Zahřejte jádro - Heat kernel

V matematický studie vedení tepla a difúze, a tepelné jádro je zásadní řešení do rovnice tepla na určené doméně s příslušným okrajové podmínky. Je to také jeden z hlavních nástrojů při studiu spektrum z Operátor Laplace, a má tedy v celém rozsahu nějaký pomocný význam matematická fyzika. Tepelné jádro představuje vývoj teplota v oblasti, jejíž hranice je udržována pevně na určité teplotě (obvykle nula), takže počáteční jednotka tepelné energie je umístěna v určitém okamžiku t = 0.

Základní řešení jednorozměrné tepelné rovnice. Červená: časový průběh ${displaystyle Phi (x, t)}$. Modrá: časové kurzy ${displaystyle Phi (x_ {0}, t)}$ pro dva vybrané body. Interaktivní verze.

Nejznámějším tepelným jádrem je tepelné jádro d-dimenzionální Euklidovský prostor R^d, který má podobu časově proměnného Gaussova funkce,

${displaystyle K (t, x, y) = {frac {1} {(4pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | x-y | ^ {2} / 4t},}$

Tím se vyřeší rovnice tepla

${displaystyle {frac {částečné K} {částečné t}} (t, x, y) = Delta _ {x} K (t, x, y),}$

pro všechny t > 0 a X,y ∈ R^d, kde Δ je laplaciánský operátor, s počáteční podmínkou

${displaystyle lim _ {t o 0} K (t, x, y) = delta (x-y) = delta _ {x} (y)}$

kde δ je a Diracova delta distribuce a limit se bere ve smyslu distribuce. Pro každou hladkou funkci φ z kompaktní podpora,

${displaystyle lim _ {t o 0} int _ {mathbf {R} ^ {d}} K (t, x, y) phi (y), dy = phi (x).}$

Na obecnější doméně Ω v R^d, takový výslovný vzorec není obecně možný. Další nejjednodušší případy disku nebo čtverce zahrnují Besselovy funkce a Jacobi theta funkce. Tepelné jádro (například pro Dirichletův problém ) stále existuje a je hladký pro t > 0 na libovolných doménách a skutečně na libovolných Riemannovo potrubí s hranicí, za předpokladu, že hranice je dostatečně pravidelná. Přesněji řečeno, v těchto obecnějších doménách je tepelné jádro pro Dirichletův problém řešením problému počáteční hraniční hodnoty

${displaystyle {egin {aligned} & {frac {částečné K} {částečné t}} (t, x, y) = Delta K (t, x, y) {ext {pro všechny}} t> 0 {ext {a }} x, yin Omega [6pt] & lim _ {t o 0} K (t, x, y) = delta _ {x} (y) {ext {pro všechny}} x, yin Omega [6pt] & K (t, x, y) = 0, quad xin částečná Omega {ext {nebo}} jin částečná Omega. end {zarovnáno}}}$

Není těžké odvodit formální výraz tepelného jádra v libovolné doméně. Zvažte Dirichletův problém v připojené doméně (nebo potrubí s hranicí) U. Nechat λ_n být vlastní čísla pro Dirichletův problém Laplacian

${displaystyle left {{egin {array} {ll} Delta phi + lambda phi = 0 & {ext {in}} U phi = 0 & {ext {on}} částečný U.end {pole}} vpravo.}$

Nechť φ_n označit přidružené vlastní funkce, normalizováno tak, aby v něm bylo orthonormální L²(U). Inverzní Dirichlet Laplacian Δ⁻¹ je kompaktní a selfadjoint operátor, a tak spektrální věta znamená, že vlastní čísla splňují

${displaystyle 0$

Tepelné jádro má následující výraz:

${displaystyle K (t, x, y) = součet _ {n = 0} ^ {infty} e ^ {- lambda _ {n} t} phi _ {n} (x) phi _ {n} (y). }$

(1)

Formální rozlišení řady pod znamením součtu ukazuje, že by to mělo splňovat rovnici tepla. Konvergence a pravidelnost série jsou však celkem choulostivé.

Tepelné jádro je také někdy identifikováno s přidruženým integrální transformace, definované pro kompaktně podporovaný hladký φ pomocí

${displaystyle Tphi = int _ {Omega} K (t, x, y) phi (y), dy.}$

The věta o spektrálním mapování dává reprezentaci T ve formě

${displaystyle T = e ^ {tDelta}.}$

Existuje několik geometrických výsledků na tepelných jádrech na potrubích; řekněme krátkodobá asymptotika, dlouhodobá asymptotika a horní / dolní hranice gaussovského typu.

Viz také

• Podpis tepelného jádra
• Funkce minakshisundaram – Pleijel zeta
• Mehlerovo jádro
• Weierstrassova transformace # Zobecnění

Reference

• Berline, Nicole; Getzler, E .; Vergne, Michèle (2004), Tepelná jádra a Dirac operátoři, Berlín, New York: Springer-Verlag
• Chavel, Isaac (1984), Vlastní čísla v Riemannově geometriiČistá a aplikovaná matematika, 115, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN  978-0-12-170640-1, PAN  0768584.
• Evans, Lawrence C. (1998), Parciální diferenciální rovnice„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Gilkey, Peter B. (1994), Teorie Invariance, Heatova rovnice a Atiyah – Singerova věta, ISBN  978-0-8493-7874-4
• Grigor'yan, Alexander (2009), Tepelné jádro a analýza na potrubích, AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, 47„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4935-4, PAN  2569498