Erlang distribuce - Erlang distribution

Erlang

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle k in {1,2,3, ldots },}$ tvar ${ displaystyle lambda v (0, infty),}$ hodnotit alt .: ${ displaystyle mu = 1 / lambda,}$ měřítko
Podpěra, podpora	${ displaystyle x v [0, infty)}$
PDF	${ displaystyle { frac { lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- lambda x}} {(k-1)!}}}$
CDF	${ displaystyle P (k, lambda x) = { frac { gamma (k, lambda x)} {(k-1)!}} = 1- součet _ {n = 0} ^ {k- 1} { frac {1} {n!}} E ^ {- lambda x} ( lambda x) ^ {n}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac {k} { lambda}}}$
Medián	Žádná jednoduchá uzavřená forma
Režim	${ displaystyle { frac {1} { lambda}} (k-1)}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac {k} { lambda ^ {2}}}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2} { sqrt {k}}}}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {6} {k}}}$
Entropie	${ displaystyle (1-k) psi (k) + ln doleva [{ frac { gama (k)} { lambda}} doprava] + k}$
MGF	${ displaystyle left (1 - { frac {t} { lambda}} right) ^ {- k}}$ pro ${ displaystyle t < lambda}$
CF	${ displaystyle left (1 - { frac {it} { lambda}} right) ^ {- k}}$

The Erlang distribuce je dvojparametrová rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti s Podpěra, podpora ${ displaystyle x v [0, infty)}$. Dva parametry jsou:

• kladné celé číslo ${ displaystyle k,}$ "tvar" a
• kladné reálné číslo ${ displaystyle lambda,}$ stupnice". Měřítko", ${ displaystyle mu,}$ převrácená hodnota sazby se někdy používá místo.

Distribuce Erlang s parametrem tvaru ${ displaystyle k = 1}$ zjednodušuje na exponenciální rozdělení. Jedná se o speciální případ gama distribuce. Jde o rozdělení součtu ${ displaystyle k}$ nezávislý exponenciální proměnné s průměrem ${ displaystyle 1 / lambda}$ každý.

Distribuci Erlang vyvinul A. K. Erlang zkoumat počet telefonních hovorů, které by mohly být současně uskutečňovány operátorům spínacích stanic. Tato práce na telefonu dopravní inženýrství byl rozšířen o čekací doby v systémy řazení do fronty obecně. Distribuce se také používá v oblasti stochastické procesy.

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

The funkce hustoty pravděpodobnosti distribuce Erlang je

${ displaystyle f (x; k, lambda) = { lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- lambda x} over (k-1)!} quad { mbox { pro}} x, lambda geq 0,}$

Parametr k se nazývá parametr tvaru a parametr ${ displaystyle lambda}$ se nazývá parametr rychlosti.

Alternativní, ale ekvivalentní parametrizace používá parametr měřítka ${ displaystyle mu}$, což je převrácená hodnota parametru rychlosti (tj. ${ displaystyle mu = 1 / lambda}$):

${ displaystyle f (x; k, mu) = { frac {x ^ {k-1} e ^ {- { frac {x} { mu}}}} { mu ^ {k} (k -1)!}} Quad { mbox {for}} x, mu geq 0.}$

Když parametr měřítka ${ displaystyle mu}$ se rovná 2, distribuce se zjednoduší na distribuce chí-kvadrát s 2k stupně svobody. Lze jej tedy považovat za zobecněná distribuce chí-kvadrát pro sudý počet stupňů volnosti.

Funkce kumulativní distribuce (CDF)

The kumulativní distribuční funkce distribuce Erlang je

${ displaystyle F (x; k, lambda) = P (k, lambda x) = { frac { gamma (k, lambda x)} {(k-1)!}},}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je nižší neúplná funkce gama a ${ displaystyle P}$ je nižší regularizovaná funkce gama CDF může být také vyjádřen jako

${ displaystyle F (x; k, lambda) = 1- součet _ {n = 0} ^ {k-1} { frac {1} {n!}} e ^ {- lambda x} ( lambda x) ^ {n}.}$

Medián

Asymptotická expanze je známá pro medián distribuce Erlang,^[1] pro které lze vypočítat koeficienty a hranice jsou známy.^[2][3] Aproximace je ${ displaystyle { frac {k} { lambda}} vlevo (1 - { dfrac {1} {3k + 0,2}} vpravo),}$ tj. pod průměrem ${ displaystyle { frac {k} { lambda}}.}$^[4]

Generování náhodně distribuovaných proměnných Erlang

Erlangově distribuované náhodné variace mohou být generovány z rovnoměrně distribuovaných náhodných čísel (${ displaystyle U v (0,1]}$) pomocí následujícího vzorce:^[5]

${ displaystyle E (k, lambda) přibližně - { frac {1} { lambda}} ln prod _ {i = 1} ^ {k} U_ {i}}$

Aplikace

Čekací doby

Události, které se vyskytnou nezávisle s určitou průměrnou rychlostí, jsou modelovány pomocí a Poissonův proces. Čekací doby mezi k výskyty události jsou distribuovány Erlang. (Související otázku počtu událostí v daném čase popisuje Poissonovo rozdělení.)

Distribuci Erlang, která měří čas mezi příchozími hovory, lze použít ve spojení s očekávanou dobou příchozích hovorů k získání informací o provozním zatížení měřeném v erlangech. To lze použít k určení pravděpodobnosti ztráty nebo zpoždění paketu podle různých předpokladů o tom, zda jsou blokovaná volání přerušena (vzorec Erlang B) nebo zařazena do fronty, dokud nebudou doručena (vzorec Erlang C). The Erlang-B a C vzorce jsou stále v každodenním použití pro modelování provozu pro aplikace, jako je návrh call centra.

Další aplikace

Věkové rozdělení rakovina výskyt často následuje Erlangovo rozdělení, zatímco parametry tvaru a měřítka předpovídají počet události řidiče a časový interval mezi nimi.^[6] Obecněji se Erlangova distribuce navrhuje jako dobrá aproximace distribuce času buněčného cyklu, jako výsledek vícestupňových modelů.^[7][8]

Používá se také v podnikové ekonomice k popisu časů mezi nákupy.^[9]

Vlastnosti

• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Erlang} (k, lambda)}$ pak ${ displaystyle a cdot X sim operatorname {Erlang} left (k, { frac { lambda} {a}} right)}$ s ${ displaystyle a in mathbb {R}}$
• Li ${ displaystyle X sim operatorname {Erlang} (k_ {1}, lambda)}$ a ${ displaystyle Y sim operatorname {Erlang} (k_ {2}, lambda)}$ pak ${ displaystyle X + Y sim operatorname {Erlang} (k_ {1} + k_ {2}, lambda)}$

Související distribuce

• Erlangovo rozdělení je rozdělení součtu k nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné, z nichž každý má exponenciální rozdělení. Dlouhodobá míra výskytu událostí je převrácená hodnota očekávání ${ displaystyle X,}$ to je ${ displaystyle lambda / k.}$ Míra (událost specifická pro věk) distribuce Erlang je pro ${ displaystyle k> 1,}$ monotónní v ${ displaystyle x,}$ zvýšení z 0 na ${ displaystyle x = 0,}$ na ${ displaystyle lambda}$ tak jako ${ displaystyle x}$ inklinuje k nekonečnu.^[10]
  • To je: pokud ${ displaystyle X_ {i} sim operatorname {Exponential} ( lambda),}$ pak ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {k} {X_ {i}} sim operatorname {Erlang} (k, lambda)}$
• Kvůli faktoriální funkci ve jmenovateli PDF a CDF, distribuce Erlang je definována pouze tehdy, když je parametr k je kladné celé číslo. Ve skutečnosti se této distribuci někdy říká Erlang-k rozdělení (např. distribuce Erlang-2 je distribucí Erlang s ${ displaystyle k = 2}$). The gama distribuce zobecňuje distribuci Erlang povolením k být libovolné kladné reálné číslo pomocí funkce gama místo faktoriální funkce.
  • To znamená: pokud k je an celé číslo a ${ displaystyle X sim operatorname {Gamma} (k, lambda),}$ pak ${ displaystyle X sim operatorname {Erlang} (k, lambda)}$
• Li ${ displaystyle U sim operatorname {exponenciální} ( lambda)}$ a ${ displaystyle V sim operatorname {Erlang} (n, lambda)}$ pak ${ displaystyle { frac {U} {V}} + 1 sim operatorname {Pareto} (1, n)}$
• Distribuce Erlang je zvláštním případem Pearsonova distribuce typu III^{[Citace je zapotřebí ]}
• Distribuce Erlang souvisí s distribuce chí-kvadrát. Li ${ displaystyle X sim operatorname {Erlang} (k, lambda),}$ pak ${ displaystyle 2 lambda X sim chi _ {2k} ^ {2}.}$^{[Citace je zapotřebí ]}
• Distribuce Erlang souvisí s Poissonovo rozdělení podle Poissonův proces: Pokud ${ displaystyle S_ {n} = součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ takhle ${ displaystyle X_ {i} sim operatorname {Exponential} ( lambda),}$ pak ${ displaystyle S_ {n} sim operatorname {Erlang} (n, lambda)}$ a ${ displaystyle operatorname {Pr} (N (x) leq n-1) = operatorname {Pr} (S_ {n}> x) = 1-F_ {X} (x; n, lambda) = součet _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {1} {k!}} e ^ {- lambda x} ( lambda x) ^ {k}.}$ Převzetí rozdílů ${ displaystyle n}$ dává Poissonovo rozdělení.

Viz také

• Coxian distribuce
• Výpočet Engset
• Erlang B vzorec
• Erlang jednotka
• Fázová distribuce
• Model generování provozu

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Erlang distribution“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Poznámky

Reference

• Ian Angus „Úvod do Erlang B a Erlang C“, Telemanagement # 187 (dokument PDF - obsahuje výrazy a vzorce plus krátkou biografii)
• Stuart Harris „Erlang Calculation vs. Simulation“

externí odkazy

• Erlangová distribuce
• Dimenzování zdrojů pomocí Erlang-B a Erlang-C