Distribuce kumaraswamy - Kumaraswamy distribution

Kumaraswamy

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle a> 0 ,}$ (nemovitý) ${ displaystyle b> 0 ,}$ (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v (0,1) ,}$
PDF	${ displaystyle abx ^ {a-1} (1-x ^ {a}) ^ {b-1} ,}$
CDF	${ displaystyle 1- (1-x ^ {a}) ^ {b}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {b Gamma (1 + { tfrac {1} {a}}) Gamma (b)} { Gamma (1 + { tfrac {1} {a}} + b)} } ,}$
Medián	${ displaystyle left (1-2 ^ {- 1 / b} right) ^ {1 / a}}$
Režim	${ displaystyle left ({ frac {a-1} {ab-1}} right) ^ {1 / a}}$ pro ${ displaystyle a geq 1, b geq 1, (a, b) neq (1,1)}$
Rozptyl	(komplikovaný - viz text)
Šikmost	(komplikovaný - viz text)
Př. špičatost	(komplikovaný - viz text)
Entropie	${ displaystyle left (1 ! - ! { tfrac {1} {b}} right) + left (1 ! - ! { tfrac {1} {a}} right) H_ { b} - ln (ab)}$

v pravděpodobnost a statistika, Dvojitě ohraničená distribuce Kumaraswamy je rodina spojitá rozdělení pravděpodobnosti definované na intervalu (0,1). Je to podobné jako u Distribuce beta, ale mnohem jednodušší k použití zejména v simulačních studiích od jeho funkce hustoty pravděpodobnosti, kumulativní distribuční funkce a kvantilové funkce lze vyjádřit v uzavřená forma. Tuto distribuci původně navrhl Poondi Kumaraswamy^[1] pro proměnné, které jsou spodní a horní hranice s nulovou inflací. Toto bylo rozšířeno na inflace v obou extrémech [0,1] v.^[2]

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti distribuce Kumaraswamy, aniž by byla vzata v úvahu jakákoli inflace

${ displaystyle f (x; a, b) = abx ^ {a-1} {(1-x ^ {a})} ^ {b-1}, { mbox {kde}} x v (0,1),}$

a kde A a b jsou nezáporné parametry tvaru.

Funkce kumulativní distribuce

The kumulativní distribuční funkce je

${ displaystyle F (x; a, b) = int _ {0} ^ {x} f ( xi; a, b) d xi = 1- (1-x ^ {a}) ^ {b} . }$

Kvantilní funkce

Funkce inverzní kumulativní distribuce (funkce kvantilu) je

${ displaystyle F (y; a, b) ^ {- 1} = (1- (1-y) ^ { frac {1} {b}}) ^ { frac {1} {a}}. }$

Zobecnění na podporu libovolného intervalu

Ve své nejjednodušší podobě má distribuce podporu (0,1). V obecnější podobě normalizovaná proměnná X je nahrazen nezměněnou a neškálovanou proměnnou z kde:

${ displaystyle x = { frac {z-z _ { text {min}}} {z _ { text {max}} - z _ { text {min}}}}, qquad z _ { text {min} } leq z leq z _ { text {max}}. , !}$

Vlastnosti

Syrové momenty distribuce Kumaraswamy jsou dány vztahem:^[3][4]

${ displaystyle m_ {n} = { frac {b Gamma (1 + n / a) Gamma (b)} { Gamma (1 + b + n / a)}} = bB (1 + n / a , b) ,}$

kde B je Funkce Beta a Γ (.) označuje Funkce gama. Rozptyl, šikmost, a nadměrná špičatost lze vypočítat z těchto surových momentů. Například varianta je:

${ displaystyle sigma ^ {2} = m_ {2} -m_ {1} ^ {2}.}$

The Shannonova entropie (v nats) distribuce je:^[5]

${ displaystyle H = left (1 ! - ! { tfrac {1} {a}} right) + left (1 ! - ! { tfrac {1} {b}} right) H_ {b} - ln (ab)}$

kde ${ displaystyle H_ {i}}$ je harmonické číslo funkce.

Vztah k distribuci beta

Distribuce Kumaraswamy úzce souvisí s distribucí beta.^[6]Předpokládat, že X_{a, b} je distribuován Kumaraswamy náhodná proměnná s parametry A a b.Pak X_{a, b} je A-tý kořen vhodně definované Beta distribuované náhodné proměnné. Formálně více, Let Y_{1, b} označit a Beta distribuována náhodná proměnná s parametry ${ displaystyle alpha = 1}$ a ${ displaystyle beta = b}$Jeden má následující vztah mezi X_{a, b} a Y_{1, b}.

${ displaystyle X_ {a, b} = Y_ {1, b} ^ {1 / a},}$

s rovností v distribuci.

${ displaystyle operatorname {P} {X_ {a, b} leq x } = int _ {0} ^ {x} abt ^ {a-1} (1-t ^ {a}) ^ { b-1} dt = int _ {0} ^ {x ^ {a}} b (1-t) ^ {b-1} dt = operatorname {P} {Y_ {1, b} leq x ^ {a} } = operatorname {P} {Y_ {1, b} ^ {1 / a} leq x }.}$

Jeden může zavést zobecněné Kumaraswamy distribuce zvážením náhodných proměnných formuláře${ displaystyle Y _ { alpha, beta} ^ {1 / gamma}}$, s ${ displaystyle gamma> 0}$ a kde ${ displaystyle Y _ { alpha, beta}}$označuje Beta distribuovanou náhodnou proměnnou s parametry ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$. Syrové momenty této zobecněné distribuce kumaraswamy jsou dány vztahem:

${ displaystyle m_ {n} = { frac { Gamma ( alpha + beta) Gamma ( alpha + n / gamma)} { Gamma ( alpha) Gamma ( alpha + beta + n / gamma)}}.}$

Všimněte si, že můžeme znovu získat původní nastavení momentů ${ displaystyle alpha = 1}$, ${ displaystyle beta = b}$ a ${ displaystyle gamma = a}$Obecně však funkce kumulativní distribuce nemá uzavřené řešení.

Související distribuce

• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1,1) ,}$ pak ${ displaystyle X sim U (0,1) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim U (0,1) ,}$ (Rovnoměrné rozdělení (kontinuální) ) pak ${ displaystyle {{ Big (} 1 - { left (1-X right)} ^ { tfrac {1} {b}} { Big)}} ^ { tfrac {1} {a}} sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, b) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Beta}} (1, b) ,}$ (Distribuce beta ) pak ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, b) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Beta}} (a, 1) ,}$ (Distribuce beta ) pak ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) ,}$ pak ${ displaystyle (1-X) sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, a) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, a) ,}$ pak ${ displaystyle (1-X) sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, 1) ,}$ pak ${ displaystyle - log (X) sim { textrm {exponenciální}} (a) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (1, b) ,}$ pak ${ displaystyle - log (1-X) sim { textrm {exponenciální}} (b) ,}$
• Li ${ displaystyle X sim { textrm {Kumaraswamy}} (a, b) ,}$ pak ${ displaystyle X sim { textrm {GB1}} (a, 1,1, b) ,}$, zobecněná beta distribuce prvního druhu.

Příklad

Příkladem použití distribuce Kumaraswamy je skladovací objem rezervoáru kapacity z jehož horní mez je z_max a dolní mez je 0, což je také přirozeným příkladem toho, že máme dvě nafouknutí, protože mnoho rezervoárů má nenulovou pravděpodobnost pro stav prázdného i plného rezervoáru.^[2]

Reference