Vícerozměrná Laplaceova distribuce - Multivariate Laplace distribution - Wikipedia

Vícerozměrný Laplace (asymetrický)
Parametry	μ ∈ Rk — umístění; Σ ∈ Rk × k — kovariance (pozitivně definitivní matice )
Podpěra, podpora	X ∈ μ + rozpětí (Σ) ⊆ Rk
PDF	; kde a je upravená Besselova funkce druhého druhu.
Znamenat	μ
Rozptyl	Σ + μ ' μ
Šikmost	nenulové, pokud μ=0
CF

Vícerozměrný Laplace (symetrický)
Parametry	μ ∈ Rk — umístění; Σ ∈ Rk × k — kovariance (pozitivně definitivní matice )
Podpěra, podpora	X ∈ μ + rozpětí (Σ) ⊆ Rk
PDF	Li ,; ; kde a je upravená Besselova funkce druhého druhu.
Znamenat	μ
Režim	μ
Rozptyl	Σ
Šikmost	0
CF

V matematické teorii pravděpodobnosti vícerozměrné distribuce Laplace jsou rozšíření Laplaceova distribuce a asymetrická Laplaceova distribuce na více proměnných. The mezní rozdělení symetrických vícerozměrných proměnných Laplaceova rozdělení jsou Laplaceovy distribuce. Okrajové distribuce asymetrických vícerozměrných Laplaceových distribučních proměnných jsou asymetrické Laplaceovy distribuce.^[1]

Symetrická vícerozměrná Laplaceova distribuce

Typická charakterizace symetrického vícerozměrného Laplaceova rozdělení má charakteristická funkce:

{ displaystyle varphi (t; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac { exp (i { boldsymbol { mu}} ' mathbf {t}) } {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t} '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t}}},}

kde ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ je vektor prostředek pro každou proměnnou a ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ je kovarianční matice.^[2]

Na rozdíl od vícerozměrné normální rozdělení, i když má kovarianční matice nulu kovariance a korelace proměnné nejsou nezávislé.^[1] Symetrické vícerozměrné Laplaceovo rozdělení je eliptický.^[1]

Funkce hustoty pravděpodobnosti

Li ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$ , funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro a k-dimenzionální vícerozměrná distribuce Laplace se stává:

{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = { frac {2} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0,5}}} left ({ frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2}} right) ^ {v / 2} K_ {v} left ({ sqrt {2 mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}}} right),}

kde:

${ displaystyle v = (2-k) / 2}$ a ${ displaystyle K_ {v}}$ je upravená Besselova funkce druhého druhu.^[1]

V korelovaném dvojrozměrném případě, tj. k = 2, s ${ displaystyle mu _ {1} = mu _ {2} = 0}$ pdf se zmenší na:

{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {1} { pi sigma _ {1} sigma _ {2} { sqrt {1 rho ^ {2}}}}} K_ {0} left ({ sqrt { frac {2 left ({ frac {x_ {1} ^ {2}} { sigma _ {1} ^ { 2}}} - { frac {2 rho x_ {1} x_ {2}} { sigma _ {1} sigma _ {2}}} + { frac {x_ {2} ^ {2}} { sigma _ {2} ^ {2}}} right)} {1- rho ^ {2}}}} right),}

kde:

${ displaystyle sigma _ {1}}$ a ${ displaystyle sigma _ {2}}$ jsou standardní odchylky z ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ , respektive, a ${ displaystyle rho}$ je korelační koeficient z ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ .^[1]

U nezávislého dvojrozměrného případu Laplace to tedy je k = 2, ${ displaystyle mu _ {1} = mu _ {2} = rho = 0}$ a ${ displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {2} = 1}$ , PDF se stává:

{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, x_ {2}) = { frac {1} { pi}} K_ {0} left ({ sqrt {2 (x_ {1 } ^ {2} + x_ {2} ^ {2})}} vpravo).}

^[1]

Asymetrická vícerozměrná Laplaceova distribuce

Typická charakterizace asymetrického vícerozměrného Laplaceova rozdělení má charakteristická funkce:

{ displaystyle varphi (t; { boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Sigma}}) = { frac {1} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t } '{ boldsymbol { Sigma}} mathbf {t} -i { boldsymbol { mu}} mathbf {t}}}.}

^[1]

Stejně jako u symetrického vícerozměrného Laplaceova rozdělení má asymetrické vícerozměrné Laplaceovo rozdělení průměr ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ , ale kovariance se stává ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}} + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { mu}}}$ .^[3] Asymetrické vícerozměrné Laplaceovo rozdělení není eliptické, pokud ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$ , v takovém případě se distribuce redukuje na symetrické vícerozměrné Laplaceovo rozdělení s ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$ .^[1]

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) pro a k-dimenzionální asymetrické vícerozměrné Laplaceovo rozdělení je:

{ displaystyle f _ { mathbf {x}} (x_ {1}, ldots, x_ {k}) = { frac {2e ^ { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} {(2 pi) ^ {k / 2} | { boldsymbol { Sigma}} | ^ {0,5}}} { Big (} { frac { mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2 + { boldsymbol { mu}}' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}}} { Big)} ^ {v / 2} K_ {v} { Big (} { sqrt {(2 + { boldsymbol { mu}} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} { boldsymbol { mu}}) ( mathbf {x} '{ boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x})}} { Big)} ,}

kde:

${ displaystyle v = (2-k) / 2}$ a ${ displaystyle K_ {v}}$ je upravená Besselova funkce druhého druhu.^[1]

Asymetrické Laplaceovo rozdělení, včetně zvláštního případu ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$ , je příkladem a geometrické stabilní rozdělení.^[3] Představuje omezující rozdělení pro součet nezávislé, identicky distribuované náhodné proměnné s konečnou odchylkou a kovariancí, kde počet prvků, které mají být sečteny, je sám o sobě nezávislou náhodnou proměnnou distribuovanou podle a geometrické rozdělení.^[1] Takové geometrické částky mohou vzniknout v praktických aplikacích v biologii, ekonomii a pojišťovnictví.^[1] Distribuce může být také použitelná v širších situacích k modelování vícerozměrných dat s těžšími ocasy než normální distribuce, ale konečná momenty.^[1]

Vztah mezi exponenciální rozdělení a Laplaceova distribuce umožňuje jednoduchou metodu simulace dvojrozměrných asymetrických Laplaceových proměnných (včetně případu ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$ ). Simulujte dvojrozměrný normální vektor náhodné proměnné ${ displaystyle mathbf {Y}}$ z distribuce s ${ displaystyle mu _ {1} = mu _ {2} = 0}$ a kovarianční matice ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ . Nezávisle simulujte exponenciální náhodné proměnné W z distribuce Exp (1). ${ displaystyle mathbf {X} = { sqrt {W}} mathbf {Y} + W { boldsymbol { mu}}}$ bude distribuován (asymetrický) dvojrozměrný Laplace se střední hodnotou ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ a kovarianční matice ${ displaystyle { boldsymbol { Sigma}}}$ .^[1]

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Kotz. Samuel; Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof (2001). Laplaceova distribuce a zobecnění. Birkhauser. str. 229–245. ISBN 0817641661.
^ Fragiadakis, Konstantinos & Meintanis, Simos G. (březen 2011). "Testy shody pro vícerozměrné Laplaceovy distribuce". Matematické a počítačové modelování. 53 (5–6): 769–779. doi:10.1016 / j.mcm.2010.10.014.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ ^A ^b Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof; Rychlik, Igor (2010). "Vícerozměrné zobecnění Laplaceových distribucí a souvisejících náhodných polí" (PDF). University of Gothenburg. Citováno 2017-05-28.

[kotz-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Kotz. Samuel; Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof (2001). Laplaceova distribuce a zobecnění. Birkhauser. str. 229–245. ISBN 0817641661.

[fit-2] Fragiadakis, Konstantinos & Meintanis, Simos G. (březen 2011). "Testy shody pro vícerozměrné Laplaceovy distribuce". Matematické a počítačové modelování. 53 (5–6): 769–779. doi:10.1016 / j.mcm.2010.10.014.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[multi-3] A ^b Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof; Rychlik, Igor (2010). "Vícerozměrné zobecnění Laplaceových distribucí a souvisejících náhodných polí" (PDF). University of Gothenburg. Citováno 2017-05-28.

[1]

[2]

[3]

Pravděpodobnostní rozdělení (Seznam )
Diskrétní univariate s konečnou podporou	Benford Bernoulli beta-binomický binomický kategorický hypergeometrický Poissonův binomický Rademacher soliton diskrétní uniforma Zipf Zipf – Mandelbrot
Diskrétní univariate s nekonečnou podporou	beta negativní binomický Borel Conway – Maxwell – Poisson diskrétní fázový typ Delaporte rozšířený záporný binomický Flory – Schulz Gauss – Kuzmin geometrický logaritmický negativní binomický Panjer parabolický fraktál jed Skellam Yule – Simon zeta
Kontinuální univariate podporováno v omezeném intervalu	arcsine ARGUS Plešatění - Nichols Bates beta beta obdélníkový kontinuální Bernoulli Irwin – Hall Kumaraswamy logit-normální noncentral beta zvýšený kosinus reciproční trojúhelníkový U-kvadratický jednotný Wigner půlkruh
Kontinuální univariate podporováno v poloneomezeném intervalu	Benini Benktander 1. druhu Benktander 2. druhu beta prime Burr chi-kvadrát chi Dagum Davise exponenciálně-logaritmická Erlang exponenciální F složené normální Fréchet gama gama / Gompertz zobecněná gama generalizovaná inverzní Gaussian Gompertz poloviční logistika napůl normální Hotelling's T- naštvaný hyper-Erlang hyperexponenciální hypoexponenciální inverzní chí-kvadrát měřítko inverzní chi-kvadrát inverzní Gaussian inverzní gama Kolmogorov Lévy log-Cauchy log-Laplace log-logistické normální log Lomax matice-exponenciální Maxwell – Boltzmann Maxwell – Jüttner Mittag-Leffler Nakagami necentrální chi-kvadrát necentrální F Pareto fázový typ poly-Weibull Rayleigh relativistický Breit – Wigner Rýže posunul Gompertz zkrácen normální Gumbel typu 2 Weibulle diskrétní Weibull Wilksova lambda
Kontinuální univariate podporováno na celé reálné linii	Cauchy exponenciální síla Fisher z Gaussian q zobecněný normální generalizované hyperbolické geometrický stabilní Gumbel Holtsmark hyperbolický sekans Johnson S_U Landau Laplace asymetrický Laplace logistické necentrální t normální (Gaussian) normálně-inverzní Gaussian zkosení normální rozřezat stabilní Studentské t Gumbel typu 1 Tracy – Widom variance-gama Voigt
Kontinuální univariate s podporou, jejíž typ se liší	generalizovaný chí-kvadrát zobecněná extrémní hodnota zobecněný Pareto Marchenko – Pastur q-exponenciální q-Gaussian q-Weibulle posunutá log-logistika Tukey lambda
Smíšené spojité diskrétní univariate	opravený Gaussian
Vícerozměrný (společný)	Oddělený Ewens multinomiální Dirichlet-multinomiální negativní multinomiální Kontinuální Dirichlet zobecněný Dirichlet vícerozměrný Laplace vícerozměrný normální multivariační stabilní vícerozměrný t normální-inverzní-gama normální-gama Maticovou hodnotu inverzní matice gama inverzní Wishart matice normální matice t matice gama normální-inverzní-Wishart normální-Wishart Wishart
Směrový	Univariate (kruhový) směrový Kruhová uniforma univariate von Mises zabalené normální zabalený Cauchy zabalený exponenciál zabalený asymetrický Laplace zabalený Lévy Bivariate (sférické) Kent Bivariate (toroidní) bivariát von Mises Vícerozměrný von Mises – Fisher Bingham
Degenerovat a jednotné číslo	Degenerovat Diracova delta funkce Jednotné číslo Cantor
Rodiny	Oběžník složený Poisson eliptický exponenciální přirozený exponenciál měřítko umístění maximální entropie směs Pearson Tweedie zabalené

Parametry	μ ∈ R^k — umístění Σ ∈ R^{k × k} — kovariance (pozitivně definitivní matice )
Podpěra, podpora	X ∈ μ + rozpětí (Σ) ⊆ R^k
PDF	Li ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} = mathbf {0}}$ , ${ displaystyle { frac {2} {(2 pi) ^ {k / 2} \| { boldsymbol { Sigma}} \| ^ {0,5}}} vlevo ({ frac { mathbf {x} ' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}} {2}} vpravo) ^ {v / 2} K_ {v} vlevo ({ sqrt {2 mathbf {x} ' { boldsymbol { Sigma}} ^ {- 1} mathbf {x}}} right),}$ kde ${ displaystyle v = (2-k) / 2}$ a ${ displaystyle K_ {v}}$ je upravená Besselova funkce druhého druhu.
Znamenat	μ
Režim	μ
Rozptyl	Σ
Šikmost	0
CF	${ displaystyle { frac { exp (i { boldsymbol { mu}} ' mathbf {t})} {1 + { tfrac {1} {2}} mathbf {t}' { boldsymbol { Sigma}} mathbf {t}}}}$