Rozptyl - Variance

Příklad vzorků ze dvou populací se stejnou střední, ale odlišnou odchylkou. Červená populace má průměr 100 a rozptyl 100 (SD = 10), zatímco modrá populace má průměr 100 a rozptyl 2500 (SD = 50).

v teorie pravděpodobnosti a statistika, rozptyl je očekávání na druhou odchylka a náhodná proměnná od jeho znamenat. Neformálně měří, do jaké míry se množina čísel rozprostírá od jejich průměrné hodnoty. Variance má ústřední roli ve statistikách, kde zahrnují některé nápady, které ji používají deskriptivní statistika, statistická inference, testování hypotéz, dobrota fit, a Odběr vzorků v Monte Carlu. Rozptyl je důležitým nástrojem ve vědách, kde je běžná statistická analýza dat. Rozptyl je druhou mocninou standardní odchylka, druhý centrální moment a rozdělení a kovariance náhodné proměnné sama o sobě a často ji představuje ${displaystyle sigma ^ {2}}$, ${displaystyle s ^ {2}}$nebo ${displaystyle operatorname {Var} (X)}$.

Definice

Rozptyl náhodné proměnné ${displaystyle X}$ je očekávaná hodnota na druhou odchylku od znamenat z ${displaystyle X}$, ${displaystyle mu = operatorname {E} [X]}$:

${displaystyle operatorname {Var} (X) = operatorname {E} left [(X-mu) ^ {2} ight].}$

Tato definice zahrnuje náhodné proměnné, které jsou generovány procesy, které jsou oddělený, kontinuální, ani nebo smíšené. Rozptyl lze také chápat jako kovarianci náhodné proměnné sama se sebou:

${displaystyle operatorname {Var} (X) = operatorname {Cov} (X, X).}$

Rozptyl je také ekvivalentní druhé kumulant rozdělení pravděpodobnosti, které generuje ${displaystyle X}$. Rozptyl se obvykle označuje jako ${displaystyle operatorname {Var} (X)}$, ${displaystyle sigma _ {X} ^ {2}}$nebo jednoduše ${displaystyle sigma ^ {2}}$ (vyslovuje se „sigma na druhou "). Výraz pro rozptyl lze rozšířit takto:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X) & = operatorname {E} left [(X-operatorname {E} [X]) ^ {2} ight] [4pt] & = operatorname {E} left [X ^ {2} -2Xoperatorname {E} [X] + operatorname {E} [X] ^ {2} ight] [4pt] & = operatorname {E} vlevo [X ^ {2} ight] -2operatorname { E} [X] operatorname {E} [X] + operatorname {E} [X] ^ {2} [4pt] & = operatorname {E} vlevo [X ^ {2} ight] -operatorname {E} [X ] ^ {2} konec {zarovnáno}}}$

Jinými slovy, rozptyl X se rovná průměru druhé mocniny X minus čtverec střední hodnoty X. Tato rovnice by se neměla používat pro výpočty s použitím aritmetika s plovoucí desetinnou čárkou, protože trpí katastrofické zrušení jestliže jsou si obě složky rovnice podobné. Další numericky stabilní alternativy viz Algoritmy pro výpočet rozptylu.

Diskrétní náhodná proměnná

Pokud je generátor náhodné proměnné ${displaystyle X}$ je oddělený s funkce pravděpodobnostní hmotnosti ${displaystyle x_ {1} mapsto p_ {1}, x_ {2} mapsto p_ {2}, ldots, x_ {n} mapsto p_ {n}}$, pak

${displaystyle operatorname {Var} (X) = součet _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} cdot (x_ {i} -mu) ^ {2},}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle operatorname {Var} (X) = left (sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} ^ {2} ight) -mu ^ {2},}$

kde ${displaystyle mu}$ je očekávaná hodnota. To znamená

${displaystyle mu = suma _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i}.}$

(Když takový diskrétní vážený rozptyl je určeno váhami, jejichž součet není 1, pak se vydělí součtem váh.)

Rozptyl kolekce ${displaystyle n}$ stejně pravděpodobné hodnoty lze zapsat jako

${displaystyle operatorname {Var} (X) = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -mu) ^ {2} = vlevo ({frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} ight) -mu ^ {2},}$

kde ${displaystyle mu}$ je průměrná hodnota. To znamená

${displaystyle mu = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}.}$

Rozptyl sady ${displaystyle n}$ stejně pravděpodobné hodnoty lze ekvivalentně vyjádřit, aniž bychom přímo odkazovali na průměr, pokud jde o druhou odchylku všech bodů od sebe navzájem:^[1]

${displaystyle operatorname {Var} (X) = {frac {1} {n ^ {2}}} součet _ {i = 1} ^ {n} součet _ {j = 1} ^ {n} {frac {1} {2}} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2} = {frac {1} {n ^ {2}}} součet _ {i} součet _ {j> i} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2}.}$

Absolutně spojitá náhodná proměnná

Pokud náhodná proměnná ${displaystyle X}$ má funkce hustoty pravděpodobnosti ${displaystyle f (x)}$, a ${displaystyle F (x)}$ je odpovídající kumulativní distribuční funkce, pak

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X) = sigma ^ {2} & = int _ {mathbb {R}} (x-mu) ^ {2} f (x), dx [4pt] & = int _ {mathbb {R}} x ^ {2} f (x), dx-2mu int _ {mathbb {R}} xf (x), dx + mu ^ {2} int _ {mathbb {R}} f (x), dx [4pt] & = int _ {mathbb {R}} x ^ {2}, dF (x) -2mu int _ {mathbb {R}} x, dF (x) + mu ^ { 2} int _ {mathbb {R}}, dF (x) [4pt] & = int _ {mathbb {R}} x ^ {2}, dF (x) -2mu cdot mu + mu ^ {2} cdot 1 [4pt] & = int _ {mathbb {R}} x ^ {2}, dF (x) -mu ^ {2}, konec {zarovnáno}}}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle operatorname {Var} (X) = int _ {mathbb {R}} x ^ {2} f (x), dx-mu ^ {2},}$

kde ${displaystyle mu}$ je očekávaná hodnota ${displaystyle X}$ dána

${displaystyle mu = int _ {mathbb {R}} xf (x), dx = int _ {mathbb {R}} x, dF (x).}$

V těchto vzorcích jsou integrály s ohledem na ${displaystyle dx}$ a ${displaystyle dF (x)}$jsou Lebesgue a Lebesgue – Stieltjes integrály.

Pokud je funkce ${displaystyle x ^ {2} f (x)}$ je Riemann integrovatelný na každém konečném intervalu ${displaystyle [a, b] podmnožina mathbb {R},}$ pak

${displaystyle operatorname {Var} (X) = int _ {- infty} ^ {+ infty} x ^ {2} f (x), dx-mu ^ {2},}$

kde integrál je nesprávný Riemannův integrál.

Příklady

Exponenciální rozdělení

The exponenciální rozdělení s parametrem λ je spojitá distribuce, jejíž funkce hustoty pravděpodobnosti darováno

${displaystyle f (x) = lambda e ^ {- lambda x}}$

na intervalu [0, ∞). Může se ukázat, že jeho průměr je

${displaystyle operatorname {E} [X] = int _ {0} ^ {infty} lambda xe ^ {- lambda x}, dx = {frac {1} {lambda}}.}$

Použitím integrace po částech a s využitím již vypočítané očekávané hodnoty máme:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {E} left [X ^ {2} ight] & = int _ {0} ^ {infty} lambda x ^ {2} e ^ {- lambda x}, dx & = left [-x ^ {2} e ^ {- lambda x} ight] _ {0} ^ {infty} + int _ {0} ^ {infty} 2xe ^ {- lambda x}, dx & = 0+ {frac {2} {lambda}} operatorname {E} [X] & = {frac {2} {lambda ^ {2}}}. Konec {zarovnáno}}}$

Rozptyl tedy X darováno

${displaystyle operatorname {Var} (X) = operatorname {E} left [X ^ {2} ight] -operatorname {E} [X] ^ {2} = {frac {2} {lambda ^ {2}}} - left ({frac {1} {lambda}} ight) ^ {2} = {frac {1} {lambda ^ {2}}}.}$

Fair die

Spravedlivé šestistranný zemřít lze modelovat jako diskrétní náhodnou proměnnou, X, s výsledky 1 až 6, každý se stejnou pravděpodobností 1/6. Očekávaná hodnota X je ${displaystyle (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 7/2.}$ Proto je rozptyl X je

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X) & = sum _ {i = 1} ^ {6} {frac {1} {6}} vlevo (i- {frac {7} {2}} vpravo ) ^ {2} [5pt] & = {frac {1} {6}} vlevo ((- 5/2) ^ {2} + (- 3/2) ^ {2} + (- 1/2) ^ {2} + (1/2) ^ {2} + (3/2) ^ {2} + (5/2) ^ {2} ight) [5pt] & = {frac {35} {12} } přibližně 2,92.end {zarovnáno}}}$

Obecný vzorec pro rozptyl výsledku, X, z n-stranný zemřít je

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X) & = operatorname {E} left (X ^ {2} ight) - (operatorname {E} (X)) ^ {2} [5pt] & = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} -left ({frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} iight) ^ {2} [5pt] & = {frac {(n + 1) (2n + 1)} {6}} - vlevo ({frac {n + 1} {2}} vpravo) ^ {2} [4pt ] & = {frac {n ^ {2} -1} {12}}. konec {zarovnáno}}}$

Běžně používané rozdělení pravděpodobnosti

Následující tabulka uvádí rozptyl pro některé běžně používané rozdělení pravděpodobnosti.

Název rozdělení pravděpodobnosti	Funkce rozdělení pravděpodobnosti	Znamenat	Rozptyl
Binomická distribuce	${displaystyle Pr, (X = k) = {jiný {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {n-k}}$	${displaystyle np}$	${displaystyle np (1-p)}$
Geometrické rozdělení	${displaystyle Pr, (X = k) = (1-p) ^ {k-1} p}$	${displaystyle {frac {1} {p}}}$	${displaystyle {frac {(1-p)} {p ^ {2}}}}$
Normální distribuce	${displaystyle fleft (xmid mu, sigma ^ {2} ight) = {frac {1} {sqrt {2pi sigma ^ {2}}}} e ^ {- {frac {(x-mu) ^ {2}} { 2sigma ^ {2}}}}}$	${displaystyle mu}$	${displaystyle sigma ^ {2}}$
Rovnoměrné rozdělení (kontinuální)	${displaystyle f (xmid a, b) = {egin {cases} {frac {1} {ba}} & {ext {for}} aleq xleq b, [3pt] 0 & {ext {for}} x ohyb {případy}}}$	${displaystyle {frac {a + b} {2}}}$	${displaystyle {frac {(b-a) ^ {2}} {12}}}$
Exponenciální rozdělení	${displaystyle f (xmid lambda) = lambda e ^ {- lambda x}}$	${displaystyle {frac {1} {lambda}}}$	${displaystyle {frac {1} {lambda ^ {2}}}}$
Poissonovo rozdělení	${displaystyle f (xmid lambda) = {frac {e ^ {- lambda} lambda ^ {x}} {k!}}}$	${displaystyle lambda}$	${displaystyle lambda}$

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Rozptyl je nezáporný, protože čtverce jsou kladné nebo nulové:

${displaystyle operatorname {Var} (X) geq 0.}$

Rozptyl konstanty je nulový.

${displaystyle operatorname {Var} (a) = 0.}$

Naopak, pokud je rozptyl náhodné proměnné 0, pak je téměř jistě konstanta. To znamená, že má vždy stejnou hodnotu:

${displaystyle operatorname {Var} (X) = 0iff existuje a: P (X = a) = 1.}$

Rozptyl je neměnný s ohledem na změny v a parametr umístění. To znamená, že pokud je ke všem hodnotám proměnné přidána konstanta, rozptyl se nezmění:

${displaystyle operatorname {Var} (X + a) = operatorname {Var} (X).}$

Pokud jsou všechny hodnoty škálovány konstantou, je rozptyl škálován druhou mocninou této konstanty:

${displaystyle operatorname {Var} (aX) = a ^ {2} operatorname {Var} (X).}$

Rozptyl součtu dvou náhodných proměnných je dán vztahem

${displaystyle operatorname {Var} (aX + bY) = a ^ {2} operatorname {Var} (X) + b ^ {2} operatorname {Var} (Y) + 2ab, operatorname {Cov} (X, Y), }$

${displaystyle operatorname {Var} (aX-bY) = a ^ {2} operatorname {Var} (X) + b ^ {2} operatorname {Var} (Y) -2ab, operatorname {Cov} (X, Y), }$

kde ${displaystyle operatorname {Cov} (X, Y)}$ je kovariance.

Obecně platí, že pro součet ${displaystyle N}$ náhodné proměnné ${displaystyle {X_ {1}, tečky, X_ {N}}}$, varianta se stává:

${displaystyle operatorname {Var} left (sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} ight) = sum _ {i, j = 1} ^ {N} operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}) = suma _ {i = 1} ^ {N} operatorname {Var} (X_ {i}) + sum _ {ieq j} operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}).}$

Tyto výsledky vedou k rozptylu a lineární kombinace tak jako:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} left (sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} X_ {i} ight) & = sum _ {i, j = 1} ^ {N} a_ {i} a_ {j} operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}) & = sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} ^ {2} operatorname {Var} (X_ {i}) + součet _ {iot = j} a_ {i} a_ {j} operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}) & = součet _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} ^ {2} operatorname {Var} (X_ {i}) + 2sum _ {1leq i$

Pokud náhodné proměnné ${displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {N}}$ jsou takové, že

${displaystyle operatorname {Cov} (X_ {i}, X_ {j}) = 0, forall (ieq j),}$

pak se říká, že jsou nesouvisí. Z výše uvedeného výrazu bezprostředně vyplývá, že pokud jde o náhodné proměnné ${displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {N}}$ jsou nekorelované, pak rozptyl jejich součtu se rovná součtu jejich odchylek, nebo vyjádřený symbolicky:

${displaystyle operatorname {Var} left (sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} ight) = sum _ {i = 1} ^ {N} operatorname {Var} (X_ {i}).}$

Protože nezávislé náhodné proměnné vždy nesouvisejí (viz Kovariance § Nekorelace a nezávislost ), výše uvedená rovnice platí zejména v případě náhodných proměnných ${displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}}$ jsou nezávislé. Nezávislost je tedy dostatečná, ale není nutná, aby se rozptyl součtu rovnal součtu odchylek.

Otázky konečnosti

Pokud distribuce nemá konečnou očekávanou hodnotu, jako je tomu v případě Cauchyovo rozdělení, pak ani rozptyl nemůže být konečný. Některá rozdělení však nemusí mít konečnou odchylku, přestože jejich očekávaná hodnota je konečná. Příkladem je a Paretova distribuce jehož index ${displaystyle k}$ splňuje ${displaystyle 1$

Součet nekorelovaných proměnných (Bienaymův vzorec)

Jedním z důvodů pro použití rozptylu přednostně před jinými měřítky rozptylu je to, že rozptyl součtu (nebo rozdílu) nesouvisí náhodné proměnné je součet jejich odchylek:

${displaystyle operatorname {Var} left (sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ight) = sum _ {i = 1} ^ {n} operatorname {Var} (X_ {i}).}$

Toto tvrzení se nazývá Bienaymé vzorec^[2] a byl objeven v roce 1853.^[3][4] Často se vyrábí se silnější podmínkou, že proměnné jsou nezávislý, ale být nekorelovaný stačí. Takže pokud mají všechny proměnné stejnou rozptyl σ², poté, co dělení n je lineární transformace, tento vzorec okamžitě naznačuje, že odchylka jejich průměru je

${displaystyle operatorname {Var} left ({overline {X}} ight) = operatorname {Var} left ({frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ight) = {frac {1} {n ^ {2}}} součet _ {i = 1} ^ {n} operatorname {Var} vlevo (X_ {i} ight) = {frac {1} {n ^ {2}}} nsigma ^ {2} = {frac {sigma ^ {2}} {n}}.}$

To znamená, že rozptyl průměru klesá, když n zvyšuje. Tento vzorec pro rozptyl průměru se používá při definici standardní chyba průměru vzorku, který se používá v teorém centrálního limitu.

K prokázání původního tvrzení to stačí ukázat

${displaystyle operatorname {Var} (X + Y) = operatorname {Var} (X) + operatorname {Var} (Y).}$

Obecný výsledek pak následuje indukcí. Počínaje definicí,

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X + Y) & = operatorname {E} left [(X + Y) ^ {2} ight] - (operatorname {E} [X + Y]) ^ {2 } [5pt] & = operatorname {E} left [X ^ {2} + 2XY + Y ^ {2} ight] - (operatorname {E} [X] + operatorname {E} [Y]) ^ {2} .end {zarovnáno}}}$

Pomocí linearity operátor očekávání a převzetí nezávislosti (nebo nesouladu) z X a Y, to dále zjednodušuje takto:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (X + Y) & = operatorname {E} left [X ^ {2} ight] + 2operatorname {E} [XY] + operatorname {E} left [Y ^ {2 } ight] -left (operatorname {E} [X] ^ {2} + 2operatorname {E} [X] operatorname {E} [Y] + operatorname {E} [Y] ^ {2} ight) [5pt] & = operatorname {E} vlevo [X ^ {2} ight] + operatorname {E} vlevo [Y ^ {2} ight] -operatorname {E} [X] ^ {2} -operatorname {E} [Y] ^ {2} [5pt] & = operatorname {Var} (X) + operatorname {Var} (Y) .end {aligned}}}$

Součet korelovaných proměnných

S korelací a pevnou velikostí vzorku

Obecně platí, že odchylka součtu n proměnných je součet jejich kovariance:

${displaystyle operatorname {Var} left (sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ight) = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} operatorname { Cov} left (X_ {i}, X_ {j} ight) = sum _ {i = 1} ^ {n} operatorname {Var} left (X_ {i} ight) + 2sum _ {1leq i$

(Poznámka: Druhá rovnost pochází ze skutečnosti, že Cov (X_i,X_i) = Var (X_i).)

Tady, Cov (⋅, ⋅) je kovariance, což je nula pro nezávislé náhodné proměnné (pokud existují). Vzorec uvádí, že rozptyl součtu se rovná součtu všech prvků v kovarianční matici komponent. Následující výraz ekvivalentně uvádí, že rozptyl součtu je součtem úhlopříčky kovarianční matice plus dvojnásobkem součtu jejích horních trojúhelníkových prvků (nebo jeho dolních trojúhelníkových prvků); toto zdůrazňuje, že kovarianční matice je symetrická. Tento vzorec se používá v teorii Cronbachova alfa v teorie klasických testů.

Takže pokud mají proměnné stejnou odchylku σ² a průměr korelace různých proměnných je ρ, pak je odchylka jejich průměru

${displaystyle operatorname {Var} left ({overline {X}} ight) = {frac {sigma ^ {2}} {n}} + {frac {n-1} {n}} ho sigma ^ {2}.}$

To znamená, že rozptyl průměru se zvyšuje s průměrem korelací. Jinými slovy, další korelovaná pozorování nejsou tak účinná jako další nezávislá pozorování při snižování nejistota průměru. Navíc, pokud mají proměnné jednotkovou odchylku, například pokud jsou standardizované, pak se to zjednoduší na

${displaystyle operatorname {Var} left ({overline {X}} ight) = {frac {1} {n}} + {frac {n-1} {n}} ho.}$

Tento vzorec se používá v Spearman – Brownův predikční vzorec klasické teorie testů. To konverguje k ρ -li n jde do nekonečna za předpokladu, že průměrná korelace zůstane konstantní nebo také konverguje. Takže pro rozptyl průměru standardizovaných proměnných se stejnými korelacemi nebo konvergující průměrnou korelací máme

${displaystyle lim _ {n o infty} operatorname {Var} left ({overline {X}} ight) = ho.}$

Proto se rozptyl průměru velkého počtu standardizovaných proměnných přibližně rovná jejich průměrné korelaci. To objasňuje, že průměr vzorku korelovaných proměnných obecně nekonverguje k průměru populace, přestože zákon velkých čísel uvádí, že průměr vzorku bude konvergovat pro nezávislé proměnné.

I.i.d. s náhodnou velikostí vzorku

Existují případy, kdy je vzorek odebrán, aniž by předem věděli, kolik pozorování bude přijatelné podle nějakého kritéria. V takových případech velikost vzorku N je náhodná proměnná, jejíž variace přispívá k variaci X, takový, že

Var (∑X) = E (N) Var (X) + Var (N)E²(X).^[5]

Li N má Poissonovo rozdělení, pak E (N) = Var (N) s odhadcem N = n. Odhad Var (∑X) se stává nS²_X + nX² dávat

standardní chyba (X) = √[(S²_X + X²)/n].

Maticová notace pro rozptyl lineární kombinace

Definovat ${displaystyle X}$ jako vektor sloupce ${displaystyle n}$ náhodné proměnné ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$, a ${displaystyle c}$ jako vektor sloupce ${displaystyle n}$ skaláry ${displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {n}}$. Proto, ${displaystyle c ^ {mathsf {T}} X}$ je lineární kombinace těchto náhodných proměnných, kde ${displaystyle c ^ {mathsf {T}}}$ označuje přemístit z ${displaystyle c}$. Také nechte ${displaystyle Sigma}$ být kovarianční matice z ${displaystyle X}$. Rozptyl ${displaystyle c ^ {mathsf {T}} X}$ je pak dáno:^[6]

${displaystyle operatorname {Var} left (c ^ {mathsf {T}} Xight) = c ^ {mathsf {T}} Sigma c.}$

To znamená, že odchylku průměru lze zapsat jako (s vektorem sloupců jedniček)

${displaystyle operatorname {Var} left ({ar {x}} ight) = operatorname {Var} left ({frac {1} {n}} 1'Xight) = {frac {1} {n ^ {2}}} 1'Sigma 1.}$

Vážený součet proměnných

Vlastnost škálování a vzorec Bienaymé spolu s vlastností kovariance Cov (sekera, podle) = ab Cov (X, Y) společně to naznačují

${displaystyle operatorname {Var} (aXpm bY) = a ^ {2} operatorname {Var} (X) + b ^ {2} operatorname {Var} (Y) pm 2ab, operatorname {Cov} (X, Y).}$

To znamená, že ve váženém součtu proměnných bude mít proměnná s největší váhou disproporčně velkou váhu v rozptylu součtu. Například pokud X a Y nesouvisí a váha X je dvojnásobek hmotnosti Y, pak váha rozptylu X bude čtyřnásobkem váhy rozptylu Y.

Výše uvedený výraz lze rozšířit na vážený součet více proměnných:

${displaystyle operatorname {Var} left (sum _ {i} ^ {n} a_ {i} X_ {i} ight) = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} operatorname {Var } (X_ {i}) + 2sum _ {1leq i} součet _ {$

Produkt nezávislých proměnných

Pokud jsou dvě proměnné X a Y nezávislý, je odchylka jejich produktu dána^[7]

${displaystyle operatorname {Var} (XY) = [operatorname {E} (X)] ^ {2} operatorname {Var} (Y) + [operatorname {E} (Y)] ^ {2} operatorname {Var} (X ) + operatorname {Var} (X) operatorname {Var} (Y).}$

Ekvivalentně, pomocí základních vlastností očekávání, je dán vztahem

${displaystyle operatorname {Var} (XY) = operatorname {E} left (X ^ {2} ight) operatorname {E} left (Y ^ {2} ight) - [operatorname {E} (X)] ^ {2} [operatorname {E} (Y)] ^ {2}.}$

Produkt statisticky závislých proměnných

Obecně platí, že pokud jsou dvě proměnné statisticky závislé, je odchylka jejich součinu dána vztahem:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {Var} (XY) = {} & operatorname {E} left [X ^ {2} Y ^ {2} ight] - [operatorname {E} (XY)] ^ {2} [5pt] = {} & operatorname {Cov} left (X ^ {2}, Y ^ {2} ight) + operatorname {E} (X ^ {2}) operatorname {E} left (Y ^ {2} ight) - [operatorname {E} (XY)] ^ {2} [5pt] = {} & operatorname {Cov} left (X ^ {2}, Y ^ {2} ight) + left (operatorname {Var} (X) + [operatorname {E} (X)] ^ {2} ight) left (operatorname {Var} (Y) + [operatorname {E} (Y)] ^ {2} ight) [5pt] & - [operatorname { Cov} (X, Y) + operatorname {E} (X) operatorname {E} (Y)] ^ {2} konec {zarovnáno}}}$

Rozklad

Obecný vzorec pro rozklad rozptylu nebo zákon totální odchylky je: Pokud ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ jsou dvě náhodné proměnné a rozptyl ${displaystyle X}$ tedy existuje

${displaystyle operatorname {Var} [X] = operatorname {E} (operatorname {Var} [Xmid Y]) + operatorname {Var} (operatorname {E} [Xmid Y]).}$

The podmíněné očekávání ${displaystyle operatorname {E} (Xmid Y)}$ z ${displaystyle X}$ daný ${displaystyle Y}$a podmíněná odchylka ${displaystyle operatorname {Var} (Xmid Y)}$ lze chápat následovně. Vzhledem k nějaké konkrétní hodnotě y náhodné proměnnéY, existuje podmíněné očekávání ${displaystyle operatorname {E} (Xmid Y = y)}$ vzhledem k událostiY = y. Toto množství závisí na konkrétní hodnotěy; je to funkce ${displaystyle g (y) = operatorname {E} (Xmid Y = y)}$. Stejná funkce vyhodnocena na náhodné proměnné Y je podmíněné očekávání ${displaystyle operatorname {E} (Xmid Y) = g (Y).}$

Zejména pokud ${displaystyle Y}$ je diskrétní náhodná proměnná za předpokladu možných hodnot ${displaystyle y_ {1}, y_ {2}, y_ {3} ldots}$ s odpovídajícími pravděpodobnostmi ${displaystyle p_ {1}, p_ {2}, p_ {3} ldots,}$, pak ve vzorci pro celkovou odchylku bude první člen na pravé straně

${displaystyle operatorname {E} (operatorname {Var} [Xmid Y]) = součet _ {i} p_ {i} sigma _ {i} ^ {2},}$

kde ${displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = operatorname {Var} [Xmid Y = y_ {i}]}$. Podobně se stane druhý člen na pravé straně

${displaystyle operatorname {Var} (operatorname {E} [Xmid Y]) = sum _ {i} p_ {i} mu _ {i} ^ {2} -left (sum _ {i} p_ {i} mu _ { i} ight) ^ {2} = součet _ {i} p_ {i} mu _ {i} ^ {2} -mu ^ {2},}$

kde ${displaystyle mu _ {i} = operatorname {E} [Xmid Y = y_ {i}]}$ a ${displaystyle mu = součet _ {i} p_ {i} mu _ {i}}$. Celková odchylka je tedy dána vztahem

${displaystyle operatorname {Var} [X] = součet _ {i} p_ {i} sigma _ {i} ^ {2} + vlevo (součet _ {i} p_ {i} mu _ {i} ^ {2} - mu ^ {2} ight).}$

Podobný vzorec se používá v analýza rozptylu, kde je odpovídající vzorec

${displaystyle {mathit {MS}} _ {ext {total}} = {mathit {MS}} _ {ext {mezi}} + {mathit {MS}} _ {ext {within}};}$

tady ${displaystyle {mathit {MS}}}$ odkazuje na průměr čtverců. v lineární regrese analýza je odpovídající vzorec

${displaystyle {mathit {MS}} _ {ext {total}} = {mathit {MS}} _ {ext {regression}} + {mathit {MS}} _ {ext {residual}}.}$

To lze také odvodit z aditivnosti odchylek, protože celkové (pozorované) skóre je součtem předpovězeného skóre a skóre chyby, kde poslední dvě nejsou korelované.

Podobné rozklady jsou možné pro součet čtverců odchylek (součet čtverců, ${displaystyle {mathit {SS}}}$):

${displaystyle {mathit {SS}} _ {ext {total}} = {mathit {SS}} _ {ext {mezi}} + {mathit {SS}} _ {ext {within}},}$

${displaystyle {mathit {SS}} _ {ext {total}} = {mathit {SS}} _ {ext {regression}} + {mathit {SS}} _ {ext {residual}}.}$

Výpočet z CDF

Populační rozptyl pro nezápornou náhodnou proměnnou lze vyjádřit pomocí kumulativní distribuční funkce F použitím

${displaystyle 2int _ {0} ^ {infty} u (1-F (u)), du-left (int _ {0} ^ {infty} (1-F (u)), duight) ^ {2}. }$

Tento výraz lze použít k výpočtu rozptylu v situacích, kdy CDF, ale nikoli hustota, lze pohodlně vyjádřit.

Charakteristická vlastnost

Druhý okamžik náhodné proměnné dosáhne minimální hodnoty, když se vezme kolem prvního okamžiku (tj. průměr) náhodné proměnné, tj. ${displaystyle mathrm {argmin} _ {m}, mathrm {E} left (left (X-might) ^ {2} ight) = mathrm {E} (X)}$. Naopak, pokud je spojitá funkce ${displaystyle varphi}$ splňuje ${displaystyle mathrm {argmin} _ {m}, mathrm {E} (varphi (X-m)) = mathrm {E} (X)}$ pro všechny náhodné proměnné X, pak má nutně formu ${displaystyle varphi (x) = ax ^ {2} + b}$, kde A > 0. To platí i pro vícerozměrný případ.^[8]

Jednotky měření

Na rozdíl od očekávané absolutní odchylky má rozptyl proměnné jednotky, které jsou druhou mocninou jednotek samotné proměnné. Například proměnná měřená v metrech bude mít odchylku měřenou v metrech na druhou. Z tohoto důvodu popisující soubory dat prostřednictvím jejich standardní odchylka nebo odchylka od odmocniny je často upřednostňováno před použitím rozptylu. V příkladu kostek je směrodatná odchylka √2.9 ≈ 1.7, o něco větší než očekávaná absolutní odchylka 1,5.

Směrodatná odchylka i očekávaná absolutní odchylka mohou být použity jako indikátor „rozpětí“ distribuce. Směrodatná odchylka je přístupnější algebraické manipulaci než očekávaná absolutní odchylka a společně s odchylkou a jejím zobecněním kovariance, se často používá v teoretické statistice; očekávaná absolutní odchylka má však tendenci být více robustní protože je méně citlivý na odlehlé hodnoty vyplývající z anomálie měření nebo neoprávněně těžký-sledoval distribuci.

Aproximace rozptylu funkce

The delta metoda používá druhého řádu Taylorovy expanze aproximovat rozptyl funkce jedné nebo více náhodných proměnných: viz Taylorovy expanze pro momenty funkcí náhodných proměnných. Například přibližná odchylka funkce jedné proměnné je dána vztahem

${displaystyle operatorname {Var} vlevo [f (X) ight] přibližně vlevo (f '(operatorname {E} vlevo [Xight]) ight) ^ {2} operatorname {Var} vlevo [Xight]}$

pokud F je dvakrát diferencovatelné a že průměr a rozptyl X jsou konečné.

Rozptyl populace a rozptyl vzorku

Pozorování v reálném světě, jako jsou měření včerejšího deště po celý den, obvykle nemohou být úplnou sadou všech možných pozorování, která lze provést. Jako takový bude rozptyl vypočítaný z konečné množiny obecně neodpovídat rozptylu, který by byl vypočítán z celé populace možných pozorování. To znamená ten odhady průměr a rozptyl, které by byly vypočteny z vševědoucí sady pozorování pomocí odhadce rovnice. Odhad je funkcí vzorek z n pozorování kresleno bez pozorovacího zkreslení z celku populace možných pozorování. V tomto příkladu by tímto vzorkem byla sada skutečných měření včerejních srážek z dostupných srážkoměrů v geografické oblasti zájmu.

Nejjednodušší odhady pro populační průměr a rozptyl populace jsou jednoduše průměr a rozptyl vzorku, průměr vzorku a (nekorigovaný) rozptyl vzorku - tyto jsou důsledné odhady (konvergují na správnou hodnotu, jak se zvyšuje počet vzorků), ale lze je vylepšit. Odhad rozptylu populace pomocí rozptylu vzorku se obecně blíží optimálnímu, ale lze jej zlepšit dvěma způsoby. Nejjednodušší je varianta vzorku vypočtena jako průměr čtvercové odchylky o průměru (vzorku) dělením n. Použití jiných hodnot než n vylepšuje odhadce různými způsoby. Čtyři běžné hodnoty pro jmenovatele jsou n, n − 1, n + 1 a n − 1.5: n je nejjednodušší (populační varianta vzorku), n - 1 eliminuje zkreslení, n + 1 minimalizuje střední čtvercová chyba pro normální rozdělení a n - 1.5 většinou eliminuje zkreslení v nestranný odhad směrodatné odchylky pro normální rozdělení.

Za prvé, pokud je vševědoucí průměr neznámý (a počítá se jako průměr vzorku), pak je rozptyl vzorku zkreslený odhad: podhodnocuje rozptyl faktorem (n − 1) / n; korekce tímto faktorem (vydělením n - 1 místo n) je nazýván Besselova korekce. Výsledný odhad je nezaujatý a nazývá se (opravená) rozptyl vzorku nebo nestranný rozptyl vzorku. Například když n = 1 rozptyl jediného pozorování o průměru vzorku (sám o sobě) je zjevně nulový bez ohledu na rozptyl populace. Pokud je průměr určen jiným způsobem než ze stejných vzorků použitých k odhadu rozptylu, pak toto zkreslení nevznikne a rozptyl lze bezpečně odhadnout jako rozptyl vzorků o (nezávisle známém) průměru.

Zadruhé, rozptyl vzorku obecně nezminimalizuje střední čtvercová chyba mezi rozptylem vzorku a rozptylem populace. Oprava zkreslení to často zhoršuje: vždy si můžete vybrat měřítkový faktor, který funguje lépe než opravená odchylka vzorku, ačkoli optimální měřítkový faktor závisí na nadměrná špičatost populace (viz střední čtvercová chyba: odchylka ) a zavádí zkreslení. Toto vždy spočívá ve zmenšení nezaujatého odhadce (vydělením o číslo větší než n - 1) a je jednoduchým příkladem a odhad zmenšení: jeden „zmenší“ nezaujatý odhadce na nulu. Pro normální rozdělení vydělením n + 1 (místo n - 1 nebo n) minimalizuje střední čtvercovou chybu. Výsledný odhad je však zkreslený a je znám jako předpjatá variace vzorku.

Rozptyl populace

Obecně platí, že rozptyl populace a konečný populace velikosti N s hodnotami X_i darováno

$${displaystyle {egin {aligned} sigma ^ {2} & = {frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} vlevo (x_ {i} -mu ight) ^ {2} = { frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} vlevo (x_ {i} ^ {2} -2 mi x_ {i} + mu ^ {2} ight) [5pt] & = vlevo ({frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2} ight) -2mu vlevo ({frac {1} {N}} součet _ {i = 1 } ^ {N} x_ {i} ight) + mu ^ {2} [5pt] & = vlevo ({frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2} ight) -mu ^ {2} konec {zarovnáno}}}$$

kde je průměrná populace

${displaystyle mu = {frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}.}$

Rozptyl populace lze také vypočítat pomocí

${displaystyle sigma ^ {2} = {frac {1} {N ^ {2}}} součet _ {i$

To je pravda, protože

$${displaystyle {egin {aligned} & {frac {1} {2N ^ {2}}} součet _ {i, j = 1} ^ {N} vlevo (x_ {i} -x_ {j} vpravo) ^ {2 } [5pt] = {} & {frac {1} {2N ^ {2}}} součet _ {i, j = 1} ^ {N} vlevo (x_ {i} ^ {2} -2x_ {i} x_ {j} + x_ {j} ^ {2} ight) [5pt] = {} & {frac {1} {2N}} součet _ {j = 1} ^ {N} vlevo ({frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {2} ight) -left ({frac {1} {N}} součet _ {i = 1} ^ {N} x_ { i} ight) vlevo ({frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} x_ {j} ight) + {frac {1} {2N}} součet _ {i = 1} ^ {N} vlevo ({frac {1} {N}} součet _ {j = 1} ^ {N} x_ {j} ^ {2} ight) [5pt] = {} & {frac {1} {2 }} vlevo (sigma ^ {2} + mu ^ {2} ight) -mu ^ {2} + {frac {1} {2}} vlevo (sigma ^ {2} + mu ^ {2} ight) [ 5pt] = {} & sigma ^ {2} konec {zarovnáno}}}$$

Rozptyl populace odpovídá rozptylu generujícího rozdělení pravděpodobnosti. V tomto smyslu lze koncept populace rozšířit na spojité náhodné proměnné s nekonečnými populacemi.

Rozptyl vzorku

V mnoha praktických situacích není skutečná odchylka populace známa a priori a musí být nějak vypočítán. Při práci s extrémně velkými populacemi není možné spočítat každý objekt v populaci, takže výpočet musí být proveden na vzorek z populace.^[9] Rozptyl vzorku lze také použít k odhadu rozptylu spojité distribuce ze vzorku této distribuce.

Bereme a vzorek s výměnou z n hodnoty Y₁, ..., Y_n od populace, kde n < Na odhadnout rozptyl na základě tohoto vzorku.^[10] Přímé převzetí rozptylu vzorových dat dává průměr z čtvercové odchylky:

${displaystyle sigma _ {Y} ^ {2} = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} left (Y_ {i} - {overline {Y}} ight) ^ {2 } = left ({frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} Y_ {i} ^ {2} ight) - {overline {Y}} ^ {2} = {frac {1 } {n ^ {2}}} součet _ {i, j,:, i$

Tady, ${displaystyle {overline {Y}}}$ označuje průměr vzorku:

${displaystyle {overline {Y}} = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} Y_ {i}.}$

Protože Y_i jsou vybrány náhodně, oba ${displaystyle {overline {Y}}}$ a ${displaystyle sigma _ {Y} ^ {2}}$ jsou náhodné proměnné. Jejich očekávané hodnoty lze vyhodnotit zprůměrováním celého souboru všech možných vzorků {Y_i} velikosti n z populace. Pro ${displaystyle sigma _ {Y} ^ {2}}$ toto dává:

${displaystyle {egin {aligned} operatorname {E} [sigma _ {Y} ^ {2}] & = operatorname {E} left [{frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} vlevo (Y_ {i} - {frac {1} {n}} součet _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j} ight) ^ {2} ight] [5pt] & = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} operatorname {E} vlevo [Y_ {i} ^ {2} - {frac {2} {n}} Y_ {i} součet _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j} + {frac {1} {n ^ {2}}} součet _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j} součet _ {k = 1} ^ {n} Y_ { k} ight] [5pt] & = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo [{frac {n-2} {n}} operatorname {E} vlevo [Y_ {i} ^ {2} ight] - {frac {2} {n}} součet _ {jeq i} operatorname {E} vlevo [Y_ {i} Y_ {j} ight] + {frac {1} {n ^ {2}}} součet _ {j = 1} ^ {n} součet _ {keq j} ^ {n} operatorname {E} vlevo [Y_ {j} Y_ {k} ight] + {frac {1} {n ^ {2}}} součet _ {j = 1} ^ {n} operatorname {E} vlevo [Y_ {j} ^ {2} ight] ight] [5pt] & = {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo [{frac {n-2} {n}} vlevo (sigma ^ {2} + mu ^ {2} ight) - {frac {2} {n}} ( n-1) mu ^ {2} + {frac {1} {n ^ {2}}} n (n-1) mu ^ {2} + {frac {1} {n}} vlevo (sigma ^ {2 } + mu ^ {2} ight) ight] [5pt] & = {frac {n-1} {n}} sigma ^ {2} .end {zarovnáno}}}$

Proto ${displaystyle sigma _ {Y} ^ {2}}$ poskytuje odhad rozptylu populace, který je předpjatý faktorem ${displaystyle {frac {n-1} {n}}}$. Z tohoto důvodu, ${displaystyle sigma _ {Y} ^ {2}}$ se označuje jako předpjatý rozptyl vzorku. Oprava tohoto zkreslení přináší nestranný rozptyl vzorku, označeno ${displaystyle s ^ {2}}$:

${displaystyle s ^ {2} = {frac {n} {n-1}} sigma _ {Y} ^ {2} = {frac {n} {n-1}} vlevo ({frac {1} {n} } součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo (Y_ {i} - {overline {Y}} ight) ^ {2} ight) = {frac {1} {n-1}} součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo (Y_ {i} - {overline {Y}} vpravo) ^ {2}}$

Oba odhady lze jednoduše označit jako rozptyl vzorku kdy lze verzi určit podle kontextu. Stejný důkaz platí také pro vzorky odebrané z průběžného rozdělení pravděpodobnosti.

Použití termínu n - volá se 1 Besselova korekce, a používá se také v kovarianční vzorek a standardní směrodatná odchylka (druhá odmocnina rozptylu). Druhá odmocnina je a konkávní funkce a tím zavádí negativní zkreslení (o Jensenova nerovnost ), který závisí na distribuci, a tak je zkreslená opravená směrodatná odchylka vzorku (pomocí Besselovy korekce). The nestranný odhad směrodatné odchylky je technicky zapojený problém, i když pro normální distribuci používající tento výraz n - 1,5 přináší téměř nezaujatý odhad.

Nestranný rozptyl vzorku je a U-statistika pro funkci ƒ(y₁, y₂) = (y₁ − y₂)²/ 2, což znamená, že se získá zprůměrováním statistiky 2 vzorků nad 2prvkovými podmnožinami populace.

Rozdělení rozptylu vzorku

Distribuce a kumulativní distribuce S²/ σ², pro různé hodnoty ν = n - 1, když y_i jsou nezávislé normálně distribuované.

Být funkcí náhodné proměnné, rozptyl vzorku je sám o sobě náhodnou proměnnou a je přirozené studovat jeho distribuci. V případě, že Y_i jsou nezávislá pozorování od a normální distribuce, Cochranova věta ukázat to s² následuje v měřítku distribuce chí-kvadrát:^[11]

${displaystyle (n-1) {frac {s ^ {2}} {sigma ^ {2}}} sim chi _ {n-1} ^ {2}.}$

Z toho vyplývá přímý důsledek

${displaystyle operatorname {E} left (s ^ {2} ight) = operatorname {E} left ({frac {sigma ^ {2}} {n-1}} chi _ {n-1} ^ {2} ight) = sigma ^ {2},}$

a^[12]

${displaystyle operatorname {Var} left [s ^ {2} ight] = operatorname {Var} left ({frac {sigma ^ {2}} {n-1}} chi _ {n-1} ^ {2} ight) = {frac {sigma ^ {4}} {(n-1) ^ {2}}} operatorname {Var} vlevo (chi _ {n-1} ^ {2} ight) = {frac {2sigma ^ {4} } {n-1}}.}$

Pokud Y_i jsou nezávislé a identicky distribuované, ale ne nutně normálně distribuované^[13]

${displaystyle operatorname {E} left [s ^ {2} ight] = sigma ^ {2}, quad operatorname {Var} left [s ^ {2} ight] = {frac {sigma ^ {4}} {n}} left (kappa -1+ {frac {2} {n-1}} ight) = {frac {1} {n}} left (mu _ {4} - {frac {n-3} {n-1}} sigma ^ {4} ight),}$

kde κ je špičatost distribuce a μ₄ je čtvrtý centrální moment.

Pokud jsou splněny podmínky zákon velkých čísel počkejte na druhou pozorování, s² je konzistentní odhad zσ². One can see indeed that the variance of the estimator tends asymptotically to zero. An asymptotically equivalent formula was given in Kenney and Keeping (1951:164), Rose and Smith (2002:264), and Weisstein (n.d.).^[14][15][16]

Samuelson's inequality

Samuelson's inequality is a result that states bounds on the values that individual observations in a sample can take, given that the sample mean and (biased) variance have been calculated.^[17] Values must lie within the limits ${displaystyle { ar {y}}pm sigma _{Y}(n-1)^{1/2}.}$

Relations with the harmonic and arithmetic means

It has been shown^[18] that for a sample {y_i} of positive real numbers,

${displaystyle sigma _{y}^{2}leq 2y_{max }(A-H),}$

kde y_max is the maximum of the sample, A is the arithmetic mean, H je harmonický průměr of the sample and ${displaystyle sigma _{y}^{2}}$ is the (biased) variance of the sample.

This bound has been improved, and it is known that variance is bounded by

${displaystyle sigma _{y}^{2}leq {frac {y_{max }(A-H)(y_{max }-A)}{y_{max }-H}},}$

${displaystyle sigma _{y}^{2}geq {frac {y_{min }(A-H)(A-y_{min })}{H-y_{min }}},}$

kde y_min is the minimum of the sample.^[19]

Tests of equality of variances

Testing for the equality of two or more variances is difficult. The F test a chi square tests are both adversely affected by non-normality and are not recommended for this purpose.

Several non parametric tests have been proposed: these include the Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey test, the Capon test, Mood test, Klotz test a Sukhatme test. The Sukhatme test applies to two variances and requires that both mediány be known and equal to zero. The Mood, Klotz, Capon and Barton–David–Ansari–Freund–Siegel–Tukey tests also apply to two variances. They allow the median to be unknown but do require that the two medians are equal.

The Lehmann test is a parametric test of two variances. Of this test there are several variants known. Other tests of the equality of variances include the Box test, Box–Anderson test a Moses test.

Resampling methods, which include the bootstrap a kudla, may be used to test the equality of variances.

Dějiny

Termín rozptyl byl poprvé představen Ronald Fisher in his 1918 paper Korelace mezi příbuznými o předpokladu Mendelovy dědičnosti:^[20]

The great body of available statistics show us that the deviations of a human measurement from its mean follow very closely the Normal Law of Errors, and, therefore, that the variability may be uniformly measured by the standardní odchylka odpovídající odmocnina z mean square error. When there are two independent causes of variability capable of producing in an otherwise uniform population distributions with standard deviations ${displaystyle sigma _ {1}}$ a ${displaystyle sigma _ {2}}$, it is found that the distribution, when both causes act together, has a standard deviation ${displaystyle {sqrt {sigma _{1}^{2}+sigma _{2}^{2}}}}$. It is therefore desirable in analysing the causes of variability to deal with the square of the standard deviation as the measure of variability. We shall term this quantity the Variance...

Geometric visualisation of the variance of an arbitrary distribution (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9):

1. A frequency distribution is constructed.
2. The centroid of the distribution gives its mean.
3. A square with sides equal to the difference of each value from the mean is formed for each value.
4. Arranging the squares into a rectangle with one side equal to the number of values, n, results in the other side being the distribution's variance, σ².

Moment setrvačnosti

The variance of a probability distribution is analogous to the moment setrvačnosti v klasická mechanika of a corresponding mass distribution along a line, with respect to rotation about its center of mass.^{[Citace je zapotřebí ]} It is because of this analogy that such things as the variance are called momenty z rozdělení pravděpodobnosti.^{[Citace je zapotřebí ]} The covariance matrix is related to the moment setrvačnosti tenzor for multivariate distributions. The moment of inertia of a cloud of n points with a covariance matrix of ${displaystyle Sigma}$ darováno^{[Citace je zapotřebí ]}

${displaystyle I=nleft(mathbf {1} _{3 imes 3}operatorname {tr} (Sigma )-Sigma ight).}$

This difference between moment of inertia in physics and in statistics is clear for points that are gathered along a line. Suppose many points are close to the X axis and distributed along it. The covariance matrix might look like

${displaystyle Sigma ={ egin{bmatrix}10&0&0�&0.1&0�&0&0.1end{bmatrix}}.}$

That is, there is the most variance in the X směr. Physicists would consider this to have a low moment o the X axis so the moment-of-inertia tensor is

${displaystyle I=n{ egin{bmatrix}0.2&0&0�&10.1&0�&0&10.1end{bmatrix}}.}$

Semivariance

The semivariance is calculated in the same manner as the variance but only those observations that fall below the mean are included in the calculation:

$${displaystyle { ext{Semivariance}}={1 over {n}}sum _{i:x_{i}$$

For inequalities associated with the semivariance, see Chebyshev's inequality § Semivariances.

Zobecnění

For complex variables

Li ${displaystyle x}$ is a scalar komplex -valued random variable, with values in ${displaystyle mathbb {C},}$ then its variance is ${displaystyle operatorname {E} left[(x-mu )(x-mu )^{*}ight],}$ kde ${displaystyle x^{*}}$ je komplexní konjugát z ${displaystyle x.}$ This variance is a real scalar.

For vector-valued random variables

As a matrix

Li ${displaystyle X}$ je vektor -valued random variable, with values in ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ and thought of as a column vector, then a natural generalization of variance is ${displaystyle operatorname {E} left[(X-mu )(X-mu )^{operatorname {T} }ight],}$ kde ${displaystyle mu =operatorname {E} (X)}$ a ${displaystyle X^{operatorname {T} }}$ is the transpose of ${displaystyle X,}$ and so is a row vector. Výsledkem je a positive semi-definite square matrix, běžně označované jako variance-covariance matrix (or simply as the kovarianční matice).

Li ${displaystyle X}$ is a vector- and complex-valued random variable, with values in ${displaystyle mathbb {C} ^{n},}$ pak covariance matrix is ${displaystyle operatorname {E} left[(X-mu )(X-mu )^{dagger }ight],}$ kde ${displaystyle X^{dagger }}$ je konjugovat transponovat z ${displaystyle X.}$^{[Citace je zapotřebí ]} This matrix is also positive semi-definite and square.

As a scalar

Another generalization of variance for vector-valued random variables ${displaystyle X}$, which results in a scalar value rather than in a matrix, is the generalized variance ${displaystyle det(C)}$, určující of the covariance matrix. The generalized variance can be shown to be related to the multidimensional scatter of points around their mean.^[22]

A different generalization is obtained by considering the Euklidovská vzdálenost between the random variable and its mean. Výsledkem je ${displaystyle operatorname {E} left[(X-mu )^{operatorname {T} }(X-mu )ight]=operatorname {tr} (C),}$ který je stopa of the covariance matrix.

Viz také

• Bhatia–Davis inequality
• Variační koeficient
• Homoscedasticita
• Measures for statistical dispersion
• Popoviciu's inequality on variances

Types of variance

• Korelace
• Distance variance
• Vysvětlená odchylka
• Pooled variance

Reference