Zobecněná Paretova distribuce - Generalized Pareto distribution

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Zobecněná Paretova distribuce“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Zobecněná Paretova distribuce

Funkce hustoty pravděpodobnosti Distribuční funkce GPD pro ${ displaystyle mu = 0}$ a různé hodnoty ${ displaystyle sigma}$ a ${ displaystyle xi}$
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle mu in (- infty, infty) ,}$ umístění (nemovitý ) ${ displaystyle sigma v (0, infty) ,}$ měřítko (nemovitý) ${ displaystyle xi v (- infty, infty) ,}$ tvar (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ Displaystyle x geqslant mu , ; ( xi geqslant 0)}$ ${ Displaystyle mu leqslant x leqslant mu - sigma / xi , ; ( xi <0)}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} { sigma}} (1+ xi z) ^ {- (1 / xi +1)}}$ kde ${ displaystyle z = { frac {x- mu} { sigma}}}$
CDF	${ displaystyle 1- (1+ xi z) ^ {- 1 / xi} ,}$
Znamenat	${ displaystyle mu + { frac { sigma} {1- xi}} , ; ( xi <1)}$
Medián	${ displaystyle mu + { frac { sigma (2 ^ { xi} -1)} { xi}}}$
Režim
Rozptyl	${ displaystyle { frac { sigma ^ {2}} {(1- xi) ^ {2} (1-2 xi)}} , ; ( xi <1/2)}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2 (1+ xi) { sqrt {1-2 xi}}} {(1-3 xi)}}} , ; ( xi <1/3)}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {3 (1-2 xi) (2 xi ^ {2} + xi +3)} {(1-3 xi) (1-4 xi)}} - 3 , ; ( xi <1/4)}$
Entropie	${ displaystyle log ( sigma) + xi +1}$
MGF	${ Displaystyle e ^ { theta mu} , součet _ {j = 0} ^ { infty} left [{ frac {( theta sigma) ^ {j}} { prod _ {k = 0} ^ {j} (1-k xi)}} vpravo], ; (k xi <1)}$
CF	${ displaystyle e ^ {it mu} , součet _ {j = 0} ^ { infty} left [{ frac {(it sigma) ^ {j}} { prod _ {k = 0 } ^ {j} (1-k xi)}} vpravo], ; (k xi <1)}$
Metoda momentů	${ displaystyle xi = { frac {1} {2}} vlevo (1 - { frac {(E [X] - mu) ^ {2}} {V [X]}} vpravo)}$ ${ displaystyle sigma = (E [X] - mu) (1- xi)}$

v statistika, zobecněná Paretova distribuce (GPD) je rodina kontinuálních rozdělení pravděpodobnosti. Často se používá k modelování ocasů jiné distribuce. Je zadán třemi parametry: umístění ${ displaystyle mu}$, měřítko ${ displaystyle sigma}$a tvar ${ displaystyle xi}$.^[1][2] Někdy je určena pouze měřítkem a tvarem^[3] a někdy pouze svým tvarovým parametrem. Některé odkazy udávají parametr tvaru jako ${ displaystyle kappa = - xi ,}$.^[4]

Definice

Standardní kumulativní distribuční funkce (cdf) GPD je definována symbolem^[5]

${ displaystyle F _ { xi} (z) = { začátek {případů} 1- levý (1+ xi z pravý) ^ {- 1 / xi} & { text {pro}} xi neq 0, 1-e ^ {- z} & { text {for}} xi = 0. end {cases}}}$

kde je podpora ${ displaystyle z geq 0}$ pro ${ displaystyle xi geq 0}$ a ${ displaystyle 0 leq z leq -1 / xi}$ pro ${ displaystyle xi <0}$. Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) je

${ displaystyle f _ { xi} (z) = { begin {cases} (1+ xi z) ^ {- { frac { xi +1} { xi}}} & { text {pro} } xi neq 0, e ^ {- z} & { text {for}} xi = 0. end {cases}}}$

Charakterizace

Související rodina distribucí v měřítku umístění se získá nahrazením argumentu z podle ${ displaystyle { frac {x- mu} { sigma}}}$ a odpovídajícím způsobem upravit podporu.

The kumulativní distribuční funkce z ${ displaystyle X sim GPD ( mu, sigma, xi)}$ (${ displaystyle mu in mathbb {R}}$, ${ displaystyle sigma> 0}$, a ${ displaystyle xi v mathbb {R}}$) je

${ displaystyle F _ {( mu, sigma, xi)} (x) = { začátek {případů} 1- left (1 + { frac { xi (x- mu)} { sigma} } right) ^ {- 1 / xi} & { text {for}} xi neq 0, 1- exp left (- { frac {x- mu} { sigma}} right) & { text {for}} xi = 0, end {cases}}}$

kde podpora ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle x geqslant mu}$ když ${ displaystyle xi geqslant 0 ,}$, a ${ Displaystyle mu leqslant x leqslant mu - sigma / xi}$ když ${ displaystyle xi <0}$.

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) ze dne ${ displaystyle X sim GPD ( mu, sigma, xi)}$ je

${ displaystyle f _ {( mu, sigma, xi)} (x) = { frac {1} { sigma}} vlevo (1 + { frac { xi (x- mu)} { sigma}} right) ^ { left (- { frac {1} { xi}} - 1 right)}}$,

opět pro ${ displaystyle x geqslant mu}$ když ${ displaystyle xi geqslant 0}$, a ${ Displaystyle mu leqslant x leqslant mu - sigma / xi}$ když ${ displaystyle xi <0}$.

PDF je řešením následujícího diferenciální rovnice:^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle left {{ begin {pole} {l} f '(x) (- mu xi + sigma + xi x) + ( xi +1) f (x) = 0, f (0) = { frac { left (1 - { frac { mu xi} { sigma}} right) ^ {- { frac {1} { xi}} - 1}} { sigma}} end {pole}} doprava }}$

Speciální případy

• Pokud tvar ${ displaystyle xi}$ a umístění ${ displaystyle mu}$ jsou oba nulové, GPD je ekvivalentní s exponenciální rozdělení.
• S tvarem ${ displaystyle xi> 0}$ a umístění ${ displaystyle mu = sigma / xi}$, GPD je ekvivalentní s Paretova distribuce s měřítkem ${ displaystyle x_ {m} = sigma / xi}$ a tvar ${ displaystyle alpha = 1 / xi}$.
• Li ${ displaystyle X}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle GPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle mu = 0}$, ${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$, pak ${ displaystyle Y = log (X) sim exGPD ( sigma, xi)}$ [1]. (exGPD znamená umocněné zobecněné Paretovo rozdělení.)
• GPD je podobný Distribuce otřepů.

Generování zobecněných Paretových náhodných proměnných

Generování náhodných proměnných GPD

Li U je rovnoměrně rozloženo zapnuto (0, 1]

${ displaystyle X = mu + { frac { sigma (U ^ {- xi} -1)} { xi}} sim GPD ( mu, sigma, xi neq 0)}$

a

${ Displaystyle X = mu - sigma ln (U) sim GPD ( mu, sigma, xi = 0).}$

Oba vzorce jsou získány inverzí CDF.

V Matlab Statistics Toolbox můžete snadno použít příkaz "gprnd" ke generování zobecněných náhodných čísel Pareto.

GPD jako směs exponenciálního gama

Náhodná proměnná GPD může být také vyjádřena jako exponenciální náhodná proměnná s parametrem gama distribuované rychlosti.

${ displaystyle X | Lambda sim Exp ( Lambda)}$

a

${ displaystyle Lambda sim gama ( alfa, beta)}$

pak

${ Displaystyle X sim GPD ( xi = 1 / alfa, sigma = beta / alfa)}$

Všimněte si však, že protože parametry pro distribuci gama musí být větší než nula, získáme další omezení, která:${ displaystyle xi}$ musí být pozitivní.

Zastoupená zobecněná Paretova distribuce

Umocněná zobecněná Paretova distribuce (exGPD)

PDF souboru ${ displaystyle exGPD ( sigma, xi)}$ (umocněné zobecněné Paretovo rozdělení) pro různé hodnoty ${ displaystyle sigma}$ a ${ displaystyle xi}$.

Li ${ displaystyle X sim GPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle mu = 0}$, ${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$, pak ${ displaystyle Y = log (X)}$ je distribuován podle umocněné zobecněné Paretovo rozdělení, označeno ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$.

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) ze dne ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle) , , ( sigma> 0)}$ je

${ displaystyle g _ {( sigma, xi)} (y) = { begin {cases} { frac {e ^ {y}} { sigma}} { bigg (} 1 + { frac { xi e ^ {y}} { sigma}} { bigg)} ^ {- 1 / xi -1} , , , , { text {pro}} xi neq 0, { frac {1} { sigma}} e ^ {ye ^ {y} / sigma} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi = 0, konec {případů}}}$

kde je podpora ${ displaystyle - infty$ pro ${ displaystyle xi geq 0}$, a ${ displaystyle - infty$ pro ${ displaystyle xi <0}$.

Pro všechny ${ displaystyle xi}$, ${ displaystyle log sigma}$ se stane parametrem umístění. Podívejte se na pravý panel pro pdf, když je tvar ${ displaystyle xi}$ je pozitivní.

The exGPD má konečné okamžiky všech objednávek pro všechny ${ displaystyle sigma> 0}$ a ${ displaystyle - infty < xi < infty}$.

The rozptyl z ${ displaystyle exGPD ( sigma, xi)}$ jako funkce ${ displaystyle xi}$. Rozptyl závisí pouze na ${ displaystyle xi}$. Červená tečkovaná čára představuje rozptyl vyhodnocený na ${ displaystyle xi = 0}$, to znamená, ${ displaystyle psi ^ {'} (1) = pi ^ {2} / 6}$.

The funkce generující momenty z ${ displaystyle Y sim exGPD ( sigma, xi)}$ je

${ displaystyle M_ {Y} (s) = E [e ^ {sY}] = { begin {cases} - { frac {1} { xi}} { bigg (} - { frac { sigma } { xi}} { bigg)} ^ {s} B (s + 1, -1 / xi) , , , , , , , , , , , , { text {pro}} s v (-1, infty), xi <0, { frac {1} { xi}} { bigg (} { frac { sigma} { xi}} { bigg)} ^ {s} B (s + 1,1 / xi -s) , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} s in (-1,1 / xi), xi> 0, sigma ^ {s} Gamma (1 + s) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} s v (-1, infty), xi = 0, end {případů}}}$

kde ${ displaystyle B (a, b)}$ a ${ displaystyle Gamma (a)}$ označit funkce beta a funkce gama, resp.

The očekávaná hodnota z ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$ záleží na měřítku ${ displaystyle sigma}$ a tvar ${ displaystyle xi}$ parametry, zatímco ${ displaystyle xi}$ účastní se prostřednictvím funkce digamma:

${ displaystyle E [Y] = { begin {cases} log { bigg (} - { frac { sigma} { xi}} { bigg)} + psi (1) - psi ( -1 / xi +1) , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi <0, log { bigg (} { frac { sigma} { xi}} { bigg)} + psi (1) - psi (1 / xi) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi> 0, log sigma + psi (1) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi = 0. end {případů}}}$

Všimněte si, že pro pevnou hodnotu pro ${ displaystyle xi in (- infty, infty)}$, ${ Displaystyle log sigma}$ hraje jako parametr umístění pod umocněnou generalizovanou Paretovou distribucí.

The rozptyl z ${ displaystyle Y}$ ${ displaystyle sim}$ ${ displaystyle exGPD}$ ${ displaystyle (}$${ displaystyle sigma}$, ${ displaystyle xi}$ ${ displaystyle)}$ záleží na parametru tvaru ${ displaystyle xi}$ pouze prostřednictvím funkce polygammy objednávky 1 (nazývané také funkce trigamma ):

${ displaystyle Var [Y] = { begin {cases} psi ^ {'} (1) - psi ^ {'} (- 1 / xi +1) , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi <0, psi ^ {'} (1) + psi ^ {'} (1 / xi ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi> 0, psi ^ {'} (1) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , { text {pro}} xi = 0. end {cases}}}$

Na pravém panelu najdete rozptyl jako funkci ${ displaystyle xi}$. Všimněte si, že ${ displaystyle psi ^ {'} (1) = pi ^ {2} / 6 přibližně 1,644934}$.

Všimněte si, že role parametru měřítka ${ displaystyle sigma}$ a tvarový parametr ${ displaystyle xi}$ pod ${ displaystyle Y sim exGPD ( sigma, xi)}$ jsou oddělitelně interpretovatelné, což může vést k robustnímu efektivnímu odhadu pro ${ displaystyle xi}$ než pomocí ${ displaystyle X sim GPD ( sigma, xi)}$ [2]. Role těchto dvou parametrů jsou navzájem přidruženy pod ${ displaystyle X sim GPD ( mu = 0, sigma, xi)}$ (alespoň do druhého centrálního momentu); viz vzorec rozptylu ${ displaystyle Var (X)}$ přičemž se účastní oba parametry.

Hillův odhadce

Předpokládat, že ${ displaystyle X_ {1: n} = (X_ {1}, cdots, X_ {n})}$ jsou ${ displaystyle n}$ pozorování (nemusí být i.i.d.) z neznámého těžký-sledoval distribuci ${ displaystyle F}$ tak, že jeho ocasní distribuce se pravidelně mění s ocasním indexem ${ displaystyle 1 / xi}$ (tedy odpovídající parametr tvaru je ${ displaystyle xi}$). Konkrétně je ocasní rozdělení popsáno jako

${ displaystyle { bar {F}} (x) = 1-F (x) = L (x) cdot x ^ {- 1 / xi}, , , , , , { text {pro některé}} xi> 0, , , { text {kde}} L { text {je pomalu se měnící funkce.}}}$

Zvláštní zájem má o teorie extrémní hodnoty odhadnout tvarový parametr ${ displaystyle xi}$, zvláště když ${ displaystyle xi}$ je kladná (tzv. těžkopádná distribuce).

Nechat ${ displaystyle F_ {u}}$ být jejich funkcí podmíněného přebytku distribuce. Pickands – Balkema – de Haanova věta (Pickands, 1975; Balkema a de Haan, 1974) uvádí, že pro velkou třídu základních distribučních funkcí ${ displaystyle F}$a velké ${ displaystyle u}$, ${ displaystyle F_ {u}}$ je dobře aproximována generalizovanou Paretovou distribucí (GPD), která motivovala metody Peak Over Threshold (POT) k odhadu ${ displaystyle xi}$: GPD hraje klíčovou roli v přístupu POT.

Známý odhadce využívající metodiku POT je Hillův odhadce. Technická formulace Hillova odhadu je následující. Pro ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$, psát si ${ displaystyle X _ {(i)}}$ pro ${ displaystyle i}$-tá největší hodnota ${ displaystyle X_ {1}, cdots, X_ {n}}$. Pak, s touto notací, Hillův odhadce (viz strana 190, reference 5, Embrechts et al [3] ) založeno na ${ displaystyle k}$ statistika horního řádu je definována jako

${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}} = { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}} (X_ {1: n }) = { frac {1} {k-1}} sum _ {j = 1} ^ {k-1} log { bigg (} { frac {X _ {(j)}} {X_ { (k)}}} { bigg)}, , , , , , , , , { text {pro}} 2 leq k leq n.}$

V praxi se Hillův odhad používá následovně. Nejprve spočítejte odhad ${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}}}$ na každé celé číslo ${ displaystyle k in {2, cdots, n }}$, a poté vykreslete uspořádané páry ${ displaystyle {(k, { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}}) } _ {k = 2} ^ {n}}$. Poté vyberte ze sady Hill odhadců ${ displaystyle {{ widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}} } _ {k = 2} ^ {n}}$ které jsou zhruba konstantní vzhledem k ${ displaystyle k}$: tyto stabilní hodnoty se považují za přiměřené odhady pro tvarový parametr ${ displaystyle xi}$. Li ${ displaystyle X_ {1}, cdots, X_ {n}}$ jsou i.i.d., pak je Hillův odhadce konzistentním odhadcem parametru tvaru ${ displaystyle xi}$ [4].

Všimněte si, že Hill odhadce ${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Hill}}}$ využívá k pozorování transformaci protokolu ${ displaystyle X_ {1: n} = (X_ {1}, cdots, X_ {n})}$. (The Pickandův odhad ${ displaystyle { widehat { xi}} _ {k} ^ { text {Pickand}}}$ také použil logaritmickou transformaci, ale trochu jiným způsobem[5].)

Viz také

• Distribuce otřepů
• Paretova distribuce
• Zobecněné extrémní rozdělení hodnot
• Zastoupená zobecněná Paretova distribuce
• Pickands – Balkema – de Haanova věta

Reference

Další čtení

• Pickands, James (1975). „Statistická inference pomocí statistik extrémního řádu“. Annals of Statistics. 3 s: 119–131. doi:10.1214 / aos / 1176343003.
• Balkema, A .; De Haan, Laurens (1974). „Zbytková doba života ve velkém věku“. Annals of Probability. 2 (5): 792–804. doi:10.1214 / aop / 1176996548.
• Lee, Seyoon; Kim, J.H.K. (2018). "Zobecněná zobecněná Paretova distribuce: Vlastnosti a aplikace k teorii extrémních hodnot". Komunikace ve statistice - teorie a metody. 0 (8): 1–25. arXiv:1708.01686. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. S2CID  88514574.
• N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distribuce Svazek 1, druhé vydání. New York: Wiley. ISBN  978-0-471-58495-7. Kapitola 20, oddíl 12: Zobecněné distribuce Pareto.
• Barry C. Arnold (2011). „Kapitola 7: Paretova a zobecněná Paretova distribuce“. V Duangkamon Chotikapanich (ed.). Modelování distribucí a Lorenzových křivek. New York: Springer. ISBN  9780387727967.
• Arnold, B. C .; Laguna, L. (1977). O zobecněných distribucích Pareto s aplikacemi na údaje o příjmech. Ames, Iowa: Iowská státní univerzita, Katedra ekonomie.

externí odkazy

• Mathworks: Zobecněná Paretova distribuce