Distribuce Chi - Chi distribution

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Distribuce chi"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

chi

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle k> 0 ,}$ (stupně svobody)
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {(k / 2) -1} gama (k / 2)}} ; x ^ {k-1} e ^ {- x ^ {2} / 2 }}$
CDF	${ displaystyle P (k / 2, x ^ {2} / 2) ,}$
Znamenat	${ displaystyle mu = { sqrt {2}} , { frac { gama ((k + 1) / 2)} { gama (k / 2)}}}$
Medián	${ displaystyle cca { sqrt {k { bigg (} 1 - { frac {2} {9k}} { bigg)} ^ {3}}}}$
Režim	${ displaystyle { sqrt {k-1}} ,}$ pro ${ displaystyle k geq 1}$
Rozptyl	${ displaystyle sigma ^ {2} = k- mu ^ {2} ,}$
Šikmost	${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { mu} { sigma ^ {3}}} , (1-2 sigma ^ {2})}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {2} { sigma ^ {2}}} (1- mu sigma gamma _ {1} - sigma ^ {2})}$
Entropie	${ displaystyle ln ( Gamma (k / 2)) + ,}$ ${ displaystyle { frac {1} {2}} (k ! - ! ln (2) ! - ! (k ! - ! 1) psi _ {0} (k / 2) )}$
MGF	Složité (viz text)
CF	Složité (viz text)

v teorie pravděpodobnosti a statistika, distribuce chi je spojitý rozdělení pravděpodobnosti. Jedná se o distribuci kladné druhé odmocniny součtu čtverců sady nezávislých náhodných proměnných, každá podle standardu normální distribuce nebo ekvivalentně distribuce Euklidovská vzdálenost náhodných proměnných z počátku. Souvisí to tedy s distribuce chí-kvadrát popisem distribuce kladných odmocnin proměnné, která se řídí distribucí chí-kvadrát.

Li ${ displaystyle Z_ {1}, ldots, Z_ {k}}$ jsou ${ displaystyle k}$ nezávislý, normálně distribuováno náhodné proměnné se střední hodnotou 0 a standardní odchylka 1, pak statistika

${ displaystyle Y = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {k} Z_ {i} ^ {2}}}}$

je distribuován podle distribuce chi. Distribuce chi má jeden parametr, ${ displaystyle k}$, který určuje počet stupně svobody (tj. počet ${ displaystyle Z_ {i}}$).

Nejznámějšími příklady jsou Rayleighova distribuce (distribuce chi se dvěma stupně svobody ) a Distribuce Maxwell – Boltzmann molekulárních rychlostí v an ideální plyn (rozdělení chi se třemi stupni volnosti).

Definice

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) chi-distribuce je

${ displaystyle f (x; k) = { begin {cases} { dfrac {x ^ {k-1} e ^ {- x ^ {2} / 2}} {2 ^ {k / 2-1} Gamma left ({ frac {k} {2}} right)}}, & x geq 0; 0, & { text {jinak}}. End {případy}}}$

kde ${ Displaystyle Gamma (z)}$ je funkce gama.

Funkce kumulativní distribuce

Funkce kumulativní distribuce je dána vztahem:

${ displaystyle F (x; k) = P (k / 2, x ^ {2} / 2) ,}$

kde ${ displaystyle P (k, x)}$ je regularizovaná funkce gama.

Generování funkcí

The funkce generující momenty darováno:

${ displaystyle M (t) = M vlevo ({ frac {k} {2}}, { frac {1} {2}}, { frac {t ^ {2}} {2}} vpravo ) + t { sqrt {2}} , { frac { Gamma ((k + 1) / 2)} { Gamma (k / 2)}} M vlevo ({ frac {k + 1} {2}}, { frac {3} {2}}, { frac {t ^ {2}} {2}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle M (a, b, z)}$ je Kummer konfluentní hypergeometrická funkce. The charakteristická funkce darováno:

${ displaystyle varphi (t; k) = M vlevo ({ frac {k} {2}}, { frac {1} {2}}, { frac {-t ^ {2}} {2 }} right) + it { sqrt {2}} , { frac { Gamma ((k + 1) / 2)} { Gamma (k / 2)}} M left ({ frac { k + 1} {2}}, { frac {3} {2}}, { frac {-t ^ {2}} {2}} vpravo).}$

Vlastnosti

Okamžiky

Syrové momenty jsou pak dány:

${ displaystyle mu _ {j} = int _ {0} ^ { infty} f (x; k) x ^ {j} dx = 2 ^ {j / 2} { frac { gama ((k + j) / 2)} { Gamma (k / 2)}}}$

kde ${ Displaystyle Gamma (z)}$ je funkce gama. Prvních pár surových momentů je tedy:

${ displaystyle mu _ {1} = { sqrt {2}} , , { frac { gama ((k ! + ! 1) / 2)} { gama (k / 2)} }}$

${ displaystyle mu _ {2} = k ,}$

${ displaystyle mu _ {3} = 2 { sqrt {2}} , , { frac { gama ((k ! + ! 3) / 2)} { gama (k / 2) }} = (k + 1) mu _ {1}}$

${ displaystyle mu _ {4} = (k) (k + 2) ,}$

${ displaystyle mu _ {5} = 4 { sqrt {2}} , , { frac { gama ((k ! + ! 5) / 2)} { gama (k / 2) }} = (k + 1) (k + 3) mu _ {1}}$

${ displaystyle mu _ {6} = (k) (k + 2) (k + 4) ,}$

kde jsou výrazy zcela vpravo odvozeny pomocí vztahu opakování pro funkci gama:

${ Displaystyle Gamma (x + 1) = x Gamma (x) ,}$

Z těchto výrazů můžeme odvodit následující vztahy:

Znamenat: ${ displaystyle mu = { sqrt {2}} , , { frac { gama ((k + 1) / 2)} { gama (k / 2)}}}$

Varianta: ${ displaystyle V = k- mu ^ {2} ,}$

Šikmost: ${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { mu} { sigma ^ {3}}} , (1-2 sigma ^ {2})}$

Přebytek kurtosy: ${ displaystyle gamma _ {2} = { frac {2} { sigma ^ {2}}} (1- mu sigma gamma _ {1} - sigma ^ {2})}$

Entropie

Entropie je dána:

${ displaystyle S = ln ( Gamma (k / 2)) + { frac {1} {2}} (k ! - ! ln (2) ! - ! (k ! - ! 1) psi ^ {0} (k / 2))}$

kde ${ displaystyle psi ^ {0} (z)}$ je funkce polygammy.

Velká aproximace n

Zjistili jsme velkou n = k + 1 aproximaci průměru a rozptylu chi distribuce. To má aplikaci např. při hledání distribuce směrodatné odchylky vzorku normálně distribuované populace, kde n je velikost vzorku.

Průměr je pak:

${ displaystyle mu = { sqrt {2}} , , { frac { gama (n / 2)} { gama ((n-1) / 2)}}}$

Používáme Legendární duplikační vzorec psát:

${ Displaystyle 2 ^ {n-2} , Gamma ((n-1) / 2) cdot Gamma (n / 2) = { sqrt { pi}} Gamma (n-1)}$,

aby:

${ displaystyle mu = { sqrt {2 / pi}} , 2 ^ {n-2} , { frac {( Gamma (n / 2)) ^ {2}} { Gamma (n -1)}}}$

Použitím Stirlingova aproximace pro funkci Gamma dostaneme následující výraz pro střední hodnotu:

${ displaystyle mu = { sqrt {2 / pi}} , 2 ^ {n-2} , { frac { left ({ sqrt {2 pi}} (n / 2-1) ^ {n / 2-1 + 1/2} e ^ {- (n / 2-1)} cdot [1 + { frac {1} {12 (n / 2-1)}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}}})] right) ^ {2}} {{ sqrt {2 pi}} (n-2) ^ {n-2 + 1/2} e ^ {- (n-2)} cdot [1 + { frac {1} {12 (n-2)}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}}})]}}}$

${ displaystyle = (n-2) ^ {1/2} , cdot left [1 + { frac {1} {4n}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}} }) right] = { sqrt {n-1}} , (1 - { frac {1} {n-1}}) ^ {1/2} cdot left [1 + { frac { 1} {4n}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}}}) right]}$

${ displaystyle = { sqrt {n-1}} , cdot left [1 - { frac {1} {2n}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}}}) right] , cdot left [1 + { frac {1} {4n}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}}}) right]}$

${ displaystyle = { sqrt {n-1}} , cdot left [1 - { frac {1} {4n}} + O ({ frac {1} {n ^ {2}}}) že jo]}$

A tak je rozptyl:

${ displaystyle V = (n-1) - mu ^ {2} , = (n-1) cdot { frac {1} {2n}} , cdot left [1 + O ({ frac {1} {n}}) right]}$

Související distribuce

• Li ${ displaystyle X sim chi _ {k}}$ pak ${ displaystyle X ^ {2} sim chi _ {k} ^ {2}}$ (distribuce chí-kvadrát )
• ${ displaystyle lim _ {k to infty} { tfrac { chi _ {k} - mu _ {k}} { sigma _ {k}}} { xrightarrow {d}} N ( 0,1) ,}$ (Normální distribuce )
• Li ${ displaystyle X sim N (0,1) ,}$ pak ${ displaystyle | X | sim chi _ {1} ,}$
• Li ${ displaystyle X sim chi _ {1} ,}$ pak ${ Displaystyle sigma X sim HN ( sigma) ,}$ (poloviční normální rozdělení ) pro všechny ${ displaystyle sigma> 0 ,}$
• ${ displaystyle chi _ {2} sim mathrm {Rayleigh} (1) ,}$ (Rayleighova distribuce )
• ${ displaystyle chi _ {3} sim mathrm {Maxwell} (1) ,}$ (Maxwellova distribuce )
• ${ displaystyle | { boldsymbol {N}} _ {i = 1, ldots, k} {(0,1)} | _ {2} sim chi _ {k}}$ (The 2-norma z ${ displaystyle k}$ standardní normálně distribuované proměnné je distribuce chi s ${ displaystyle k}$ stupně svobody )
• distribuce chi je speciální případ zobecněná distribuce gama nebo Distribuce nakagami nebo necentrální distribuce chi
• Průměr distribuce chi (zmenšen druhou odmocninou z) ${ displaystyle n-1}$) poskytuje korekční faktor v nestranný odhad směrodatné odchylky normálního rozdělení.

Různé distribuce chi a chi-kvadrát

název	Statistický
distribuce chí-kvadrát	${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2} }$
necentrální distribuce chí-kvadrát	${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2}}$
distribuce chi	${ displaystyle { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2}}}}$
necentrální distribuce chi	${ displaystyle { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {k} vlevo ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} vpravo) ^ {2}}}}$

Viz také

• Distribuce nakagami

Reference

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistiky s Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Encyklopedický slovník polymerů sv. 1 (2010), dodatek E, p. 972.

externí odkazy

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html