření se nazývá a míra pravděpodobnosti. Vidět pravděpodobnostní axiomy.
• The Diracova míra δ_A (srov. Diracova delta funkce ) je dáno δ_A(S) = χ_S(a), kde χ_S je funkce indikátoru z S. Míra množiny je 1, pokud obsahuje bod A a 0 jinak.

Mezi další „pojmenované“ míry používané v různých teoriích patří: Borelův rozměr, Jordan opatření, ergodická míra, Eulerovo opatření, Gaussova míra, Baireovo opatření, Radonová míra, Mladý opatření, a Loeb míra.

Ve fyzice je příkladem míry prostorové rozdělení Hmotnost (viz např. gravitační potenciál ) nebo jiný nezáporný rozsáhlý majetek, konzervovaný (vidět zákon o ochraně přírody nebo ne.) Záporné hodnoty vedou k podepsaným opatřením, viz níže „zobecnění“.

• Liouville opatření, známý také jako přirozená objemová forma na symplektickém potrubí, je užitečný v klasické statistické a hamiltonovské mechanice.
• Gibbsova míra je široce používán ve statistické mechanice, často pod tímto názvem kanonický soubor.

Základní vlastnosti

Nechat μ být měřítkem.

Monotónnost

Li E₁ a E₂ jsou měřitelné sady s E₁ ⊆ E₂ pak

${displaystyle mu (E_ {1}) leq mu (E_ {2}).}$

Míra spočetných spojení a křižovatek

Subadditivita

Pro všechny počitatelný sekvence E₁, E₂, E₃, ... (nemusí nutně disjunktních) měřitelných množin E_n v Σ:

${displaystyle mu left (igcup _ {i = 1} ^ {infty} E_ {i} ight) leq sum _ {i = 1} ^ {infty} mu (E_ {i}).}$

Spojitost zdola

Li E₁, E₂, E₃, ... jsou měřitelné množiny a ${displaystyle E_ {n} subseteq E_ {n + 1},}$ pro všechny n, pak svaz sad E_n je měřitelný a

${displaystyle mu left (igcup _ {i = 1} ^ {infty} E_ {i} ight) = lim _ {i o infty} mu (E_ {i}).}$

Spojitost shora

Li E₁, E₂, E₃, ... jsou měřitelné množiny a pro všechny n, ${displaystyle E_ {n + 1} subseteq E_ {n},}$ pak průsečík sad E_n je měřitelný; dále, pokud alespoň jeden z E_n má tedy konečnou míru

${displaystyle mu left (igcap _ {i = 1} ^ {infty} E_ {i} ight) = lim _ {i o infty} mu (E_ {i}).}$

Tato vlastnost je nepravdivá bez předpokladu, že alespoň jeden z E_n má konečnou míru. Například pro každého n ∈ N, nechť E_n = [n, ∞) ⊂ R, které mají nekonečnou Lebesgueovu míru, ale křižovatka je prázdná.

Sigma-konečná opatření

Mírový prostor (X, Σ, μ) se nazývá konečný, pokud μ(X) je konečné reálné číslo (spíše než ∞). Nenulové konečné míry jsou analogické k pravděpodobnostní opatření v tom smyslu, že jakékoli konečné opatření μ je úměrná míře pravděpodobnosti ${displaystyle {frac {1} {mu (X)}} mu}$. Opatření μ je nazýván σ-konečný -li X lze rozložit na spočetnou unii měřitelných sad konečné míry. Analogicky se říká, že množina v měrném prostoru má a σ-konečná míra pokud se jedná o spočetné sjednocení množin s konečnou mírou.

Například reálná čísla se standardem Lebesgueovo opatření jsou σ-konečné, ale ne konečné. Zvažte uzavřené intervaly [k, k+1] pro všechny celá čísla k; existuje nespočetně mnoho takových intervalů, každý má míru 1 a jejich sjednocením je celá reálná čára. Případně zvažte reálná čísla s počítání opatření, který přiřadí každé konečné sadě realů počet bodů v sadě. Tento měrný prostor není σ-konečný, protože každá množina s konečnou mírou obsahuje pouze konečně mnoho bodů a trvalo by nespočetně mnoho takových sad, aby pokryla celou skutečnou linii. Mezery σ-konečné míry mají některé velmi výhodné vlastnosti; σ-konečnost lze v tomto ohledu přirovnat k Vlastnost Lindelöf topologických prostorů. Lze je také považovat za vágní zobecnění myšlenky, že prostor míry může mít „nespočetnou míru“.

s-konečná opatření

O míře se říká, že je s-konečná, pokud jde o spočetný součet omezených měr. S-konečné míry jsou obecnější než sigma-konečné a mají aplikace v teorii stochastické procesy.

Úplnost

Měřitelná sada X se nazývá a nulová sada -li μ(X) = 0. Podmnožina nulové množiny se nazývá a zanedbatelná množina. Zanedbatelná množina nemusí být měřitelná, ale každá měřitelná zanedbatelná množina je automaticky nulová množina. Opatření se nazývá kompletní pokud je každá zanedbatelná množina měřitelná.

Míra může být rozšířena na úplnou zvážením σ-algebry podmnožin Y které se liší zanedbatelnou množinou od měřitelné množiny X, to znamená, že symetrický rozdíl z X a Y je obsažen v nulové sadě. Jeden definuje μ(Y) rovnat se μ(X).

Aditivita

Opatření musí být spočítatelně aditivní. Podmínku však lze posílit následovně: Pro jakoukoli sadu ${displaystyle I}$ a jakýkoli soubor nezáporných ${displaystyle r_ {i}, iin I}$ definovat:

${displaystyle sum _ {iin I} r_ {i} = sup leftlbrace sum _ {iin J} r_ {i}: | J |$

To znamená, že definujeme součet ${displaystyle r_ {i}}$ být supremem všech součtů konečně mnoha z nich.

Opatření ${displaystyle mu}$ na ${displaystyle Sigma}$ je ${displaystyle kappa}$-aditivní, pokud pro nějaké ${displaystyle lambda$ a jakákoli rodina disjunktních sad ${displaystyle X_ {alpha}, alpha$ následující blokování:

${displaystyle igcup _ {alpha in lambda} X_ {alpha} in Sigma}$

${displaystyle mu left (igcup _ {alpha in lambda} X_ {alpha} ight) = sum _ {alpha in lambda} mu left (X_ {alpha} ight).}$

Všimněte si, že druhá podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že ideál nulových sad je ${displaystyle kappa}$-kompletní.

Neměřitelné množiny

Pokud axiom volby se předpokládá, že je to pravda, lze dokázat, že ne všechny podmnožiny Euklidovský prostor jsou Lebesgue měřitelný; příklady takových sad zahrnují Sada Vitali a neměřitelné množiny postulované Hausdorffův paradox a Banach – Tarski paradox.

Zobecnění

Pro určité účely je užitečné mít „míru“, jejíž hodnoty nejsou omezeny na nezáporné reálné hodnoty nebo nekonečno. Například spočetná přísada nastavit funkci s hodnotami v (podepsaných) reálných číslech se nazývá a podepsané opatření, zatímco taková funkce s hodnotami v komplexní čísla se nazývá a komplexní opatření. Opatření, která nabývají hodnot v Banachovy prostory byly rozsáhle studovány.^[2] Míra, která bere hodnoty v sadě samoadjungovaných projekcí na a Hilbertův prostor se nazývá a míra projekce; ty se používají v funkční analýza pro spektrální věta. Pokud je nutné odlišit obvyklá měřítka, která berou nezáporné hodnoty, od zevšeobecnění, pak pojem pozitivní míra se používá. Pozitivní opatření jsou uzavřena pod kónická kombinace ale ne obecně lineární kombinace, zatímco podepsaná opatření jsou lineárním ukončením pozitivních opatření.

Další zobecnění je konečně aditivní míra, také známý jako a obsah. To je stejné jako opatření kromě toho, že místo požadavku počitatelný aditivitu požadujeme pouze konečný aditivita. Historicky byla tato definice použita jako první. Ukazuje se, že obecně jsou konečně aditivní míry spojeny s pojmy jako Banachovy limity, duální z L^∞ a Zhutnění Stone – Čech. Všechny tyto jsou nějakým způsobem spojeny s axiom volby. Obsah zůstává užitečný při určitých technických problémech v systému Windows teorie geometrických měr; toto je teorie Banachova opatření.

A nabít je zevšeobecnění v obou směrech: je to konečně aditivní, podepsaná míra.

Viz také

Reference

Bibliografie

externí odkazy

• "Opatření", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Výukový program: Teorie měření pro figuríny