Graf funkce - Graph of a function - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Graf funkce"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Graf funkce F(X) = X³ − 9X

v matematika, graf a funkce F je sada objednané páry (X, y), kde F(X) = y. V běžném případě, kdy X a F(X) jsou reálná čísla, tyto páry jsou Kartézské souřadnice bodů v dvourozměrný prostor a tvoří tak podmnožinu této roviny.

V případě funkcí dvou proměnných, to jsou funkce, jejichž doménu tvoří páry (X, y), graf obvykle odkazuje na množinu objednané trojky (X, y, z) kde F(X, y) = z, místo párů ((X, y), z) jako ve výše uvedené definici. Tato sada je podmnožinou trojrozměrný prostor; nepřetržitě funkce se skutečnou hodnotou ze dvou reálných proměnných je to a povrch.

Graf funkce je speciální případ a vztah.

v Věda, inženýrství, technologie, finance a další oblasti jsou grafy nástroji používanými k mnoha účelům. V nejjednodušším případě je jedna proměnná vykreslena jako funkce jiné, obvykle pomocí obdélníkové osy; vidět Plot (grafika) pro detaily.

V moderní základy matematiky a obvykle v teorie množin, funkce se ve skutečnosti rovná jejímu grafu.^[1] Je však často užitečné vidět funkce jako mapování,^[2] které se skládají nejen ze vztahu mezi vstupem a výstupem, ale také, která množina je doménou a která množinou je codomain. Například říct, že funkce je na (surjektivní ) nebo by neměla být zohledněna codomain. Graf funkce sám o sobě neurčuje codomain. To je běžné^[3] používat oba výrazy funkce a graf funkce protože i když je považován za stejný objekt, naznačuje, že se na něj dívá z jiné perspektivy.

Graf funkce F(X) = X⁴ − 4^X přes interval [-2, + 3]. Zobrazeny jsou také dva skutečné kořeny a místní minimum, které jsou v intervalu.

Definice

Vzhledem k mapování ${ displaystyle f: X až Y}$jinými slovy funkce ${ displaystyle f}$ společně s jeho doménou ${ displaystyle X}$ a codomain ${ displaystyle Y}$, je graf mapování^[4] sada

${ displaystyle G (f) = {(x, f (x)) střední x v X }}$,

což je podmnožina ${ displaystyle X krát Y}$. V abstraktní definici funkce ${ displaystyle G (f)}$ je ve skutečnosti rovno ${ displaystyle f}$.

Lze pozorovat, že pokud ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R} ^ {m}}$, pak graf ${ displaystyle G (f)}$ je podmnožinou ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n + m}}$ (přesně řečeno to je ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {m}}$, ale lze to vložit do přirozeného izomorfismu).

Příklady

Funkce jedné proměnné

Graf funkce F(X, y) = hřích (X²) · Cos (y²).

Graf funkce ${ displaystyle f: {1,2,3 } do {a, b, c, d }}$ definován

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} a, & { text {if}} x = 1, d, & { text {if}} x = 2, c, & { text {if}} x = 3, end {cases}}}$

je podmnožinou sady ${ displaystyle {1,2,3 } krát {a, b, c, d }}$

${ displaystyle G (f) = {(1, a), (2, d), (3, c) }. ,}$

Z grafu doména ${ displaystyle {1,2,3 }}$ je obnovena jako sada první složky každé dvojice v grafu ${ displaystyle {1,2,3 } = {x: { text {existuje}} y, { text {takový, že}} (x, y) v G (f) }}$Podobně rozsah lze obnovit jako ${ displaystyle {a, c, d } = {y: { text {existuje}} x, { text {takový, že}} (x, y) v G (f) }}$.Comdomain ${ displaystyle {a, b, c, d }}$, nelze však určit pouze z grafu.

Graf kubického polynomu na skutečná linie

${ displaystyle f (x) = x ^ {3} -9x ,}$

je

${ displaystyle {(x, x ^ {3} -9x): x { text {je skutečné číslo}} }. ,}$

Pokud je tato množina vynesena na kartézskou rovinu, výsledkem je křivka (viz obrázek).

Funkce dvou proměnných

Graf grafu F(X, y) = - (cos (X²) + cos (y²))², také ukazující jeho gradient promítnutý na spodní rovinu.

Graf trigonometrická funkce

${ displaystyle f (x, y) = sin (x ^ {2}) cos (y ^ {2}) ,}$

je

${ displaystyle {(x, y, sin (x ^ {2}) cos (y ^ {2})): x { text {a}} y { text {jsou skutečná čísla}} } .}$

Pokud je tato sada vynesena na a trojrozměrný kartézský souřadnicový systém, výsledkem je povrch (viz obrázek).

Často je užitečné ukázat s grafem, gradient funkce a několik křivek úrovní. Křivky úrovně mohou být mapovány na funkční plochu nebo mohou být promítnuty na spodní rovinu. Druhý obrázek ukazuje takový nákres grafu funkce:

${ displaystyle f (x, y) = - ( cos (x ^ {2}) + cos (y ^ {2})) ^ {2} ,}$

Zobecnění

Graf funkce je obsažen v a kartézský součin sad. Rovina X – Y je kartézský součin dvou přímek, nazývaných X a Y, zatímco válec je kartézský součin přímky a kružnice, jejichž výška, poloměr a úhel přiřazují přesné umístění bodů. Svazky vláken nejsou kartézské produkty, ale zdá se, že jsou zblízka. Na svazku vláken s názvem a existuje odpovídající pojem grafu sekce.

Viz také

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. “Graf funkcí "Z MathWorld - webový zdroj Wolfram.