Standardní funkce dílu - Standard part function

v nestandardní analýza, standardní funkce dílu je funkce z omezeného (konečného) hyperrealistická čísla na reálná čísla. Stručně, funkce standardní části „zaokrouhluje“ konečný hyperreal na nejbližší real. Přidružuje se ke každému takovému hyperrealistu ${ displaystyle x}$, jedinečný skutečný ${ displaystyle x_ {0}}$ nekonečně blízko, tj. ${ displaystyle x-x_ {0}}$ je infinitezimální. Jde o matematickou implementaci historického konceptu přiměřenost představil Pierre de Fermat,^[1] stejně jako Leibniz je Transcendentální zákon homogenity.

Funkce standardní součásti byla nejprve definována pomocí Abraham Robinson kdo použil notaci ${ displaystyle {} ^ { circ} x}$ pro standardní část hyperrealu ${ displaystyle x}$ (viz Robinson 1974). Tento koncept hraje klíčovou roli při definování pojmů kalkulu, jako je kontinuita, derivace a integrál, v nestandardní analýza. Druhá teorie je důsledná formalizace výpočtů s nekonečně malá čísla. Standardní součást X je někdy označován jako jeho stín.

Definice

Funkce standardní části „zaokrouhluje“ konečný hyperreal na nejbližší reálné číslo. „Infinitezimální mikroskop“ se používá k zobrazení nekonečně malého okolí standardního reálného.

Nestandardní analýza se primárně zabývá dvojicí ${ displaystyle mathbb {R} podmnožina {} ^ { ast} mathbb {R}}$, Kde hyperrealy ${ displaystyle {} ^ { ast} mathbb {R}}$ jsou objednané pole rozšíření skutečností ${ displaystyle mathbb {R}}$, a obsahují reálná čísla. V hyperrealistické linii má každé reálné číslo kolekci čísel (nazývaných a monad nebo svatozář) hyperrealů nekonečně blízko. Funkce standardní součásti se přidruží k a konečný hyperrealistické X, jedinečné standardní reálné číslo X₀ což je nekonečně blízko. Vztah je vyjádřen symbolicky psaním

${ displaystyle , mathrm {st} (x) = x_ {0}.}$

Standardní součást jakékoli infinitezimální je 0. Tedy pokud N je nekonečný hyperpřirozené, pak 1 /N je nekonečně malé a st (1 /N) = 0.

Je-li hyperreal ${ displaystyle u}$ je reprezentována Cauchyho sekvencí ${ displaystyle langle u_ {n}: n in mathbb {N} rangle}$ v ultrapower tedy konstrukce

${ displaystyle { text {st}} (u) = lim _ {n to infty} u_ {n}.}$

Obecněji, každý konečný ${ displaystyle u in {} ^ { ast} mathbb {R}}$ definuje a Dedekind řez na podmnožinu ${ displaystyle mathbb {R} podmnožina {} ^ { ast} mathbb {R}}$ (prostřednictvím celkové objednávky dne ${ displaystyle {} ^ { ast} mathbb {R}}$) a odpovídající reálné číslo je standardní součástí u.

Není interní

Funkce standardního dílu "st" není definována znakem vnitřní sada. Existuje několik způsobů, jak to vysvětlit. Snad nejjednodušší je, že její doména L, což je soubor omezených (tj. Konečných) hyperrealů, není interní množinou. Jmenovitě, protože L je omezený (například jakoukoli nekonečnou hyperpřirozenou cestou), L by musel mít nejméně horní mez, pokud by L byly interní, ale L nemá nejmenší horní mez. Alternativně je rozsah „st“ ${ displaystyle mathbb {R} podmnožina {} ^ {*} mathbb {R}}$ který není interní; ve skutečnosti každý interní set in ${ displaystyle {} ^ { ast} mathbb {R}}$ což je podmnožina ${ displaystyle mathbb {R}}$ je nutně konečný, viz (Goldblatt, 1998).

Aplikace

Všechny tradiční pojmy počtu jsou vyjádřeny pomocí funkce standardní části následovně.

Derivát

Funkce standardní součásti se používá k definování derivace funkce F. Li F je skutečná funkce a h je nekonečně malý, a pokud F′(X) tedy existuje

${ displaystyle f '(x) = operatorname {st} left ({ frac {f (x + h) -f (x)} {h}} right).}$

Alternativně, pokud ${ displaystyle y = f (x)}$, jeden vezme nekonečně malý přírůstek ${ displaystyle Delta x}$a vypočítá odpovídající ${ displaystyle Delta y = f (x + Delta x) -f (x)}$. Jeden tvoří poměr ${ displaystyle { frac { Delta y} { Delta x}}}$. Derivát je pak definován jako standardní část poměru:

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = mathrm {st} vlevo ({ frac { Delta y} { Delta x}} vpravo)}$.

Integrální

Vzhledem k funkci ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle [a, b]}$, jeden definuje integrál ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) dx}$ jako standardní součást nekonečné Riemannovy sumy ${ displaystyle S (f, a, b, Delta x)}$ když hodnota ${ displaystyle Delta x}$ je považován za nekonečně malý, využívající a hyperfinitní rozdělení intervalu [a, b].

Omezit

Vzhledem k posloupnosti ${ displaystyle (u_ {n})}$, jeho limit je definován ${ displaystyle lim _ {n to infty} u_ {n} = { text {st}} (u_ {H})}$ kde ${ displaystyle H in {} ^ { ast} mathbb {N} setminus mathbb {N}}$ je nekonečný index. Zde se říká, že limit existuje, pokud je standardní část stejná bez ohledu na zvolený nekonečný index.

Kontinuita

Skutečná funkce ${ displaystyle f}$ je spojitá ve skutečném bodě ${ displaystyle x}$ jen a jen pokud složení ${ displaystyle { text {st}} circ f}$ je konstantní na svatozář z ${ displaystyle x}$. Vidět mikrokontinuita Více podrobností.

Viz také

• Přiměřenost
• Nestandardní počet

Poznámky

Reference

• H. Jerome Keisler. Elementární kalkul: nekonečně malý přístup. První vydání 1976; 2. vydání 1986. (Tato kniha již není v tisku. Vydavatel vrátil autorská práva autorovi, který zpřístupnil 2. vydání ve formátu .pdf ke stažení na adrese http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• Goldblatt, Robert. Přednášky na hyperrealy. Úvod do nestandardní analýzy. Postgraduální texty z matematiky, 188. Springer-Verlag, New York, 1998.
• Abraham Robinson. Nestandardní analýza. Dotisk druhého (1974) vydání. S předmluvou Wilhelmus A. J. Luxemburg. Princetonské mezníky v matematice. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx + 293 stran ISBN  0-691-04490-2