Zabalené exponenciální rozdělení - Wrapped exponential distribution

Zabalený exponenciální

Funkce hustoty pravděpodobnosti Podpora je vybrána jako [0,2π]
Funkce kumulativní distribuce Podpora je vybrána jako [0,2π]
Parametry	${ displaystyle lambda> 0}$
Podpěra, podpora	${ displaystyle 0 leq theta <2 pi}$
PDF	${ displaystyle { frac { lambda e ^ {- lambda theta}} {1-e ^ {- 2 pi lambda}}}}$
CDF	${ displaystyle { frac {1-e ^ {- lambda theta}} {1-e ^ {- 2 pi lambda}}}}$
Znamenat	${ displaystyle arctan (1 / lambda)}$ (oběžník)
Rozptyl	${ displaystyle 1 - { frac { lambda} { sqrt {1+ lambda ^ {2}}}}}$ (oběžník)
Entropie	${ displaystyle 1+ ln left ({ frac { beta -1} { lambda}} right) - { frac { beta} { beta -1}} ln ( beta)}$ kde ${ displaystyle beta = e ^ {2 pi lambda}}$ (rozdíl)
CF	${ displaystyle { frac {1} {1-in / lambda}}}$

v teorie pravděpodobnosti a směrová statistika, a zabalené exponenciální rozdělení je zabalené rozdělení pravděpodobnosti který je výsledkem "zabalení" souboru exponenciální rozdělení okolo jednotkový kruh.

Definice

The funkce hustoty pravděpodobnosti zabaleného exponenciálního rozdělení je^[1]

${ displaystyle f_ {WE} ( theta; lambda) = součet _ {k = 0} ^ { infty} lambda e ^ {- lambda ( theta +2 pi k)} = { frac { lambda e ^ {- lambda theta}} {1-e ^ {- 2 pi lambda}}},}$

pro ${ displaystyle 0 leq theta <2 pi}$ kde ${ displaystyle lambda> 0}$ je parametr rychlosti nerozbalené distribuce. Toto je totožné s zkrácená distribuce získáno omezením pozorovaných hodnot X z exponenciální rozdělení s parametrem sazby λ do rozsahu ${ displaystyle 0 leq X <2 pi}$.

Charakteristická funkce

The charakteristická funkce zabaleného exponenciálu je pouze charakteristická funkce exponenciální funkce vyhodnocená celočíselnými argumenty:

${ displaystyle varphi _ {n} ( lambda) = { frac {1} {1-in / lambda}}}$

který poskytuje alternativní výraz pro zabalený exponenciální PDF, pokud jde o kruhovou proměnnou z = e ^{i (θ-m)} platí pro všechna reálná θ am:

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {WE} (z; lambda) & = { frac {1} {2 pi}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} { frac {z ^ {- n}} {1-in / lambda}} [10pt] & = { begin {cases} { frac { lambda} { pi}} , { textrm {Im }} ( Phi (z, 1, -i lambda)) - { frac {1} {2 pi}} & { text {if}} z neq 1 [12pt] { frac { lambda} {1-e ^ {- 2 pi lambda}}} & { text {if}} z = 1 end {cases}} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle Phi ()}$ je Lerch transcendentní funkce.

Kruhové momenty

Z hlediska kruhové proměnné ${ displaystyle z = e ^ {i theta}}$ kruhové momenty zabaleného exponenciálního rozdělení jsou charakteristickou funkcí exponenciálního rozdělení vyhodnoceného pomocí celočíselných argumentů:

${ displaystyle langle z ^ {n} rangle = int _ { Gamma} e ^ {in theta} , f_ {WE} ( theta; lambda) , d theta = { frac { 1} {1-in / lambda}},}$

kde ${ displaystyle Gamma ,}$ je nějaký interval délky ${ displaystyle 2 pi}$. První okamžik je pak průměrná hodnota z, také známý jako střední výslednice nebo střední výsledný vektor:

${ displaystyle langle z rangle = { frac {1} {1-i / lambda}}.}$

Střední úhel je

${ displaystyle langle theta rangle = mathrm {Arg} langle z rangle = arctan (1 / lambda),}$

a délka středního výslednice je

${ displaystyle R = | langle z rangle | = { frac { lambda} { sqrt {1+ lambda ^ {2}}}}.}$

a rozptyl je pak 1-R.

Charakterizace

Zabalené exponenciální rozdělení je maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie pro distribuce omezené na rozsah ${ displaystyle 0 leq theta <2 pi}$ pro pevnou hodnotu očekávání ${ displaystyle operatorname {E} ( theta)}$.^[1]

Viz také

• Zabalená distribuce
• Směrová statistika

Reference