Normální distribuce Wishart - Normal-Wishart distribution - Wikipedia

Normální-Wishart

Zápis	${ displaystyle ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Lambda}}) sim mathrm {NW} ({ boldsymbol { mu}} _ {0}, lambda, mathbf {W }, nu)}$
Parametry	${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0} in mathbb {R} ^ {D} ,}$ umístění (vektor nemovitý ) ${ displaystyle lambda> 0 ,}$ (nemovitý) ${ displaystyle mathbf {W} in mathbb {R} ^ {D krát D}}$ měřítko matice (poz. def. ) ${ displaystyle nu> D-1 ,}$ (nemovitý)
Podpěra, podpora	${ displaystyle { boldsymbol { mu}} in mathbb {R} ^ {D}; { boldsymbol { Lambda}} in mathbb {R} ^ {D krát D}}$ kovarianční matice (poz. def. )
PDF	${ displaystyle f ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Lambda}} | { boldsymbol { mu}} _ {0}, lambda, mathbf {W}, nu) = { mathcal {N}} ({ boldsymbol { mu}} | { boldsymbol { mu}} _ {0}, ( lambda { boldsymbol { Lambda}}) ^ {- 1}) { mathcal {W}} ({ boldsymbol { Lambda}} | mathbf {W}, nu)}$

v teorie pravděpodobnosti a statistika, normální Wishartova distribuce (nebo Gaussian-Wishartova distribuce) je vícerozměrná čtyřparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. To je před konjugátem a vícerozměrné normální rozdělení s neznámým znamenat a přesná matice (inverzní k kovarianční matice ).^[1]

Definice

Předpokládat

${ displaystyle { boldsymbol { mu}} | { boldsymbol { mu}} _ {0}, lambda, { boldsymbol { Lambda}} sim { mathcal {N}} ({ boldsymbol { mu}} _ {0}, ( lambda { boldsymbol { Lambda}}) ^ {- 1})}$

má vícerozměrné normální rozdělení s znamenat ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$ a kovarianční matice ${ displaystyle ( lambda { boldsymbol { Lambda}}) ^ {- 1}}$, kde

${ displaystyle { boldsymbol { Lambda}} | mathbf {W}, nu sim { mathcal {W}} ({ boldsymbol { Lambda}} | mathbf {W}, nu)}$

má Wishart distribuce. Pak ${ displaystyle ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Lambda}})}$má normální Wishartovu distribuci, označenou jako

${ displaystyle ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Lambda}}) sim mathrm {NW} ({ boldsymbol { mu}} _ {0}, lambda, mathbf {W }, nu).}$

Charakterizace

Funkce hustoty pravděpodobnosti

${ displaystyle f ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Lambda}} | { boldsymbol { mu}} _ {0}, lambda, mathbf {W}, nu) = { mathcal {N}} ({ boldsymbol { mu}} | { boldsymbol { mu}} _ {0}, ( lambda { boldsymbol { Lambda}}) ^ {- 1}) { mathcal {W}} ({ boldsymbol { Lambda}} | mathbf {W}, nu)}$

Vlastnosti

Škálování

Okrajové rozdělení

Podle konstrukce je mezní rozdělení přes ${ displaystyle { boldsymbol { Lambda}}}$ je Wishart distribuce a podmíněné rozdělení přes ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ daný ${ displaystyle { boldsymbol { Lambda}}}$ je vícerozměrné normální rozdělení. The mezní rozdělení přes ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ je vícerozměrný t-rozdělení.

Zadní rozdělení parametrů

Po vyrobení ${ displaystyle n}$ pozorování ${ displaystyle { boldsymbol {x}} _ {1}, tečky, { boldsymbol {x}} _ {n}}$, je zadní rozdělení parametrů

${ displaystyle ({ boldsymbol { mu}}, { boldsymbol { Lambda}}) sim mathrm {NW} ({ boldsymbol { mu}} _ {n}, lambda _ {n}, mathbf {W} _ {n}, nu _ {n}),}$

kde

${ displaystyle lambda _ {n} = lambda + n,}$

${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {n} = { frac { lambda { boldsymbol { mu}} _ {0} + n { boldsymbol { bar {x}}}} {{ lambda + n}},}$

${ displaystyle nu _ {n} = nu + n,}$

${ displaystyle mathbf {W} _ {n} ^ {- 1} = mathbf {W} ^ {- 1} + sum _ {i = 1} ^ {n} ({ boldsymbol {x}} _ {i} - { boldsymbol { bar {x}}}) ({ boldsymbol {x}} _ {i} - { boldsymbol { bar {x}}}) ^ {T} + { frac { n lambda} {n + lambda}} ({ boldsymbol { bar {x}}} - { boldsymbol { mu}} _ {0}) ({ boldsymbol { bar {x}}} - { boldsymbol { mu}} _ {0}) ^ {T}.}$^[2]

Generování náhodných Wishartů se liší

Generování náhodných variací je jednoduché:

1. Vzorek ${ displaystyle { boldsymbol { Lambda}}}$ od a Wishart distribuce s parametry ${ displaystyle mathbf {W}}$ a ${ displaystyle nu}$
2. Vzorek ${ displaystyle { boldsymbol { mu}}}$ od a vícerozměrné normální rozdělení s průměrem ${ displaystyle { boldsymbol { mu}} _ {0}}$ a rozptyl ${ displaystyle ( lambda { boldsymbol { Lambda}}) ^ {- 1}}$

Související distribuce

• The normální inverzní Wishartovo rozdělení je v podstatě stejná distribuce parametrizovaná spíše rozptylem než přesností.
• The normální-gama distribuce je jednorozměrný ekvivalent.
• The vícerozměrné normální rozdělení a Wishart distribuce jsou distribuce komponent, ze kterých je tato distribuce provedena.

Poznámky

Reference

• Bishop, Christopher M. (2006). Rozpoznávání vzorů a strojové učení. Springer Science + Business Media.