Distribuce Zeta - Zeta distribution - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Distribuce Zeta“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

zeta

Funkce pravděpodobnostní hmotnosti Plot Zeta PMF na stupnici log-log. (Funkce je definována pouze při celočíselných hodnotách k. Spojovací čáry neindikují spojitost.)
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle s v (1, infty)}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle k in {1,2, ldots }}$
PMF	${ displaystyle { frac {1 / k ^ {s}} { zeta (y)}}}$
CDF	${ displaystyle { frac {H_ {k, s}} { zeta (s)}}}$
Znamenat	${ displaystyle { frac { zeta (s-1)} { zeta (s)}} ~ { textrm {for}} ~ s> 2}$
Režim	${ displaystyle 1 ,}$
Rozptyl	${ displaystyle { frac { zeta (s) zeta (s-2) - zeta (s-1) ^ {2}} { zeta (s) ^ {2}}} ~ { textrm {pro }} ~ s> 3}$
Entropie	${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1 / k ^ {s}} { zeta (s)}} log (k ^ {s} zeta (s)) . , !}$
MGF	${ displaystyle { frac { operatorname {Li} _ {s} (e ^ {t})} { zeta (s)}}}$
CF	${ displaystyle { frac { operatorname {Li} _ {s} (e ^ {it})} { zeta (s)}}}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, distribuce zeta je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Li X je distribuován zeta náhodná proměnná s parametrem s, pak pravděpodobnost, že X přebírá celočíselnou hodnotu k je dán funkce pravděpodobnostní hmotnosti

${ displaystyle f_ {s} (k) = k ^ {- s} / zeta (s) ,}$

kde ζ (s) je Funkce Riemann zeta (což není definováno pro s = 1).

Násobnost odlišnosti hlavní faktory z X jsou nezávislý náhodné proměnné.

The Funkce Riemann zeta je součtem všech podmínek ${ displaystyle k ^ {- s}}$ pro kladné celé číslo k, se tedy jeví jako normalizace Distribuce Zipf. Pojmy „distribuce Zipf“ a „distribuce zeta“ se často používají zaměnitelně. Ale všimněte si, že zatímco distribuce Zeta je rozdělení pravděpodobnosti sama o sobě není spojena s Zipfův zákon se stejným exponentem. Viz také Distribuce Yule – Simon

Definice

Distribuce Zeta je definována pro kladná celá čísla ${ displaystyle k geq 1}$a jeho funkce pravděpodobnostní hmotnosti je dána vztahem

${ displaystyle P (x = k) = { frac {1} { zeta (s)}} k ^ {- s}}$,

kde ${ displaystyle s> 1}$ je parametr a ${ displaystyle zeta (s)}$ je Funkce Riemann zeta.

Funkce kumulativního rozdělení je dána vztahem

${ displaystyle P (x leq k) = { frac {H_ {k, s}} { zeta (s)}},}$

kde ${ displaystyle H_ {k, s}}$ je zobecněný harmonické číslo

${ displaystyle H_ {k, s} = součet _ {i = 1} ^ {k} { frac {1} {i ^ {s}}}.}$

Okamžiky

The nth syrové okamžik je definována jako očekávaná hodnota Xⁿ:

${ displaystyle m_ {n} = E (X ^ {n}) = { frac {1} { zeta (s)}} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {sn}}}}$

Řada vpravo je pouze řadovým vyjádřením funkce Riemann zeta, ale konverguje pouze pro hodnoty ${ displaystyle s-n}$ které jsou větší než jednota. Tím pádem:

${ displaystyle m_ {n} = left {{ begin {matrix} zeta (sn) / zeta (s) & { textrm {for}} ~ n$

Všimněte si, že poměr funkcí zeta je dobře definovaný, dokonce i pro n > s - 1, protože sériová reprezentace funkce zeta může být analyticky pokračovalo. To nemění skutečnost, že momenty jsou specifikovány samotnou sérií, a proto nejsou definovány pro velké n.

Funkce generování momentů

The funkce generování momentů je definován jako

${ displaystyle M (t; s) = E (e ^ {tX}) = { frac {1} { zeta (s)}} součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { e ^ {tk}} {k ^ {s}}}.}$

Série je pouze definicí polylogaritmus, platný pro ${ displaystyle e ^ {t} <1}$ aby

${ displaystyle M (t; s) = { frac { operatorname {Li} _ {s} (e ^ {t})} { zeta (s)}} { text {for}} t <0. }$

The Taylor série rozšíření této funkce nemusí nutně přinést momenty distribuce. Taylorova řada využívající momenty, které se obvykle vyskytují ve výnosech funkcí generujících momenty

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {m_ {n} t ^ {n}} {n!}},}$

což samozřejmě není dobře definováno pro žádnou konečnou hodnotu s protože okamžiky se stanou nekonečnými pro velké n. Použijeme-li analyticky pokračující výrazy namísto samotných momentů, získáme z řady reprezentaci polylogaritmus

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} sum _ {n = 0, n neq s-1} ^ { infty} { frac { zeta (sn)} {n! }} , t ^ {n} = { frac { operatorname {Li} _ {s} (e ^ {t}) - Phi (s, t)} { zeta (s)}}}$

pro ${ displaystyle scriptstyle | t | , <, 2 pi}$. ${ displaystyle scriptstyle Phi (s, t)}$ darováno

${ displaystyle Phi (s, t) = gama (1-s) (- t) ^ {s-1} { text {pro}} s neq 1,2,3 ldots}$

${ displaystyle Phi (s, t) = { frac {t ^ {s-1}} {(s-1)!}} doleva [H_ {s} - ln (-t) doprava] { text {for}} s = 2,3,4 ldots}$

${ displaystyle Phi (s, t) = - ln (-t) { text {pro}} s = 1, ,}$

kde H_s je harmonické číslo.

Pouzdro s = 1

ζ (1) je nekonečný jako harmonická řada, a tak v případě, kdy s = 1 nemá smysl. Pokud však A je libovolná sada kladných celých čísel, která má hustotu, tj. pokud

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {N (A, n)} {n}}}$

existuje kde N(A, n) je počet členů A menší nebo rovno n, pak

${ displaystyle lim _ {s až 1 ^ {+}} P (X v A) ,}$

se rovná této hustotě.

Druhá mez může také existovat v některých případech, kdy A nemá hustotu. Například pokud A je sada všech kladných celých čísel, jejichž první číslice je d, pak A nemá žádnou hustotu, ale druhá výše uvedená hranice existuje a je úměrná

${ Displaystyle log (d + 1) - log (d) = log left (1 + { frac {1} {d}} right), ,}$

který je Benfordův zákon.

Nekonečná dělitelnost

Distribuce Zeta může být konstruována se sekvencí nezávislých náhodných proměnných s a Geometrické rozdělení. Nechat ${ displaystyle p}$ být prvočíslo a ${ displaystyle X (p ^ {- s})}$ být náhodná proměnná s geometrickým rozdělením parametru ${ displaystyle p ^ {- s}}$, jmenovitě

${ displaystyle quad quad quad mathbb {P} left (X (p ^ {- s}) = k right) = p ^ {- ks} (1-p ^ {- s})}$

Pokud náhodné proměnné ${ displaystyle (X (p ^ {- s})) _ {p v { mathcal {P}}}}$ jsou tedy nezávislé, tedy náhodná proměnná ${ displaystyle Z_ {s}}$ definován

${ displaystyle quad quad quad Z_ {s} = prod _ {p in { mathcal {P}}} p ^ {X (p ^ {- s})}}$

má distribuci Zeta: ${ displaystyle mathbb {P} left (Z_ {s} = n right) = { frac {1} {n ^ {s} zeta (s)}}}$.

Jinak řečeno, náhodná proměnná ${ displaystyle log (Z_ {s}) = součet _ {p in { mathcal {P}}} X (p ^ {- s}) , log (p)}$ je nekonečně dělitelný s Lévyho opatření dáno následujícím součtem Diracké masy  :

${ displaystyle quad quad quad Pi _ {s} (dx) = sum _ {p in { mathcal {P}}} sum _ {k geqslant 1} { frac {p ^ { -ks}} {k}} delta _ {k log (p)} (dx)}$

Viz také

Další „mocenské“ distribuce

• Cauchyovo rozdělení
• Lévyho distribuce
• Lévy vychýlí alfa stabilní distribuci
• Paretova distribuce
• Zipfův zákon
• Zákon Zipf – Mandelbrot
• Nekonečně dělitelná distribuce

externí odkazy

• Gut, Allane. "Několik poznámek k Riemannově distribuci zeta". CiteSeerX  10.1.1.66.3284. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc) To, co Gut nazývá „Riemannovo rozdělení zeta“, je ve skutečnosti rozdělení pravděpodobnosti −logX, kde X je náhodná proměnná s tím, co tento článek nazývá distribucí zeta.
• Weisstein, Eric W. "Distribuce Zipf". MathWorld.