Kruhové rovnoměrné rozdělení - Circular uniform distribution

v teorie pravděpodobnosti a směrová statistika, a rovnoměrné kruhové rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti na jednotkové kružnici, jejíž hustota je stejná pro všechny úhly.

Popis

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) jednotného kruhového rozdělení je:

${ displaystyle f_ {UC} ( theta) = { frac {1} {2 pi}}.}$

Z hlediska kruhové proměnné ${ displaystyle z = e ^ {i theta}}$ kruhové momenty rovnoměrného rozdělení v kruhu jsou všechny nulové, s výjimkou ${ displaystyle m_ {0}}$:

${ displaystyle langle z ^ {n} rangle = delta _ {n}}$

kde ${ displaystyle delta _ {n}}$ je Kroneckerova delta symbol.

Střední úhel není definován a délka středního výslednice je nula.

${ displaystyle R = | langle z ^ {n} rangle | = 0 ,}$

Rozdělení střední hodnoty

Vzorový průměr souboru N Měření ${ displaystyle z_ {n} = e ^ {i theta _ {n}}}$ čerpané z kruhového rovnoměrného rozdělení je definováno jako:

${ displaystyle { overline {z}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n} = { overline {C}} + i { overline {S}} = { overline {R}} e ^ {i { overline { theta}}}}$

kde průměrný sinus a kosinus jsou:^[1]

${ displaystyle { overline {C}} = { frac {1} {N}} sum _ {n = 1} ^ {N} cos ( theta _ {n}) qquad qquad { overline {S}} = { frac {1} {N}} součet _ {n = 1} ^ {N} sin ( theta _ {n})}$

a průměrná výsledná délka je:

${ displaystyle { overline {R}} ^ {2} = | { overline {z}} | ^ {2} = { overline {C}} ^ {2} + { overline {S}} ^ { 2}}$

a střední úhel je:

${ displaystyle { overline { theta}} = mathrm {Arg} ({ overline {z}}). ,}$

Průměr vzorku pro rovnoměrné rozdělení v kruhu bude koncentrován kolem nuly a bude koncentrovanější jako N zvyšuje. Distribuce střední hodnoty vzorku pro rovnoměrné rozdělení je dána vztahem:^[2]

${ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {N}}} int _ { Gamma} prod _ {n = 1} ^ {N} d theta _ {n} = P ( { overline {R}}) P ({ overline { theta}}) , d { overline {R}} , d { overline { theta}}}$

kde ${ displaystyle Gamma ,}$ sestává z intervalů ${ displaystyle 2 pi}$ v proměnných, s výhradou omezení ${ displaystyle { overline {R}}}$ a ${ displaystyle { overline { theta}}}$ jsou konstantní, nebo alternativně to ${ displaystyle { overline {C}}}$ a ${ displaystyle { overline {S}}}$ jsou konstantní. Rozložení úhlu${ displaystyle P ({ overline { theta}})}$ je jednotná

${ displaystyle P ({ overline { theta}}) = { frac {1} {2 pi}}}$

a distribuce ${ displaystyle { overline {R}}}$ darováno:^[2]

${ displaystyle P_ {N} ({ overline {R}}) = N ^ {2} { overline {R}} int _ {0} ^ { infty} J_ {0} (N { overline { R}} , t) J_ {0} (t) ^ {N} t , dt}$

10 000 bodů Monte Carlo simulace distribuce průměru vzorku kruhové rovnoměrné distribuce proN = 3

kde ${ displaystyle J_ {0}}$ je Besselova funkce objednávky nula. Pro výše uvedený integrál není známo žádné obecné analytické řešení a je obtížné jej vyhodnotit kvůli velkému počtu oscilací v integrandu. Na obrázku je znázorněna distribuce průměru pro N = 3 10 000 bodů Monte Carlo.

V určitých zvláštních případech lze vyhodnotit výše uvedený integrál:

${ displaystyle P_ {2} ({ overline {R}}) = { frac {2} { pi { sqrt {1 - { overline {R}} ^ {2}}}}}}}$

Pro velké N, rozdělení střední hodnoty lze určit z centrální limitní věta pro směrovou statistiku. Protože úhly jsou rovnoměrně rozloženy, jednotlivé sinusy a kosiny kosů budou rozloženy jako:

${ displaystyle P (u) du = { frac {1} { pi}} , { frac {du} { sqrt {1-u ^ {2}}}}}$

kde ${ displaystyle u = cos theta _ {n} ,}$ nebo ${ displaystyle sin theta _ {n} ,}$. Z toho vyplývá, že budou mít nulový průměr a rozptyl 1/2. Podle centrální limitní věty, v limitu velké N, ${ displaystyle { overline {C}} ,}$ a ${ displaystyle { overline {S}} ,}$, což je součet velkého počtu i.i.d, bude normálně distribuováno s průměrnou nulou a rozptylem ${ displaystyle 1 / 2N}$. Průměrná výsledná délka ${ displaystyle { overline {R}} ,}$, která je druhou odmocninou součtu dvou normálně distribuovaných proměnných, bude Chi-distribuováno se dvěma stupni volnosti (tj.Rayleigh distribuován ) a rozptyl ${ displaystyle 1 / 2N}$:

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} P_ {N} ({ overline {R}}) = 2N { overline {R}} , e ^ {- N { overline {R}} ^ {2}}.}$

Entropie

Diferenciál informační entropie jednotného rozdělení je jednoduše

${ displaystyle H_ {U} = - int _ { Gamma} { frac {1} {2 pi}} ln left ({ frac {1} {2 pi}} right) , d theta = ln (2 pi)}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je jakýkoli interval délky ${ displaystyle 2 pi}$. Toto je maximální entropie, jakou může mít kruhová distribuce.

Viz také

• Zabalená distribuce

Reference