Funkce nárazu - Bump function

Graf funkce bump ${ displaystyle (x, y) v mathbf {R} ^ {2} mapsto Psi (r),}$ kde ${ displaystyle r = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ { frac {1} {2}}}$ a ${ displaystyle Psi (r) = e ^ {- { frac {1} {1-r ^ {2}}}} cdot mathbf {1} _ { {| r | <1 }}. }$

v matematika, a bump funkce (také nazývaný a testovací funkce) je funkce ${ displaystyle f: mathbf {R} ^ {n} to mathbf {R}}$ na Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ což je obojí hladký (ve smyslu mít kontinuální deriváty všech objednávek) a kompaktně podporováno. The soubor všech funkcí bump s doména ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ tvoří a vektorový prostor, označeno ${ displaystyle C_ {0} ^ { infty} ( mathbf {R} ^ {n})}$ nebo ${ displaystyle C_ {c} ^ { infty} ( mathbf {R} ^ {n})}$. The dvojí prostor tohoto prostoru obdařen vhodným topologie je prostor distribuce.

Příklady

Funkce ${ displaystyle Psi: mathbf {R} rightarrow mathbf {R}}$ dána

${ displaystyle Psi (x) = { begin {cases} exp left (- { frac {1} {1-x ^ {2}}} right), & x in (-1,1) 0, & { mbox {jinak}} end {případů}}}$

je příkladem funkce bump v jedné dimenzi. Z konstrukce je zřejmé, že tato funkce má kompaktní podporu, protože funkce reálné linie má kompaktní podporu právě tehdy, pokud má omezenou a uzavřenou podporu. Důkaz hladkosti následuje ve stejných řádcích jako pro související funkci popsanou v Neanalytická plynulá funkce článek. Tuto funkci lze interpretovat jako Gaussova funkce ${ displaystyle exp (-y ^ {2})}$ v měřítku, aby se vešel do disku jednotky: substituce ${ displaystyle y ^ {2} = 1 / (1-x ^ {2})}$ odpovídá odeslání ${ displaystyle x = pm 1}$ na ${ displaystyle y = infty}$.

Jednoduchý příklad funkce bump v ${ displaystyle n}$ proměnné se získá součinem ${ displaystyle n}$ kopie výše uvedené funkce bump v jedné proměnné, takže

${ displaystyle Phi (x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n}) = Psi (x_ {1}) Psi (x_ {2}) cdots Psi (x_ {n} ).}$

Existence nárazových funkcí

Ilustrace sad v konstrukci.

Je možné konstruovat bump funkce „podle specifikací“. Formálně uvedeno, pokud ${ displaystyle K}$ je libovolný kompaktní sada v ${ displaystyle n}$ rozměry a ${ displaystyle U}$ je otevřená sada obsahující ${ displaystyle K}$, existuje funkce bump ${ displaystyle phi}$ který je ${ displaystyle 1}$ na ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle 0}$ mimo ${ displaystyle U}$. Od té doby ${ displaystyle U}$ lze považovat za velmi malé sousedství ${ displaystyle K}$, to znamená schopnost konstruovat funkci, která je ${ displaystyle 1}$ na ${ displaystyle K}$ a rychle spadne na ${ displaystyle 0}$ mimo ${ displaystyle K}$, přestože je stále hladký.

Stavba probíhá následovně. Jeden zvažuje kompaktní sousedství ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle K}$ obsaženo v ${ displaystyle U}$, tak ${ displaystyle K subseteq V ^ { circ} subseteq V subseteq U}$. The charakteristická funkce ${ displaystyle chi _ {V}}$ z ${ displaystyle V}$ bude rovna ${ displaystyle 1}$ na ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle 0}$ mimo ${ displaystyle V}$, tak to zejména bude ${ displaystyle 1}$ na ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle 0}$ mimo ${ displaystyle U}$. Tato funkce však není plynulá. Klíčovou myšlenkou je uhladit ${ displaystyle chi _ {V}}$ trochu tím, že konvoluce z ${ displaystyle chi _ {V}}$ s změkčovač. Ta druhá je jen funkce bump s velmi malou podporou a jejíž integrál je ${ displaystyle 1}$. Takový změkčovač lze získat například použitím funkce bump ${ displaystyle Phi}$ z předchozí části a provedení příslušných škálování.

Vlastnosti a použití

I když jsou funkce bump plynulé, nemohou být analytický pokud ne zmizet identický. Toto je jednoduchý důsledek věta identity. Bump funkce se často používají jako změkčovače, jako hladký mezní funkce, a vytvořit hladký rozdělení jednoty. Jsou nejběžnější třídou testovací funkce použitý v analýze. Prostor funkcí bump je uzavřen pod mnoha operacemi. Například součet, produkt nebo konvoluce dvou funkcí bump je opět funkce bump a libovolná operátor diferenciálu s hladkými koeficienty, když se použijí na funkci bump, vytvoří další funkci bump.

The Fourierova transformace funkce bump je (skutečná) analytická funkce a lze ji rozšířit na celou komplexní rovinu: proto ji nelze kompaktně podporovat, pokud není nulová, protože jedinou celou analytickou funkcí bump je funkce nula (viz Paley – Wienerova věta a Liouvilleova věta ). Protože funkce bump je nekonečně diferencovatelná, její Fourierova transformace se musí rozpadat rychleji než jakákoli konečná síla ${ displaystyle 1 / k}$ pro velkou úhlovou frekvenci ${ displaystyle | k |}$.^[1] Fourierova transformace konkrétní funkce nárazu

${ displaystyle Psi (x) = e ^ {- { frac {1} {1-x ^ {2}}}} mathbf {1} _ { {| x | <1 }}}$

shora lze analyzovat pomocí a metoda sedlového bodu a rozpadá se asymptoticky jako

${ displaystyle | k | ^ {- { frac {3} {4}}} e ^ {- { sqrt {| k |}}}}$

pro velké ${ displaystyle | k |}$.^[2]

Viz také

• Laplacian indikátoru
• Neanalytická plynulá funkce
• Schwartzův prostor

Reference