Zabalené Cauchyovo rozdělení - Wrapped Cauchy distribution

Zabalený Cauchy

Funkce hustoty pravděpodobnosti Podpora je vybrána jako [-π, π)
Funkce kumulativní distribuce Podpora je vybrána jako [-π, π)
Parametry	${ displaystyle mu}$ Nemovitý ${ displaystyle gamma> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle - pi leq theta < pi}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} , { frac { sinh ( gamma)} { cosh ( gamma) - cos ( theta - mu)}}}$
CDF	${ displaystyle ,}$
Znamenat	${ displaystyle mu}$ (oběžník)
Rozptyl	${ displaystyle 1-e ^ {- gamma}}$ (oběžník)
Entropie	${ displaystyle ln (2 pi (1-e ^ {- 2 gamma}))}$ (rozdíl)
CF	${ displaystyle e ^ {in mu - | n | gamma}}$

v teorie pravděpodobnosti a směrová statistika, a zabalená Cauchyova distribuce je zabalené rozdělení pravděpodobnosti který je výsledkem "zabalení" souboru Cauchyovo rozdělení okolo jednotkový kruh. Cauchyova distribuce je někdy známá jako Lorentzianova distribuce a zabalená Cauchyova distribuce může být někdy označována jako zabalená Lorentzianova distribuce.

Zabalená Cauchyova distribuce se často nachází v oblasti spektroskopie, kde se používá k analýze difrakčních obrazců (viz např. Interferometr Fabry – Pérot ).

Popis

The funkce hustoty pravděpodobnosti zabaleného Cauchyovo rozdělení je:^[1]

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} { frac { gamma} { pi ( gamma ^ {2} + ( theta - mu +2 pi n) ^ {2})}}}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je měřítkový faktor a ${ displaystyle mu}$ je poloha píku „nezabalené“ distribuce. Vyjadřování výše uvedený pdf ve smyslu charakteristická funkce Cauchyho distribučních výnosů:

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} e ^ {v ( theta - mu) - | n | gamma} = { frac {1} {2 pi}} , , { frac { sinh gamma} { cosh gamma - cos ( theta - mu)}}}$

PDF lze také vyjádřit pomocí kruhové proměnné z = e ^{i θ} a složitý parametr ζ = e ^{i (μ + i γ)}

${ displaystyle f_ {WC} (z; zeta) = { frac {1} {2 pi}} , , { frac {1- | zeta | ^ {2}} {| z- zeta | ^ {2}}}}$

kde, jak je uvedeno níže, ζ = .

Z hlediska kruhové proměnné ${ displaystyle z = e ^ {i theta}}$ kruhové momenty zabalené Cauchyho distribuce jsou charakteristickou funkcí Cauchyho distribuce vyhodnocenou celočíselnými argumenty:

${ displaystyle langle z ^ {n} rangle = int _ { Gamma} e ^ {in theta} , f_ {WC} ( theta; mu, gamma) , d theta = e ^ {in mu - | n | gamma}.}$

kde ${ displaystyle Gamma ,}$ je nějaký interval délky ${ displaystyle 2 pi}$. První okamžik je pak průměrná hodnota z, také známý jako střední výslednice nebo střední výsledný vektor:

${ displaystyle langle z rangle = e ^ {i mu - gamma}}$

Střední úhel je

${ displaystyle langle theta rangle = mathrm {Arg} langle z rangle = mu}$

a délka středního výslednice je

${ displaystyle R = | langle z rangle | = e ^ {- gamma}}$

čímž se získá kruhový rozptyl 1-R.

Odhad parametrů

Série N Měření ${ displaystyle z_ {n} = e ^ {i theta _ {n}}}$ čerpané z zabalené Cauchyho distribuce lze použít k odhadu určitých parametrů distribuce. Průměr série ${ displaystyle { overline {z}}}$ je definován jako

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} součet _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

a jeho očekávaná hodnota bude jen první okamžik:

${ displaystyle langle { overline {z}} rangle = e ^ {i mu - gamma}}$

Jinými slovy, ${ displaystyle { overline {z}}}$ je nezaujatý odhad prvního okamžiku. Pokud předpokládáme, že poloha vrcholu ${ displaystyle mu}$ leží v intervalu ${ displaystyle [- pi, pi)}$, pak Arg${ displaystyle ({ overline {z}})}$ bude (zkreslený) odhad polohy píku ${ displaystyle mu}$.

Prohlížení ${ displaystyle z_ {n}}$ jako sada vektorů v komplexní rovině je ${ displaystyle { overline {R}} ^ {2}}$ statistika je délka průměrovaného vektoru:

${ displaystyle { overline {R}} ^ {2} = { overline {z}} , { overline {z ^ {*}}} = left ({ frac {1} {N}} součet _ {n = 1} ^ {N} cos theta _ {n} doprava) ^ {2} + doleva ({ frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ { N} sin theta _ {n} vpravo) ^ {2}}$

a jeho očekávaná hodnota je

${ displaystyle langle { overline {R}} ^ {2} rangle = { frac {1} {N}} + { frac {N-1} {N}} e ^ {- 2 gamma} .}$

Jinými slovy statistika

${ displaystyle R_ {e} ^ {2} = { frac {N} {N-1}} left ({ overline {R}} ^ {2} - { frac {1} {N}} že jo)}$

bude nezaujatý odhadce ${ displaystyle e ^ {- 2 gamma}}$, a ${ displaystyle ln (1 / R_ {e} ^ {2}) / 2}$ bude (zaujatý) odhadce ${ displaystyle gamma}$.

Entropie

The informační entropie zabalené Cauchyho distribuce je definována jako:^[1]

${ displaystyle H = - int _ { Gamma} f_ {WC} ( theta; mu, gamma) , ln (f_ {WC} ( theta; mu, gamma)) , d theta}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je jakýkoli interval délky ${ displaystyle 2 pi}$. Logaritmus hustoty zabaleného Cauchyova rozdělení lze zapsat jako a Fourierova řada v ${ displaystyle theta ,}$:

${ displaystyle ln (f_ {WC} ( theta; mu, gamma)) = c_ {0} +2 součet _ {m = 1} ^ { infty} c_ {m} cos (m theta)}$

kde

${ displaystyle c_ {m} = { frac {1} {2 pi}} int _ { Gamma} ln left ({ frac { sinh gamma} {2 pi ( cosh gamma - cos theta)}} vpravo) cos (m theta) , d theta}$

který dává:

${ displaystyle c_ {0} = ln vlevo ({ frac {1-e ^ {- 2 gamma}} {2 pi}} vpravo)}$

(srov. Gradshteyn a Ryzhik^[2] 4.224.15) a

${ displaystyle c_ {m} = { frac {e ^ {- m gamma}} {m}} qquad mathrm {for} , m> 0}$

(srov. Gradshteyn a Ryzhik^[2] 4,397,6). Reprezentace charakteristické funkce pro zabalené Cauchyovo rozdělení na levé straně integrálu je:

${ displaystyle f_ {WC} ( theta; mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} vlevo (1 + 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} phi _ {n} cos (n theta) right)}$

kde ${ displaystyle phi _ {n} = e ^ {- | n | gamma}}$. Nahrazením těchto výrazů do entropického integrálu, výměnou pořadí integrace a součtu a použitím ortogonality kosinů lze entropii zapsat:

${ displaystyle H = -c_ {0} -2 součet _ {m = 1} ^ { infty} phi _ {m} c_ {m} = - ln left ({ frac {1-e ^ {-2 gamma}} {2 pi}} right) -2 sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {- 2n gamma}} {n}}}$

Série je jen Taylorova expanze pro logaritmus ${ displaystyle (1-e ^ {- 2 gamma})}$ takže entropie může být zapsána uzavřená forma tak jako:

${ displaystyle H = ln (2 pi (1-e ^ {- 2 gamma})) ,}$

Kruhové Cauchyovo rozdělení

Li X je Cauchy distribuován s mediánem μ a parametrem měřítka γ, pak komplexní proměnnou

${ displaystyle Z = { frac {X-i} {X + i}}}$

má jednotkový modul a je distribuován na jednotkovém kruhu s hustotou:^[3]

${ displaystyle f_ {CC} ( theta, mu, gamma) = { frac {1} {2 pi}} { frac {1- | zeta | ^ {2}} {| e ^ { i theta} - zeta | ^ {2}}}}$

kde

${ displaystyle zeta = { frac { psi -i} { psi + i}}}$

a ψ vyjadřuje dva parametry přidruženého lineárního Cauchyova rozdělení pro X jako komplexní číslo:

${ displaystyle psi = mu + já gama ,}$

Je vidět, že kruhové Cauchyovo rozdělení má stejnou funkční formu jako zabalené Cauchyho rozdělení z a ζ (tj. f_toaleta(z, ζ)). Kruhová distribuce Cauchy je přeparametrovaná zabalená Cauchyova distribuce:

${ displaystyle f_ {CC} ( theta, m, gamma) = f_ {WC} vlevo (e ^ {i theta}, , { frac {m + i gamma -i} {m + i gamma + i}} vpravo)}$

Distribuce ${ displaystyle f_ {CC} ( theta; mu, gamma)}$ se nazývá Cauchyovo rozdělení^[3][4] (také komplexní Cauchyovo rozdělení^[3]) s parametry μ a γ. (Viz také McCullaghova parametrizace Cauchyho distribucí a Poissonovo jádro pro související pojmy.)

Kruhové Cauchyovo rozdělení vyjádřené ve složité formě má konečné momenty všech řádů

${ displaystyle operatorname {E} [Z ^ {n}] = zeta ^ {n}, quad operatorname {E} [{ bar {Z}} ^ {n}] = { bar { zeta }} ^ {n}}$

pro celé číslo n ≥ 1. Pro | φ | <1, transformace

${ displaystyle U (z, phi) = { frac {z- phi} {1 - { bar { phi}} z}}}$

je holomorfní na disku jednotky a transformované proměnné U(Z, φ) je distribuován jako komplexní Cauchy s parametrem U(ζ, φ).

Vzhledem k vzorku z₁, ..., z_n velikosti n > 2, rovnice maximální pravděpodobnosti

${ Displaystyle n ^ {- 1} U left (z, { hat { zeta}} right) = n ^ {- 1} sum U left (z_ {j}, { hat { zeta }} vpravo) = 0}$

lze vyřešit jednoduchou iterací s pevným bodem:

${ displaystyle zeta ^ {(r + 1)} = U left (n ^ {- 1} U (z, zeta ^ {(r)}), , - zeta ^ {(r)} že jo),}$

začínající na ζ⁽⁰⁾ = 0. Pořadí hodnot pravděpodobnosti neklesá a řešení je jedinečné pro vzorky obsahující alespoň tři odlišné hodnoty.^[5]

Odhad maximální pravděpodobnosti pro medián (${ displaystyle { hat { mu}}}$) a parametr měřítka (${ displaystyle { hat { gamma}}}$) skutečného Cauchyova vzorku se získá inverzní transformací:

${ displaystyle { hat { mu}} pm i { hat { gamma}} = i { frac {1 + { hat { zeta}}} {1 - { hat { zeta}} }}.}$

Pro n ≤ 4, výrazy uzavřené formy jsou známé ${ displaystyle { hat { zeta}}}$.^[6] Hustota odhadu maximální věrohodnosti při t v jednotkovém disku je nutně ve tvaru:

${ displaystyle { frac {1} {4 pi}} { frac {p_ {n} ( chi (t, zeta))} {(1- | t | ^ {2}) ^ {2} }},}$

kde

${ displaystyle chi (t, zeta) = { frac {| t- zeta | ^ {2}} {4 (1- | t | ^ {2}) (1- | zeta | ^ {2 })}}}$.

Vzorce pro p₃ a p₄ jsou dostupné.^[7]

Viz také

• Zabalená distribuce
• Dirac hřeben
• Zabalené normální rozdělení
• Kruhové rovnoměrné rozdělení
• McCullaghova parametrizace Cauchyho distribucí

Reference

• Borradaile, Graham (2003). Statistika údajů o Zemi. Springer. ISBN  978-3-540-43603-4. Citováno 31.prosince 2009.
• Fisher, N. I. (1996). Statistická analýza kruhových dat. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-56890-6. Citováno 2010-02-09.